“設而不求”思想在函數中的應用

喻秋生

(廣東省深圳實驗學校高中部 518055)

“設而不求”思想是數學解題中一種很有用的解題方法.所謂“設而不求”，顧名思義就是指在解題過程中根據需要設出變量，但是并不具體地去直接解出變量的值，而是利用某種關系去表示變量間的聯系.采用設而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果.

我們知道，高中數學常用到“設而不求”思想的是解析幾何,它能使很多解析幾何問題得到簡化.同樣，“設而不求”的思想方法在處理函數問題中也有很重要的作用，下面談談“設而不求”思想方法在函數中的應用.

一、在函數最值問題中的應用

在研究函數最值問題時，有時會遇到給出的函數存在最值，但求不出或很難求出最值，這時可以應用“設而不求”思想，利用函數性質進行處理.

因此，假設函數f(x)的最大值為f(a)，則f(x)的最小值為f(1-a)，

∴M+m=-2.

二、在導函數隱零點問題中的應用

當導函數存在零點，但零點式子非常繁瑣或無法求解時，可考慮虛設零點x0，再對零點進行合理的變形與代換，將超越式化為普通式，從而達到化簡的目的.

例2 設f(x)=ex-x-2，若x>0時，不等式(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立，求整數k的最大值.

令h(x)=ex-x-2(x>0)，則h′(x)=ex-1>0，

h(x)在(0,+)單調遞增，且h(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0，

所以h(x)存在唯一的零點x0∈(1,2)，由h(x0)=0?ex0=x0+2，

易得g(x)在(0,x0)單調遞減，在(x0,+)單調遞增，所以將ex0=x0+2代入，得g(x)min=x0+1∈(2,3)，

又k

三、在證明函數不等式中的應用

函數不等式的證明，一般是轉化為最值與0比較，當函數的最值存在，但求不出具體的值時，可先用變量表示，再證明不等式成立.

例3 已知f(x)=e2x-m-ln(2x+1)，當m≤1時，求證f(x)>0恒成立.

分析要證f(x)>0恒成立，即證f(x)的最小值大于0.由于f′(x)的零點不能直接求出，則可通過設零點為x0，用x0表示最小值，再證明最小值大于0.

由(*)式兩邊取對數，得ln(2x0+1)=m-2x0，………(**).

將(*)、(**)代入，得

所以，不等式f(x)>0恒成立.

四、在隱函數問題中的應用

在處理導數問題時，有時會遇到沒有給出函數的表達式，但給出函數滿足的條件，根據條件又不能直接求出函數解析式，這時可考慮“設而不求”這種解題方法.

A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值

C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值

∵當x>2時，h′(x)>0，當0

∴當x>0時，h(x)≥h(2).

總之,“設而不求”這種思想就像一座橋梁,把未知與已知巧妙地聯系在一起了，我們平時解題時如果遇到了一些不能回避的未知量,而題目所求的問題并不需要求出該未知量時,就可以嘗試這種“設而不求”的方法,通過簡化求解過程，使問題迎刃而解.