分類探究數列中的存在性問題

姜 磊

(江蘇省南京市板橋中學 210039)

數列中的存在性問題所給的條件不完備且結論不唯一，而這些會給學生在解決問題的過程帶來不確定性.該類問題學生在解決時往往涉及到較為廣泛的知識面，同時解決問題的方法靈活，對學生的基礎知識和基本技能要求較高，但同時如果學生找對了方法，找準了思路，推理論證的過程也就變得迎刃而解了.

一、某項的存在性問題

數列的存在性問題的問法有很多種，其中首當其沖的是針對某一項的存在性問題做出的提問.對于該類問題學生應直接從問題入手，存在性問題的關鍵是證明存在，或反證不存在，而無論是哪一種方法從問題入手無疑是最快找出解題目標的依據.

反思上述例題就是一道從問題入手驗證數列存在性問題的典型.首先根據所設情景，所求問題推斷出字母m,n,p間的大小關系并根據am,an,ap是等差數列這一所需驗證的結論可得2an=am+ap，從而通過化簡，轉化從正負的角度得出結論的矛盾點，從而驗證出原結論的不存在性.

二、前n項和的存在性問題

對于該類問題考察的方式有許多種，如可能考察前n項求和后與某個常數間的大小關系的存在性問題，或者利用前n項和構造新數列再考察新數列的存在性問題等.而針對這一類問題學生首先依然應該從問題入手.

例2已知數列{an}前n項和Sn，并滿足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).

(1)求{an}的通項公式；

解析(1)因為nan+1=Sn+n(n+1)，故當n=1時a2=4，則a2-a1=2.當n≥2時可得，nan+1=Sn+n(n+1)，(n-1)an=Sn-1+n(n-1)，兩式相減可得nan+1=nan+2n，即an+1-an=2.綜上可得數列{an}的首項為a1=2，公差d=2，故an=2n.

反思上述例題就是一道利用前n項和構造新數列并驗證存在性問題.根據解析不難看出在解題時首先還是應當從存在性的結論入手，確定隱含條件，并通過驗證隱含條件的方式間接驗證存在性命題的真偽.

三、其他形式的存在性問題

在數列問題中除了上述形式的存在性命題的驗證外還有其他形式，有和函數知識相結合的存在性問題，有和解析幾何問題相結合的存在性問題，形式復雜在此統稱為其他類.

例3已知數列{an}中a1=5，且an=2an-1+2n-1(n≥2n∈N+).

(1)求a2,a3的值；

解析(1)由題可得a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33.

反思本題重在考查學生對于等差數列定義的理解與靈活運用能力.從問題入手找出解題突破口，明確從等差數列的定義入手，從而構造出條件所給的數列形式真正做到未解“通項公式”而求解的妙解.

綜上，數列中的存在性問題對于學生的綜合能力要求較高，但學生從問題入手，尋找突破口，找出隱含條件，再運用假設法假設命題存在，或運用反證法證明原命題的結論與條件之間存在矛盾，那么一切問題就很變得清晰，解題思路也變得明朗.