高中數學函數解題思路多元化的方法探究

楊立睿

(甘肅省天水市武山縣武山第一高級中學 741300)

一、高中函數多元化解題思路的積極作用

通過調查發現，有一些高中生在面對函數試題的時候還在嘗試使用初中階段的解題技巧，試圖通過分析兩個變量之間的關系來推導答案，嚴重影響了解題的效率以及準確性.而想要解決這一問題，就要讓高中生們掌握多元化的函數解題技巧.在平時的教學工作中，教師一方面要不斷強調函數基礎知識的重要性，夯實高中生們的數學基礎.另一方面在講解經典例題的時候需要從不同的角度對同一道題進行仔細的剖析，讓高中生們了解到每種函數解題思路的特征以及切入點，提高學生們的解題效率.

二、處理函數問題多元化的具體方式

1.發散性解題方式

由于函數試題具有比較強的抽象性，試題中的一些信息并不是直接展現的，而是隱藏在題干之下.高中生們如果僅僅從題干的字面去獲取已知信息，那么很容易遺漏掉關鍵的信息點，從而無法進行題目的處理.因此要利用發散性的思維方式來對待題目，通過對于已知信息的發散性想象來找到與之相關的信息，并將其作為已知條件來使用.已知條件越多，題目的難度也就越低，高中生們處理問題的時候也就會顯得更加得心應手.

例1函數f(x)是一次函數，如果f[f(x)]=5x-3，求f(x).

解題思路這道題的題干短小精悍，高中生們在閱讀完這道題的時候會發現在已知條件中缺少了一個重要信息點——解析式系數.在缺少解析式系數的情況下，想要處理這道問題將會變得非常困難.而運用發散性思維模式，學生們可以馬上聯想到解析式缺少系數的時候經常用到的一種處理試題的辦法，即待定系數法.待定系數法是解決函數問題的一個非常重要的方式，將其運用到這道題目中能夠讓已知條件變得更加完整，讓解題思路逐漸明朗起來.

具體的計算方式如下：

設f(x)=ax+b(a≠0).

f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b

=a2x+ab+b.

a2=5，ab+b=-3,

2.創新性解題方式

高中階段的函數試題具有題型多變的特點，即便是相同的知識點，在不同的題目中其表述的方式也會存在很大的不同.這種豐富的變化性為高中生的解題設置了一定的障礙，想要讀懂題目，高中生們就要不斷提高自己的思維水平，用創新的思維模式來看待問題，從多個角度觀察題干，并找到最為合適的解題思路，在保證準確率的前提下盡可能縮短計算時間.

例2已知不等式2x-1>m(x2-1)，對滿足|m|≤2的所有實數的取值都成立，求x的取值范圍.

解題思路通過對題干的觀察我們發現，由于該不等式由兩個組成部分，如果看作同一個整體來進行運算，那么計算的過程相對會比較復雜，針對這一問題可以采用創新思維模式，考慮將原不等式拆分成兩個單獨的部分進行單獨計算，通過這種拆分讓題目變得更加簡單.

構造變量的函數2x-1>m(x2-1)，即(x2-1)m-(2x-1)<0，那么f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，|m|≤2，也就是-2≤m≤2.

∵x2-1>0，

在x2-1<0的時候，f(-2)<0，因此-2x2-2x+3<0，經過計算可得2x2+2x-3>0.

當x2-1=0的時候，f(m)=1-2x<0，x=1.

3.一題多解思維模式

高中階段的函數問題具有很高的抽象性，而且計算量非常大.高中生在進行計算的時候首先要鞏固函數基礎知識，從處理簡單的試題開始，熟悉各種函數解題技巧，在打牢了基礎之后在進行難題的處理.而想要鞏固好基礎，在平時訓練的過程中就要養成一題多解的好習慣，一道函數題的處理不能以計算出答案為最終目的，要對題目進行深入解析，并且嘗試用不同的方法處理同一道試題，比較各種解題方式的效率.

例3f(x)=ax+(2a-1)/x，在[1,2]上是增函數，求實數a的取值范圍.

解題思路這是一道比較基礎的求取值范圍的函數計算題，可以運用多種方式進行計算.根據題目中的已知條件，我們可以采用導函數法、定義法以及分類討論法等方式來進行處理.不同的解題方式雖然得到的結論相同，但是運用的知識點以及題目的切入點存在很大的不同，在解題的時候要體會各種方式之間的差別.

解法1通過閱讀題干我們得知f(x)在[1,2]上是增函數，那么就可以運用導數進行求解.

解由已知條件可得?x∈[1,2]，

∵f(x)=a-(2a-1)/x2≥0恒成立,

∴-1/2≤a<0.

實數a的取值范圍為[-1/2,1].

解法2由于函數在[1,2]區間上單調遞增，因此可以考慮使用定義法來對題目進行快速處理.

解?x1，x2∈[1,2]，且x1≠x2，那么可得1

f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[a+(1-2a)/x1x2].

根據題意可得f(x2)>f(x1)，且x2-x1>0，a+(1-2a)/x1x2>0恒成立.

當a>0的時候，x1x2>(2a-1)/a，可得0

當a<0的時候，x1x2<(2a-1)/a，可得-1/2≤a<0.

當a=0的時候，滿足已知條件，a=0.

綜合這三種情況，就可以得出a的取值范圍[-1/2,1].

三、運用多元化解題思路的注意事項

在多元化解題思路的指導下，針對函數問題可以選擇發散性方法、創新性方法以及一題多解等思想來進行處理.這些方式一方面可以將隱藏在題干中的關鍵信息挖掘出來，讓題干變得更加完整，另一方面也可以將復雜的函數式拆分并轉化成相對簡單的函數，運用“化整為零”的解題思路來提高解題的速度以及準確率.想要保證多元化解題方式的效用，在運用的過程中就要注意以下三個方面的問題.首先是函數式中帶有絕對值的問題，在拆分絕對值的時候要考慮到所有的因素，防止出現遺漏，影響計算結果的準確率.其次是函數式的指數問題，特別是在運用待定系數法的時候，要根據指數的不同來設計不同的解析式.最后，要注重基礎知識的培養，多元化解題方式的精髓在于將復雜的函數式拆分成若干了簡單的函數式，如果學生們沒有扎實的基本功，在計算簡單函數值的時候會浪費大量的時間，降低解題效率.

針對高中生處理函數問題效率低下的問題，教師們在平時進行教學工作的時候就要培養高中生們多元化思考的能力，在掌握了大量不同解題思路的基礎上，通過對題干的精準分析快速尋找到破題點，并且選擇最為高效的解題方式，為提高學生們的數學綜合素養打下良好的基礎.