例析二體問題的折合質量解法

謝汝成

(吉林省遼源市第五中學 136200)

孤立的二體系統(tǒng)問題在高考試題和自主招生試題中比較常見，在解決該類問題時，通過引入折合質量的概念，可將復雜的二體問題變?yōu)閱误w問題.本文利用三道題目的分析求解，凸顯出該種方法在解決此類問題的巧妙之處.

一、折合質量推導

如圖1所示，宇宙中兩顆相距較近的天體均為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至因為萬有引力的作用而吸引到一起.設兩者的質量分別為m1和m2，兩者相距L.

圖1

雙星m1和m2

ω1=ω2=ω

①

②

r1+r2=L

③

分析m1的勻速圓周運動

二、應用

圖2

例1如圖2所示，一質量為mB長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質量為mA的小木塊A，現(xiàn)以地面為參照系，給A和B以方向相反的初速度V1和V2，使A開始向左運動，B開始向右運動，但最后A剛好沒有滑離B板.若已知A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ.求滿足條件的木板至少為多長？

解析以B為參考系，則滑塊A的折合質量為

①

A相對B的初速度VAB=V1+V2，當A相對B靜止時在B上相對滑動位移最大.

②

注：本題的常規(guī)解法為相對運動或等效完全非彈性碰撞模型，但計算過程較上面的解法略復雜.

圖3

例2如圖3所示，一人手持質量為m的小球，乘坐在熱氣球下的吊籃里，氣球、吊籃和人的總質量為M，氣球以速度v0勻速上升，經(jīng)過時間t0后接到小球.若人手在拋接小球時相對吊籃的位置不變，求拋球過程中人做的功.

解析以M為參考系

①

m相對M以速度v′豎直上拋

③

④

以地面為參考系，設拋出重物后M的速度變?yōu)関2，m對地的拋出速度為(v′+v0)

浮力和重力平衡，系統(tǒng)動量守恒：

m(v′+v0)+Mv2=(M+m)v0

人做的功等于系統(tǒng)動能增量：

例3 (2015中科大自主招生)兩個帶點小球所帶電量相等，符號相反.質量分別為m和2m，初始時刻，它們間距離為d，小球2m靜止.小球m沿著與兩者連線垂直的方向以速度v運動.隨后，它們多次處于相距3d的位置上，求小球所帶的電荷量.

知識準備：

解析(1)以2m為參考系，m繞2m轉動，軌跡為橢圓，2m處于橢圓的焦點.m的初始位置距離2m最近為d，距2m最遠點r滿足：

r≥3d

①

②

設m運動到橢圓軌道最遠點的速度為v′

由角動量守恒有：mvd=mv′r

③

對橢圓長軸兩端點列能量守恒：

④

(2)兩球多次處于相距3d，故m不能到達無窮遠.

⑤

折合質量的引入，為兩體碰撞、類碰撞，雙星系統(tǒng)，特殊簡諧運動等問題的分析求解提供了一個明顯便捷的計算方法，適用范圍廣，但在應用的過程中應重點關注的是：折合質量的概念僅適用于孤立的兩體系統(tǒng)，即不受外力的系統(tǒng).若系統(tǒng)受外力，本解法將不再使用.