“整體與部分關系原理”在解函數綜合題中的應用

李永革

(安徽省巢湖市第一中學 238000)

數學學習，應該從“知識的積累”上升到“處理問題的一般方法”，挖掘背后蘊含的豐富思想，形成看問題的基本觀點.布魯納在《教育過程》的“結構的重要性”中希望學生的學習從“特殊”遷移上升到“原理和態度”的遷移，即學習一個一般觀念.觀念決定視野，視野決定格局，格局決定境界.觀念是思想的升華，決定了看問題的深度和層次.因此，數學解題不能僅僅限于“解”和“題”，需要高觀點的指導.

函數是描述事物變化規律的數學模型，從“形”來看，函數圖象上的點是部分，整個圖象是整體；從“數”來看，定義域是整體，屬于定義域的任意一個實數或區間是部分；從“表達式”來看，解析式是整體，其中的局部單元是部分，運用“整體與部分關系原理”指導函數問題解決，會產生意想不到的效果.

一、原理的內容

1.內涵

整體是構成事物諸要素的有機統一，部分是整體中的某個或某些要素.

2.整體與部分辯證關系原理的方法論意義

(1)整體的地位作用其方法論意義

整體具于主導地位，統帥著部分，擁有部分所不具備的功能.我們應當樹立全局觀念，立足于全局，統籌整體，選擇最佳方案，實現整體的最優目標.從而達到整體功能大于部分功能的理想效果.

(2)部分的地位作用及其方法論意義

整體是由部分構成的，關鍵部分功能及其變化甚至對整體起決定性作用.我們必須重視部分的作用，搞好局部，用局部的發展來推動整體的發展.

二、原理的應用

1.找到關鍵點，在關鍵點上求突破

解題時，如果能抓住整個問題或整個過程的關鍵部分或關鍵過程，往往對整個問題的解決起到決定性作用.

例1(2015全國Ⅱ理)如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，∠BOP=x，將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則f(x)的圖象大致為( ).

例2(2014全國Ⅰ文)已知函數f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍為( ).

當a>0時，注意到f(0)=1>0，作出圖象知當f(x)有唯一零點時，零點為負.

點評抓住f(0)=1，這是局部性質，但它對整個圖象的零點分布起關鍵作用.

例3(2017全國Ⅲ理)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

解析(1)f(x)恒大于等于0，f(x)=0的地方是關鍵點，注意到f(1)=0，所以x=1是最小值點，且是區間內點，所以x=1是極小值點，從而由f′(1)=0得答案.

例4(2015全國Ⅱ理)設函數f(x)=emx+x2-mx．

(1)證明：f(x)在(-，0)單調遞減，在(0，+)單調遞增；

(2)若對于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍．

點評因為圖象是U字形.求最大值只要抓住端點-1，1和極值點0這三個關鍵點即可.

2.找到關鍵部分，理解關鍵部分對整體的影響

例5(2019全國Ⅰ理)已知函數f(x)=sinx-ln (1+x)，f′(x)為f(x)的導數.證明：

(2)f(x)有且僅有2個零點.

點評因為sinx是有界函數，當x很大時f(x)的函數值由ln(1+x)控制，所以ln(1+x)是關鍵部分，sinx可忽略不計.當x∈(2,+)時，ln(1+x)>1,函數f(x)>0，無零點.于是只要證明當x∈(-1，2)時函數f(x)有兩個零點即可.

3.抓整體結構，依據結構特征選擇解題方案

例6 求下列函數的最值：

(5)y=log3x+logx3-1.

解析本題在選擇求值域的方法時必須從解析式整體結構出發.比如第(1)小題解析式是分式結構，且分子、分母都是關于自變量的一次式，于是無需關注各部分的細節，就可以選擇“分離常數法”.而第(4)小題整體結構與第(1)有所不同，分子、分母是關于自變量的二次式，則應選擇“判別式法”.第(2)小題整體結構特征是一次式和二次根式，故選擇“根式換元法”，轉化為二次函數求值域.第(3)、(5)小題則分別選擇“三角換元法”、“基本不等式法”.

4.對整體進行合理分拆和變換

對整體進行合理的分拆，分解為若干基本的單元，由各單元的性質得到整體的性質或通過對基本單元的處理，得到新的整體，使新的整體具備某種性質，為解題服務.

解析∵y=ln (1+|x|)為偶函數，且在[0，+)單增；為偶函數，且在[0，+)單增；所以為偶函數，且在0，+)單增.f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?x2>(2x-1)2，所以x的取值范圍是

點評將函數f(x)分成兩部分，根據兩部分的共同性質得到整體的性質，再用所得的性質解決問題.

例8(2019河南信陽)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，且在R上是單調遞增函數，函數g(x)=f(x-5)+x，數列{an}為等差數列，且公差不為0，若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，則a1+a2+…+a9=( ).

A.45 B. 15 C. 10 D.0

解析涉及函數值和自變量的和或積，?？紤]函數對稱性.函數y=f(x)為定義域R上的奇函數，則y=f(x)的圖象關于點(0，0)中心對稱，那么y=f(x-5)的圖象關于點(5，0)中心對稱，函數y=x-5的圖象也關于點(5，0)中心對稱.設p(x)=f(x-5)+(x-5)=g(x)-5，則p(x)圖象也關于點(5，0)對稱.因為g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，所以p(a1)+p(a2)+…+p(a9)=0.結合圖象可知a5=5.所以a1+a2+…+a9=5a5=45.

點評本題對函數g(x)后半部分x進行了處理，構造出新函數p(x)，使p(x)具有關于點(5，0)對稱的性質.

5.利用整體性質和部分性質的統一

例9(2015全國Ⅰ文)設函數y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關于直線y=-x對稱，且f(-2)+f(-4)=1，則a=( ).

A．-1 B .1 C .2 D.4

解析設(x，y)是函數y=f(x) 的圖象上任意一點，它關于直線y=-x對稱點為(-y，-x)，由已知知(-y，-x)在函數y=2x+a的圖象上，∴-x=2-y+a，解得y=-log2(-x)+a，即f(x)=-log2(-x)+a.∴f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1，解得a=2，選C.

點評圖象具有對稱性，則圖象上的點也具有相應的對稱性，這是本題解題的依據.

例10(2018全國Ⅱ文)已知f(x)是定義域為(-，+)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析由題意可知函數f(x)的周期為4，結合f(1-x)=f(1+x)，得f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0，一個周期函數值之和為0.所以，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

點評周期函數，它的所有性質都蘊含在一個周期內.只需研究一個周期，就可以弄清楚它在整個定義域內的性質.

點評整體具有的性質部分也具備，先通過部分性質的處理，獲得某些限制條件，縮小問題的研究范圍，使問題的研究得到簡化.

6.注意整體性質是部分性質的有機結合

A.25 B.50 C.75 D.100

以上結合實例探討了“整體與部分關系原理”在解答函數綜合題中的運用.事實上在數學課程中，能夠用“整體與部分關系原理”來思考的問題還很多，比如：統計學中的用樣本估計總體，平幾中的圖形分解，立幾中的截面選取，代數中利用函數觀點研究方程、不等式、數列等等.只要我們善于利用上述原理思考，都會有助于思維的突破.