直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義法求“不定式”極限

曾小華 蔣紅珠

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068；2.廣東華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

一、引言

我國中科院著名的李邦河院士講：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，而不是純粹的技巧.”導(dǎo)數(shù)的定義在高中數(shù)學(xué)乃至是大學(xué)數(shù)學(xué)中都具有重要的作用，高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、最值、極值等，但是對導(dǎo)數(shù)定義的教學(xué)是不夠深入的，因此在高考數(shù)學(xué)中遇到求“不定式”極限時，考生往往難以解決這類問題.接下來，將對不定式極限和導(dǎo)數(shù)的定義相關(guān)內(nèi)容作簡單的介紹.

不定式極限簡介若函數(shù)f和g滿足：

導(dǎo)數(shù)定義簡介設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是

這就是函數(shù)定義在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

二、直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義求解“不定式”極限

1.利用導(dǎo)數(shù)求不等式成立問題

例1(2017年全國高考數(shù)學(xué)文科卷Ⅱ第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.

對于問題(2)顯然可以使用分離參數(shù)法，需要進(jìn)行分情況討論.

當(dāng)x=0時，顯然有(1-02)e0≤a·0+1，故不等式恒成立，所以a∈R；

顯然這是一個不定式極限，注意到分式的分母結(jié)構(gòu)，考慮直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義.

令函數(shù)n(x)=(1-x2)ex-1，顯然n(0)=0.

直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義，故有

該極限為函數(shù)n(x)在x=0處導(dǎo)數(shù)的定義，所以

所以a的取值范圍為[1,+).

評注該試題為典型的求不定式極限問題，分母的結(jié)構(gòu)和導(dǎo)數(shù)定義中的結(jié)構(gòu)是完全相同的，故考慮直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義.巧令函數(shù)n(x)=(1-x2)ex-1，讓分子的結(jié)構(gòu)和分母的結(jié)構(gòu)與導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)相對應(yīng)起來，將不定式極限轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)運(yùn)算.

2.利用導(dǎo)數(shù)定義求恒成立中參數(shù)問題

例2(2016全國高考數(shù)學(xué)文科卷Ⅱ第21題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當(dāng)a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若當(dāng)x∈(1,+)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.

對于問題(2)，對x∈(1,+)時，要使得f(x)>0,

即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

由于x∈(1,+)，分離參數(shù)，可得

這個極限顯然為不定式極限，考慮使用導(dǎo)數(shù)的定義.

令p(x)=(x+1)lnx，顯然有p(1)=0.

所以a的取值范圍為(-∞,2).

評注該試題中巧設(shè)函數(shù)p(x)=(x+1)lnx，借助p(1)=0，將不定式極限轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的定義來求解，這種以定義的方式來解決不定式極限的方法，充分體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)定義的力量.

3.利用導(dǎo)數(shù)定義求參數(shù)取值范圍問題

所以m(x)在區(qū)間x∈(0,+)上單調(diào)遞增.

這個極限顯然為不定式極限，考慮使用導(dǎo)數(shù)的定義.

設(shè)p(x)=(x+1)ln(x+1)，顯然就有p(0)=0.

評注該試題的解決方法相對較為容易，但是其中蘊(yùn)含了豐富的考點(diǎn)，其一是重要不等式x≥ln(x+1)；其二就是對導(dǎo)數(shù)定義的理解，需要理解導(dǎo)數(shù)所代表的幾何意義和代數(shù)形式，特別是代數(shù)結(jié)構(gòu)的對稱性；其三是對函數(shù)的選擇，需要充分地考慮分母的結(jié)構(gòu)形式，需要將選擇的函數(shù)與分母對應(yīng)起來，這需要考生具有敏銳的洞察力.

4.利用導(dǎo)數(shù)定義求最值問題

(1)求證f(x)≤0；

解析問題(1)解答，略.

由問題(1)可得，函數(shù)f(x)=xcosx-sinx≤0.

現(xiàn)在需要求a的最大值與b的最小值.

顯然?為一個不定式極限，故考慮構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義.令n(x)=sinx，顯然有n(0)=sin0=0.

通過對上述不定式極限試題的分析和解答，可見當(dāng)所求的極限為不定式極限且分母為一次單項(xiàng)式或者是一次二項(xiàng)式的時候，可以將求不定式的極限值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的定義來求解.在求解這類型的不定式極限值時，需要注意導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造的函數(shù)結(jié)構(gòu)是否相匹配，只有當(dāng)分子與分母的結(jié)構(gòu)相匹配時才能使用導(dǎo)數(shù)的定義.含有不定式極限問題的試題，多具有高等數(shù)學(xué)的知識背景，可以通過高等數(shù)學(xué)中的“洛必達(dá)法則”解決，解決方法較為簡單，但在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中不建議使用，不然容易讓學(xué)生產(chǎn)生惰性思維，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，有興趣的可以參看高等數(shù)學(xué)中求不定式極限的常用策略.