碰撞出來的圓周率
——兩球與墻壁三者間的碰撞次數(shù)與圓周率π間關(guān)系的討論

陳 怡

(浙江金華第一中學(xué)，浙江 金華 321015)

1 問題的提出

圖1

如圖1所示，左側(cè)為光滑墻壁，下方為可向右側(cè)無限延伸的光滑地面。A、B兩球大小相等，置于地面上，現(xiàn)給A向左的初速度。假設(shè)球與球，球與墻壁之間的碰撞為均無動(dòng)能損失。如果A、B兩球質(zhì)量相等，A碰上B，A停下來B繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，B碰到墻后再返回與A相碰，球與球、球與墻之間一共發(fā)生了3次碰撞。如果球A的質(zhì)量大于B，那么A碰完B之后,A還會(huì)繼續(xù)向墻運(yùn)動(dòng)，總共的碰撞次數(shù)可能會(huì)大于3次。實(shí)際上：當(dāng)A的質(zhì)量是B的一萬倍時(shí)，共碰撞314次。當(dāng)A的質(zhì)量是B的一百萬倍時(shí)，共碰撞3141次。當(dāng)A的質(zhì)量是B的一億倍時(shí)，共碰撞31415次。很明顯地發(fā)現(xiàn)，總的碰撞次數(shù)會(huì)與圓周率的數(shù)值有關(guān)，那么為何兩球與墻壁三者間的總碰撞次數(shù)會(huì)與圓周率聯(lián)系在一起？

本文立足于兩個(gè)小球在碰撞過程中速度變換關(guān)系而完全舍棄位置參量來解決A，B兩球與墻壁三者間的總碰撞次數(shù)和圓周率的關(guān)系問題，采用碰撞過程中的速度變換關(guān)系的證明方法可以直接構(gòu)造出平面直角坐標(biāo)系下的圓方程，進(jìn)而利用碰撞前后在單位圓圓周上的變換關(guān)系直接得到最后的結(jié)論，整個(gè)討論過程物理意義明確，幾何關(guān)系簡(jiǎn)單。

2 分析與論證

為簡(jiǎn)單起見作如下假設(shè)：如圖2所示，A球質(zhì)量為mA=Nm，B球質(zhì)量為mB=m，規(guī)定向左為正方向，初始時(shí)A球具有向左的初速度v0。

圖2

2.1 A,B兩球和墻壁三者之間任一次碰撞中的能量動(dòng)量關(guān)系

設(shè)某時(shí)刻，A,B兩球發(fā)生第n次碰撞，那么從一開始到第n次兩球碰撞的時(shí)間間隔內(nèi)，B球與墻壁共發(fā)生了n-1次碰撞。設(shè)A,B兩球第n次碰撞之后瞬間的速率分別為vAn,vBn，由于B球與墻壁之間的碰撞只能使得B球的運(yùn)動(dòng)方向反向，而不改變B球的運(yùn)動(dòng)速率，故A,B兩球第n次碰撞之前瞬間的速率也就是A,B兩球第n-1次碰撞之后瞬間的速率vAn-1,vBn-1。A,B兩球第1次碰撞之前的速率分別為vA0=v0，vB0=0。

A,B兩球發(fā)生第n次碰撞前后滿足動(dòng)量守恒定律，故而有

(1)

由于A,B兩球之間的碰撞是完全彈性碰撞，總動(dòng)能保持不變。由于墻壁保持不動(dòng)，B球與墻壁之間的碰撞雖然不滿足動(dòng)量守恒定律，但是B球與墻壁之間碰撞前后無動(dòng)能損失，B球動(dòng)能保持不變。因此在A,B兩球與墻壁三者的碰撞過程中，總動(dòng)能保持不變，可得

(2)

聯(lián)立(1)和(2)兩式可以解得，

(3)

(4)

(5)

也就意味著，A,B兩球任意一次碰撞前后的速率可用平面直角坐標(biāo)系上單位圓上的點(diǎn)來描述，進(jìn)而可設(shè)

將(6)和(7)兩式代入式(1)，化簡(jiǎn)后可得

(8)

因而得到

(9)

圖3

A,B兩球第一次碰撞之前，A球和B球速率分別為

(10)

即為單位圓上的點(diǎn)(1,0)。

A,B兩球第一次碰撞之后，根據(jù)式(3)可得，A球和B球速率分別為

(11)

因此在第一次碰撞前后，在單位圓上逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為

(12)

依次類推，A,B兩球第n次碰撞之后瞬間的速度為

(13)

即在圖3的單位圓上以橫軸正方向?yàn)榛鶞?zhǔn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過角度nθ。

2.2 A,B兩球和墻壁三者間結(jié)束碰撞的條件

假定A,B兩球經(jīng)過k次碰撞后，兩者徹底結(jié)束碰撞，以后兩球不再碰撞。考察整個(gè)碰撞過程中B與墻壁的碰撞次數(shù)。若要求A,B兩球終結(jié)碰撞，此后不再碰撞，有以下兩種可能的方式：

第一種終結(jié)碰撞的方式是A,B兩球經(jīng)過k-1次碰撞后，A球向右運(yùn)動(dòng)，B球向左運(yùn)動(dòng)，B球與墻壁碰撞后向右運(yùn)動(dòng)并追上向右運(yùn)動(dòng)的A球，進(jìn)行第k次碰撞，碰后A,B兩球均向右運(yùn)動(dòng)，但B球的速率小于A球速率。即要求

vAk<0,vBk<0且|vAk|≥|vBk|

(14)

A,B之間碰撞k次，B與墻壁碰撞k-1次，共碰撞2k-1次。

第二種終結(jié)碰撞的方式是A,B兩球經(jīng)過k次碰撞后，A球向右運(yùn)動(dòng)，B球向左運(yùn)動(dòng)，B球與墻壁碰撞后雖然向右運(yùn)動(dòng)但已經(jīng)追不上向右運(yùn)動(dòng)的A球。即要求

vAk<0,vBk>0且|vAk|≥|vBk|

(15)

A,B之間碰撞k次，B與墻壁碰撞k次，共碰撞2k次。

2.3 A,B兩球和墻壁三者間的總碰撞次數(shù)

若以第一種方式終結(jié)碰撞，要求

(16)

且

(17)

聯(lián)立式(16)和(17)可得kθ應(yīng)位于第三象限，即要求

(18)

再結(jié)合式(12)，可得

(19)

A,B及墻壁之間的總碰撞次數(shù)滿足如下條件

(20)

即總碰撞次數(shù)為

(21)

其中[]表示取整，很顯然總碰撞次數(shù)與圓周率有關(guān)。當(dāng)N很大時(shí)，根據(jù)近似公式

(22)

可將式(21)化為

(23)

若以第二種方式終結(jié)碰撞，要求

(24)

且

(25)

聯(lián)立(16)和(17)兩式可得kθ應(yīng)位于第二象限，即要求

(26)

再結(jié)合式(12)，可得

(27)

A,B及墻壁之間的總碰撞次數(shù)滿足如下條件

(28)

即總碰撞次數(shù)為

(29)

其中[]表示取整，很顯然總碰撞次數(shù)與圓周率有關(guān)。當(dāng)N很大時(shí)，根據(jù)近似公式

(30)

可將式(29)化為

(31)

3 結(jié)論與啟示