碰撞出來的圓周率
——兩球與墻壁三者間的碰撞次數與圓周率π間關系的討論

陳 怡

(浙江金華第一中學，浙江 金華 321015)

1 問題的提出

圖1

如圖1所示，左側為光滑墻壁，下方為可向右側無限延伸的光滑地面。A、B兩球大小相等，置于地面上，現給A向左的初速度。假設球與球，球與墻壁之間的碰撞為均無動能損失。如果A、B兩球質量相等，A碰上B，A停下來B繼續運動，B碰到墻后再返回與A相碰，球與球、球與墻之間一共發生了3次碰撞。如果球A的質量大于B，那么A碰完B之后,A還會繼續向墻運動，總共的碰撞次數可能會大于3次。實際上：當A的質量是B的一萬倍時，共碰撞314次。當A的質量是B的一百萬倍時，共碰撞3141次。當A的質量是B的一億倍時，共碰撞31415次。很明顯地發現，總的碰撞次數會與圓周率的數值有關，那么為何兩球與墻壁三者間的總碰撞次數會與圓周率聯系在一起？

本文立足于兩個小球在碰撞過程中速度變換關系而完全舍棄位置參量來解決A，B兩球與墻壁三者間的總碰撞次數和圓周率的關系問題，采用碰撞過程中的速度變換關系的證明方法可以直接構造出平面直角坐標系下的圓方程，進而利用碰撞前后在單位圓圓周上的變換關系直接得到最后的結論，整個討論過程物理意義明確，幾何關系簡單。

2 分析與論證

為簡單起見作如下假設：如圖2所示，A球質量為mA=Nm，B球質量為mB=m，規定向左為正方向，初始時A球具有向左的初速度v0。

圖2

2.1 A,B兩球和墻壁三者之間任一次碰撞中的能量動量關系

設某時刻，A,B兩球發生第n次碰撞，那么從一開始到第n次兩球碰撞的時間間隔內，B球與墻壁共發生了n-1次碰撞。設A,B兩球第n次碰撞之后瞬間的速率分別為vAn,vBn，由于B球與墻壁之間的碰撞只能使得B球的運動方向反向，而不改變B球的運動速率，故A,B兩球第n次碰撞之前瞬間的速率也就是A,B兩球第n-1次碰撞之后瞬間的速率vAn-1,vBn-1。A,B兩球第1次碰撞之前的速率分別為vA0=v0，vB0=0。

A,B兩球發生第n次碰撞前后滿足動量守恒定律，故而有

(1)

由于A,B兩球之間的碰撞是完全彈性碰撞，總動能保持不變。由于墻壁保持不動，B球與墻壁之間的碰撞雖然不滿足動量守恒定律，但是B球與墻壁之間碰撞前后無動能損失，B球動能保持不變。因此在A,B兩球與墻壁三者的碰撞過程中，總動能保持不變，可得

(2)

聯立(1)和(2)兩式可以解得，

(3)

(4)

(5)

也就意味著，A,B兩球任意一次碰撞前后的速率可用平面直角坐標系上單位圓上的點來描述，進而可設

將(6)和(7)兩式代入式(1)，化簡后可得

(8)

因而得到

(9)

圖3

A,B兩球第一次碰撞之前，A球和B球速率分別為

(10)

即為單位圓上的點(1,0)。

A,B兩球第一次碰撞之后，根據式(3)可得，A球和B球速率分別為

(11)

因此在第一次碰撞前后，在單位圓上逆時針轉過的角度為

(12)

依次類推，A,B兩球第n次碰撞之后瞬間的速度為

(13)

即在圖3的單位圓上以橫軸正方向為基準逆時針轉過角度nθ。

2.2 A,B兩球和墻壁三者間結束碰撞的條件

假定A,B兩球經過k次碰撞后，兩者徹底結束碰撞，以后兩球不再碰撞。考察整個碰撞過程中B與墻壁的碰撞次數。若要求A,B兩球終結碰撞，此后不再碰撞，有以下兩種可能的方式：

第一種終結碰撞的方式是A,B兩球經過k-1次碰撞后，A球向右運動，B球向左運動，B球與墻壁碰撞后向右運動并追上向右運動的A球，進行第k次碰撞，碰后A,B兩球均向右運動，但B球的速率小于A球速率。即要求

vAk<0,vBk<0且|vAk|≥|vBk|

(14)

A,B之間碰撞k次，B與墻壁碰撞k-1次，共碰撞2k-1次。

第二種終結碰撞的方式是A,B兩球經過k次碰撞后，A球向右運動，B球向左運動，B球與墻壁碰撞后雖然向右運動但已經追不上向右運動的A球。即要求

vAk<0,vBk>0且|vAk|≥|vBk|

(15)

A,B之間碰撞k次，B與墻壁碰撞k次，共碰撞2k次。

2.3 A,B兩球和墻壁三者間的總碰撞次數

若以第一種方式終結碰撞，要求

(16)

且

(17)

聯立式(16)和(17)可得kθ應位于第三象限，即要求

(18)

再結合式(12)，可得

(19)

A,B及墻壁之間的總碰撞次數滿足如下條件

(20)

即總碰撞次數為

(21)

其中[]表示取整，很顯然總碰撞次數與圓周率有關。當N很大時，根據近似公式

(22)

可將式(21)化為

(23)

若以第二種方式終結碰撞，要求

(24)

且

(25)

聯立(16)和(17)兩式可得kθ應位于第二象限，即要求

(26)

再結合式(12)，可得

(27)

A,B及墻壁之間的總碰撞次數滿足如下條件

(28)

即總碰撞次數為

(29)

其中[]表示取整，很顯然總碰撞次數與圓周率有關。當N很大時，根據近似公式

(30)

可將式(29)化為

(31)

3 結論與啟示