物體在地球隧道中的運動

吳岱宗 劉玉穎

(中國農業大學 1工學院； 2理學院，北京 100083)

圖1 地球隧道示意圖

地球隧道，顧名思義，是指一條穿行于地球內部的隧道(如圖1所示)。“假想在地球內部鉆一隧道通過地心到達地球另一側，試分析物體距地心為r時物體所受到的引力，若物體掉入洞中，且假設沒有摩擦力，該物體將做何種運動？該物體從一側到達另一側的時間為多長呢？”[1]。 本文從一道習題出發，進行以下探究。 首先，如果認為地球是一個勻質球體，根據質點在地球內部的受力情況，證明了物體在地球隧道中的運動是簡諧振動。 由簡諧振動的運動特點，得出物體的運動周期和最大運動速度。 基于物體沿著直徑隧道的往返運動，我們又擴展到若物體在通過一條弦線的隧道時，運動周期有無變化？本文對此進行了詳細的推導。 真實的地球并不是勻質球體，根據地質測量數據，本文中，我們重新建立地球模型探究物體在隧道內的運動情況，得出了物體運動周期和最大運動速度與理想情況下存在差異。通過Matlab繪制運動圖像直觀地比較了物體在兩個模型中的運動情況。

1 地球重力分布

先討論較為簡單的理想情況，即：設定地球是一個質量分布均勻的球體。

牛頓在其著作《自然科學的數學原理》中是這樣論述地球外部的重力的：在地球外部，物體所受的地球重力符合萬有引力定律[2]，即

(1)

其中，G是萬有引力常量，G=(6.674×10-11±0.003)N·m2/kg2[3]；M表示地球的質量；m代表所研究物體的質量；r是物體與地球球心之間的距離。可以證明：理想情況下，質點在地球外部受到的重力(或萬有引力)指向球心，計算大小時可以認為地球的質量集中于球心，且質點受到的重力大小F與它到地球球心的距離r的平方成反比。

對于地球內部重力的分布，在《自然科學的數學原理》中，牛頓指出：在質量分布均勻的球殼內部，該球殼對任意一點的萬有引力合力為零[2]。 換言之，地球內部一點受到的萬有引力僅來自于該點與球心之間的部分，而與外部無關。

可以看出，地球內部重力分布與地球外部的重力有所不同。 當物體位于距地球球心r處時，參照式(1)，可以得到物體受到的萬有引力公式：

(2)

其中，G是萬有引力常量；M內部表示該點與球心之間的球體的質量；m代表所研究物體的質量；r是物體與地球球心之間的距離；ρ是地球的密度。 進而地球內部的重力加速度

(3)

通過該公式發現物體在地球內部受到的萬有引力也指向球心，但是大小與物體與球心的距離r成正比例關系。

根據以上描述，可以得到地球重力加速度隨著距地心距離的分布情況(如圖2所示)。

圖2 地球重力加速度分布圖

地球隧道最早于1864年由法國作家儒勒·凡爾納提出，在他的科幻小說《地心游記》中，他設想出的一條假想隧道，通過該隧道，人們可以通過該隧道直通地球的彼岸，并在沿途欣賞到地心的美景。 雖然依靠現有的科學技術，暫時還無法克服地心7000℃的高溫和強大的地心壓力，地球隧道在短期內還無法實現，但是地球隧道卻不失為研究簡諧振動的一個經典模型。

那么地球隧道又是如何與簡諧振動聯系起來的呢？

2 物體在地球隧道中作簡諧振動

首先，在不考慮地球自轉，認為地球是一個球體且質量分布均勻、其內部無摩擦的情況下，物體在地球隧道中運動時符合簡諧振動的特點。 根據前文對于地球重力分布的描述，我們已經得到了地球內部萬有引力公式

(4)

如果考慮F和r的方向，我們得到

(5)

其中r的方向沿徑向向外。

由于G，ρ，m均為常數，我們令

(6)

則

F=-kr

(7)

其中k是常數。 顯然，當物體在地球內部運動時，物體受到的萬有引力符合簡諧振動回復力的特征，所以得出結論：物體在地球內部運動時是作簡諧振動的。

3 物體在地球隧道中的運動情況

3.1 物體的運動周期

在得出地球隧道中的物體是在作簡諧振動后，通過計算可以得出該物體運動的很多性質，其中最重要也是人們關注最多的是物體從地球的一端到達另一端所需的時間。 對于一般的簡諧振動，物體的運動周期

(8)

(9)

其中G=(6.674×10-11±0.003)N·m2/kg2，ρ=(5.514±0.001)×103kg/m3[4]。 經過計算，物體運動的周期T=5060.7±0.6s=84.3±0.1min，即物體從地球的一端到另一端單程的時間約為42.2min。

圖3 衛星的受力分析

3.2 物體在球心處的運動速度

根據簡諧振動的速度公式

v=-ωAsin(ωt+φ)

(10)

其中，A表示簡諧振動的振幅;φ是初相。 可以得到，最大速度

vmax=ωA

(11)

根據ω的定義，

(12)

把式(12)代入式(11)。 同時，振幅A取地球半徑R=(6.371±0.015)×103km[4]，得

(13)

也就是說，在地球隧道中運動的物體，在球心處的速度能達到7.91km/s。

這個速度與平時我們知道的第一宇宙速度非常接近，它們之間是否有聯系呢？

4 簡諧振動與圓周運動

第一宇宙速度是近地衛星環繞地球的速度。 在地球表面之外，衛星只受到地球對它的萬有引力作用，這個力充當衛星作圓周運動時所需的向心力。 對衛星進行受力分析，如圖3所示。 衛星受到的萬有引力指向圓心，處于任意位置的衛星與豎直方向的夾角為θ。 對加速度a沿水平和豎直方向分解，得到ax和ay。

我們關心的是衛星沿豎直方向的加速度ay。 容易得出，衛星沿豎直方向的加速度ay與一般的簡諧振動加速度表達式具有相同的形式，也就是說衛星在近地面環繞地球的過程中在豎直y方向上是作簡諧振動的。

根據向心加速度a的表達式，可以得到近地衛星環繞地球的速度v。

(17)

此時的r和A均是地球的半徑R。

可以算出

(18)

計算過程中，地球質量M=(5.9723±0.013)×1024kg[4]，地球半徑R=(6.371±0.015)×103km。

根據公式(11)，有

v=ωA=(7.91±0.05)km/s

(19)

所以，我們的結論是近地衛星環繞地球的運動在豎直方向上的投影就是在該方向上地球隧道中的簡諧振動。

5 物體運動軌跡不通過圓心時的運動分析

如果隧道不通過地球球心(運動路徑為任意一段弦)，物體是否還作簡諧運動呢？如果是，它運動的周期又是多少呢？

圖4 地球隧道不通過地球球心

如圖4所示，物體在任意一條弦上運動。 它從A點運動到位置P時，如果設M′為該點與地心之間球殼(圖中陰影部分)的質量，則它受到的萬有引力大小為

(20)

方向指向球心。 它的表達公式與穿過球心的力的表達公式類似，只是此時它受到的回復力不再沿著軌道方向，而是指向球心。 接下來研究F沿軌道方向的分力Fx。 經過計算，

(21)

由Fx的表達式，可以得出當物體在地球隧道內運動，如果該隧道不通過地心，而是一段連接地球表面兩點的弦線中運動時，它作的還是簡諧運動，且受力情況與通過地心時相同，因為它們的k是相等的。 由于k相等，所以周期T也是相等的。 也就是說，質點通過地球內部任何一條路徑到達地球的另一側，所需的時間都是42.17min(理想情況)，而與它通過的路徑長短無關。

6 非理想情況下的地球隧道

我們知道，地球實際上是一個質量分布不均勻的球體，地球內部的重力加速度隨深度的增加并不是線性減少的。 那么地球內部的重力加速度在真實情況下是如何變化的？

地球的內部結構可以分為地殼、地幔和地核。 李安生[6]和Bullen[7]均在各自的文章中記錄了地球特殊位置的重力加速度，其中李安生的數據與Bullen的B2模型所得的數據重合度很高。 本文采用的數據主要來源于二者的文獻，經整理后匯總在表1中。 從表1可以看出，地殼、地幔的密度比地核的密度小很多，大部分的地球質量都集中在內層的地核處，這對我們計算地球隧道的屬性產生了很大影響。 正是因為地球質量分布的不均勻，導致地球內部的重力加速度變化不均勻。

表1 地球的密度分布和重力加速度分布[6,7]

續表

*注：h指距離地表的距離，即深度。

如表1和圖5所示，在地殼、地幔處，隨著深度的增加，重力加速度幾乎不發生改變，甚至出現重力加速度增大的反常現象。 這是由于地核擁有的質量遠大于地殼、地幔的質量，從一定程度上補償了由于深度增加地殼、地幔對重力加速度減小的作用。

圖5 地球內部實際密度ρ和重力加速度g隨深度h變化圖[6, 7]

通過上述分析，有必要重新對地球模型進行建模和對物體在地球隧道中的運動周期進行計算。

根據圖5所示的重力加速度隨深度增加的變化圖，我們重新定義重力加速度在地球內部的變化規律。 以幔核界面為界，將物體的運動分為兩個階段。

階段1(0～2898km)：由表1數據可以發現，重力加速度g在該階段變化不大，我們認為物體在0～33km、33～413km、413～984km、984～2000km和2000～2898km所受重力加速度不發生改變，即物體在各階段均作勻加速運動，加速度分別為(9.85±0.01)m·s-2、(9.96±0.04)m·s-2、(9.97±0.03)m·s-2、(10.01±0.02)m·s-2和(10.73±0.03)m·s-2。

根據勻加速運動的性質，可以得到各階段物體的末速度v和所用的時間t。 將數據匯總在表2中。

表2 階段I物體的速度和所用時間

根據表2的數據，可以求得物體在階段Ⅰ所用的總時間t1=(762.4±2.2)s，階段Ⅰ最終的末速度v1=(7695±34)m/s。

階段2：為了更直觀地研究階段2物體的運動情況，假設x為物體所在位置距地心的距離，對表1中的數據進行處理。

把表3中的數據畫在同一坐標系下，發現g與x的圖像與一次函數接近，遂用Matlab對表3的數據進行一次函數擬合。 得到如圖6所示圖形。

表3 階段2重力加速度g與x的變化關系

圖6 階段II重力加速度g與x的擬合曲線

根據Matlab提供的擬合數據，考慮到物體所受萬有引力方向與物體運動方向相反，可以得到x的二階導數x″關于x的表達式

x″=(-3.094×10-6)·x

(22)

這是一個二階常系數微分方程，我們采用特征根法對其進行求解。

把上述方程變化為

x″+(3.094×10-6)·x=0

(23)

其特征方程為

λ2+3.094×10-6=0

(24)

即方程有特征根λ=±1.759×10-3i,且兩個特征根都是單根。 由此，可以得到方程的兩個實值解

cos(1.759×10-3)t, sin(1.759×10-3)t

故通解為

x=c1cos(1.759×10-3)t+c2sin(1.759×10-3)t

(25)

根據初值條件，當t=0時，x=3473km，v=(7695±34)m/s，可以求出通解中的常數c1和c2

(26)

如果在計算中考慮誤差，那么

通過上述計算，得到了第二階段位移x隨時間t的方程

(27)

現在，只需要令x=0，就可以求出物體在地核中運動的時間t2。

(28)

在得到t1和t2后，就可以求得在更精確的模型下物體通過地球隧道到達地球另一邊所需要的時間t。

(29)

可以看出，在地球密度不均勻的模型下，物體在地球隧道中運動的時間比理想模型要短近4分鐘的時間。

7 誤差分析

對于本文中涉及的計算，特別是第6節非理想條件下物體的運動的計算，是存在誤差的。

首先，萬有引力常數G的引用存在誤差。 在Mohr等人的文章[3]中，來自3個不同來源的萬有引力常數被摘錄，其中G的取值在小數點后第三位開始存在較大差異，最大誤差為0.05%。

其次，對于地球內部的重力加速度數據，雖然李安生和Bullen的B2模型所得的數據重合度很高，但是在某些位置，如距地表5120km處，兩者的誤差可達近0.7%。 綜合其他位置，兩者平均的誤差在0.4%左右。

最后，在第6節的計算中，不管是在地殼、地幔層(階段1)對各層次加速度恒定的假設，還是在地核層(階段2)對恒定加速度的擬合，都會對最后的結果產生誤差。 例如，如果能繼續將階段1繼續細分，那么得到的計算結果一定會比本文中涉及的計算更加精確。 讀者可根據Bullen的數據將階段1進一步細化，獲得更精確的結果。

綜上所述，雖然本文中的計算存在誤差，但是我們認為本文中的誤差仍在可接受范圍內。

8 理想與非理想模型的圖像對比

在經過上述計算之后，我們使用Matlab模擬在兩個模型下得到的地球隧道模型的v-t圖，結論會更加直觀。

如圖7所示，利用Matlab畫出兩個模型的v-t圖。 通過圖7可以更加直觀地得到理想模型和非理想模型的差別。物體在非理想模型中的運動時間更短，在地心處達到的速度也更快。

圖7 理想模型與非理想模型的v-t圖

9 地球隧道在設計過程中遇到的困難

事實上，在設計地球隧道的過程中，我們不僅要考慮地球質量分布不均勻對地球隧道設計帶來的影響，還要考慮諸如地球自轉產生的地轉偏向力對物體運動軌跡的影響、隧道中空氣對物體的影響和隧道內壁對物體產生的摩擦的影響等因素。

首先,考慮地轉偏向力。 地轉偏向力，又稱科里奧利力，是地球自轉引起的一種慣性力，它的方向始終與在地球上(包括內部)運動的物體方向垂直，即不改變物體的運動速率，但會改變物體的運動方向。 當物體在地球隧道內運動時，物體會因為受到科里奧利力的作用速度方向不再指向圓心，從而撞上隧道的內壁，產生動能損耗。 出現動能的損耗就意味著物體不能夠到達地球的另一端。 可能的解決方法是將隧道內加一磁場，把所運輸的物體放在一個磁性材料制成的“電梯”中，通過計算機調節磁場的大小和方向，起到實時糾正物體的運動軌跡的作用，防止物體出現碰撞隧道內壁的情況。

其次，隧道內的真空條件是必不可少的。物體在隧道內部運動時的速度最快能達到7.9km/s，在非理想模型中能達到近10km/s的高速，即便是稀薄的空氣也會因為物體與之摩擦而產生大量的熱。 如果認為地球是一個質量分布均勻的球體，考慮空氣阻力，那么這就是“阻尼振動”模型。 根據“阻尼振動”的性質[8]，物體振動的最大偏移量隨著時間不斷減少。 這意味著物體在這個模型中運動時是不可能達到地球另一端的同等高度的，且最后物體會在不斷發生的能量損耗中停在地球球心處。

再次，地球核心的溫度高達7000℃，目前世界上最耐熱的材料碳化鉭鉿合金(Ta4HfC5)的熔點僅有4215℃。 可以說，就目前人類掌握的材料學知識而言，沒有材料能經受住地球核心7000℃的高溫。 但是，在不久的將來，材料學家可能就會發現能夠滿足地球隧道要求的新型材料。

最后，地球的結構非常復雜，地殼、地幔和地核都可以繼續細分，且地球內部多為液態圈層或液態—固態混合圈層，流動性強，穩定性不足。 如果在地球表面向下挖一個貫穿地球核心的隧道，需要時刻留意地球各圈層的移動對隧道結構造成的破壞。 這其實也是在考驗建造地球隧道的材料的物理性質。

綜上分析，尋找能夠經受住地核高溫和抵抗強大地球內部擠壓的材料已經成為建造地球隧道的首要難題。

10 結論

本文詳細論述了地球內部和外部重力分布的特點，分析了物體在地球內部隧道中的運動，證明了物體在過地心的地球隧道內部做簡諧振動，計算出物體在地球隧道(過地心的直徑)中的運動周期約為42min、運動最大速度約為7.9km/s等。 本文討論連接地球表面的任意兩點的通過地球內部的一條弦線中的物體的運動，得出了與過地心的地球直徑隧道周期相同。 我們比較了地球為勻質球體的理想情況和真實質量分布情況下的物體在隧道內的運動，使用Matlab對兩個模型下物體的運動情況進行模擬，并得出：在真實地球模型下物體運動得更快，到達地球另一端的時間更短，只需38min。