關于流體力學黏滯及伯努利方程演示實驗

路峻嶺 顧 晨 秦聯華 任乃敬 馬泊一

(清華大學物理系,北京 100084)

1 關于流體力學的相關知識[1，2]

1.1 問題的提出——伯努利方程的適用條件以及達朗貝爾佯謬

我們知道，物理學是研究自然界物質的基本運動規律的。為了突出主要矛盾，人們往往設定一些理想物理模型，如質點，剛體，理想氣體等等。在這里涉及的理想物理模型是理想流體。理想流體的主要特征指的是不可壓縮和沒有粘滯性，所謂不可壓縮指的是流體中任意一定體積的流體團無論其壓強、位置、形狀如何變化總是保持體積不變；所謂沒有粘滯性指的是流體中一部分流體相對于相鄰流體流動時它們之間沒有相互作用力(或：固體球或棒在理想流體中運動時不受阻力)。

在設定流體為理想流體，且在作定常流動時，即流體中任一點的流速不隨時間變化時，按照歐拉法，可用速度場表示流體，其中的場線就是流線，流線上任一點的切線就表示該點的流速。由流線圍成的閉合細管稱為流管。由于設定流體為理想流體，沒有粘滯性，流動過程中沒有能量損耗，機械能守恒。再由質點系的功能原理，把流管中的一段流體體元作為質點系，當它在流管中運動時，外力功等于體元的機械能的變化。由此得到伯努利方程

(1)

其中，ρ為流體的密度；v為流體元的速度；g為重力加速度；h為流體元的高度；p為流體在流體元處的壓強；C為常量，它表示流體元中單位體積的機械能。

實驗表明，幾乎一切流體都具有黏滯性。在物理學史上，先輩們對流體物理圖像的理解曾經經歷過曲折的過程。在20世紀之前，人們研究流體力學的興趣和精力都集中在無黏滯假設下一個又一個優美的數學解上。馮·諾埃曼(John von Neumann)意識到這些研究中的問題，他認為這些研究丟掉了流體的一個基本性質——黏滯，故它們是與實際流體不相干的。1869年，開爾文(Thomson.W.Kelvin)給出了一條定理，即在均質理想流體內，沿任一閉合曲線，流體速度的環量不隨時間變化，換言之，理想流體中的速度環量守恒。1906年，茹科夫斯基(N.E.Zhukoskii)在研究飛機機翼升力時得到升力公式，公式表明，機翼升力與流體密度、飛機速度和流體繞機翼的速度環量成正比。這就引出了一個矛盾，即按照開爾文定理，理想流體中的速度環量守恒，如果原來沒有環量，環量就產生不出來，則理想流體對在其中作勻速運動的固體物體不會施加任何力，既沒有阻力也沒有橫向升力。也就是說，如果把空氣看作理想氣體，則飛機就飛不起來了。這個結論與實驗事實嚴重不符，稱為達朗貝爾佯謬(d’Alembert paradox)。它提醒我們，早年馮·諾埃曼的告誡是有道理的。1880年前后，雷諾(O.Reynolds)做了大量實驗，研究流體運動的規律。他發現，影響流體運動的不僅僅有黏滯系數η，而且更重要的是被后世(索末菲起始)稱為雷諾數的無量綱組合參量Re。

(2)

其中，ρ為流體密度，v為流體與運動物體的相對速度，d為圓管直徑(或運動物體的線度)，η為流體的黏滯系數。當雷諾數Re很小時，流體的運動表現為層流和穩流，隨雷諾數Re的由小變大，流體的運動表現為由層流漸漸變為湍流。如果我們把注意力集中到運動流體中的某一體元上，它的運動決定于周圍流體對它的作用，同時它也有力的作用施加于周圍的流體上。在考慮到黏滯時，運動中的流體元與其相鄰流體有切向相互作用。每一個流體元都是在這些相互作用下運動著。如果這些相互作用未能改變流體宏觀速度場的形態，則流體流動表現為層流；如果這些相互作用改變了流體宏觀速度場的形態，流速場出現了許多局域突變，則流體流動表示為出現了湍流。

實際上，研究對象某一個參量的連續變化，引起其運動方式出現突變的例子比比皆是。例如我校六教展廳中的小孔泄漏實驗、水中落沙實驗和圓柱狀剛體平面平行運動實驗都是其典型實例。

小孔泄漏實驗中，在一個玻璃杯的中部設置一個中間有一小圓孔的水平隔板，杯的上下部分別注入相互可以完全溶混的溶液(例如上部注入濃鹽水或濃糖水下部注入純凈水)，在物理勢和化學勢的共同作用下，兩種液體將通過小孔進行溶混。如果小孔的直徑足夠小，則小孔只允許某一種液體以層流的方式通過，溶混過程表現為兩種液體輪流通過的振蕩過程；如果小孔的直徑很大，則小孔可讓兩種液體以湍流的方式迅速溶混，沒有振蕩過程出現。如果令小孔直徑由小到大連續變化，則溶混過程表現為由層流振蕩變為湍流溶混的半隨機過程。

水中落沙實驗中，先在一段玻璃管中放入一把細沙，再注滿純水，并密封之。實驗時，實驗者手持此玻璃管豎直放置，水中細沙在重力的作用下慢慢地沉到底部。然后，實驗者突然轉動玻璃管到一定角度并停止住，觀察玻璃管中細沙的下落過程。若實驗者轉動180度即停止住，則細沙將從玻璃管的頂端(上端)慢慢下落，每一個沙粒都獨立地在水中下落；若實驗者轉動135度后即停止住，則細沙將從傾斜著的玻璃管的上端迅速下落，眾細沙將團結為一個整體滾動下落，且后者的下落比前者快得多。如果實驗者連續改變轉動停止住的角度，則水中細沙下落過程將從顆顆細沙單獨下落方式逐漸變為聯合為一體滾動下落方式。

圖1 單參量連續變化引起運動方式突變實例

圓柱狀剛體平面平行運動實驗中，用細絲線繞在線軸狀剛體的細軸上，單調改變拉線傾角會引起剛體的不同形式的運動。三個實驗都是改變一個因素而使物理過程發生突變的實例。

現在看來，把黏滯系數為零作為理想流體的基本條件是有很大局限性的，即理想流體作為物理學研究對象的適用范圍是很小的。現在的問題是，如果考慮了流體的粘滯性，如何演示流體的粘滯性和流體力學中的伯努利方程呢？

1.2 具有黏滯性的流體的運動方程

設粘滯性流體在圓形管道內作定常流動(層流或穩流)，設想在流體中隔離出一個圓筒狀薄流體層，如圖2所示，其幾何尺寸亦見圖2所示。

圖2 柱坐標中圓筒狀流體薄層的受力分析

按照牛頓(內摩擦)黏滯定律，其內外側面(圓柱側面)受到的粘滯力(水的黏滯系數與溫度有關，0℃時為1.79×10-3Pa·s,20℃時為1.01×10-3Pa·s,50℃時為0.55×10-3Pa·s,100℃時為0.28×10-3Pa·s)(z方向)為

(3)

圓筒狀薄流層受到的粘滯力合力(沿流線方向z方向)

在定常流動情況下，此力與圓筒狀薄流層上下游的壓強差提供的力(z方向)相平衡，

(4)

(5)

體積流量

(6)

平均流速

(7)

在流體內部，半徑為r=αR(0≤α≤1)的小圓形流管中的平均速度

(8)

當α→0時，

(9)

當α→1時

(10)

從內摩擦引起機械能損耗出發，由(3)式可知，即使是水平管道，要保持在一定長度的管道上有一定的流速也一定要有壓強差，這是與理想流體完全不同的。李復老師根據功能原理，研究黏滯流體穩流(層流)情況下的伯努利方程，得出考慮了內摩擦的伯努利方程為

(11)

式中w12(>0)為流體元從位置1沿流線流動到位置2時，單位體積的流體克服黏滯阻力所做的元功。若通過水平細直玻璃管道演示黏滯現象，則位置1和位置2對應的流速、高度均相同，則由(11)式可得

p1=p2+w12→p1-p2=w12>0

(12)

即可知：沿著流動方向(水平方向)流體的壓強是逐漸降低的，即可通過粘滯性流體沿水平方向流動時，壓強的逐漸降低來演示黏滯現象。

2 用水作為黏滯流體來演示黏滯現象

2.1 黏滯現象實驗裝置介紹

把水作為黏滯流體來演示黏滯現象的實驗裝置的示意圖如圖3所示。一個大圓筒形容器，橫截面積為S0，底部連接一個水平圓形細管，長度為L，橫截面積為S1，且S0?S1。在水平圓形細管上等間距地均布4根豎直(垂直于水平面)的細管，作為壓強指示器。

圖3 用水作為黏滯流體來演示黏滯現象的實驗裝置

實驗時，先堵住水平細管的出口，往大圓筒形容器中注入清水，然后令水平細管的開口開啟，讓水自行流出，觀察各個豎直細管(壓強指示管)中水柱高度的分布。實驗發現，水沿水平細管往下游流動時各個豎直細管中(壓強指示管)的水柱高度依次降低，各水柱的上端都在同一條直線上。由于大圓筒形容器橫截面積比水平橫細管的大得多，大圓筒形容器中的水面高度下降得很慢，所以可以很容易地看到相對穩定的實驗圖像。

2.2 黏滯現象演示實驗的定量分析[2]

(13)

在水平細管中應用泊肅葉流量公式(6)和平均流速公式(7)，則得

(14)

再，由于流體不可壓縮，水平細管流出的流體(體積)等于大圓筒形容器流體的減少，則

(16)

(14)與(15)式等價，解(13)(14)聯立方程組(H0為設定值)，把(14)式代入(13)得

(17)

解此關于H1的一元二次方程組，可得其大于零的解(H1大于零才有意義)

(18)

將(18)式代入(14)式可得

(19)

2.3 大圓筒形容器中水面高度H0隨時間t的變化

把(16)代入(19)式，可得關于水面高度H0的微分方程

(20)

設初始條件為

H0(0)=H00

(21)

為了求解此微分方程，令

則微分方程(20)式化為

兩邊積分，可得

(22)

其中，C為積分常數，由初始條件確定。 為了使結果易讀且明顯，可記H0=x，當t=0時，x(0)=H0(0)=H00，由此得

則把它代入(22)式得最后結果

(23)

這就是流體黏滯實驗中，流水時間t隨大圓筒形容器中水面高度H0的變化關系式。

3 用水作為黏滯流體來演示伯努利方程實驗

3.1 實驗思路

在大學物理教學中，為了演示伯努利方程，常常選用一根直玻璃圓管作流管(見圖4)，水平放置以消除高度的影響，在玻璃圓管的不同位置設置若干個膨大區(制作時設置若干氣泡區)，以使其內徑不同。流體在其中流動時，內徑小的流管處的橫截面積小，內徑大的流管處的橫截面積大。在層流前提下，沿流線的各個橫截面上的流量相同，內徑小的地方流速快，內徑大的地方流速慢。按照伯努利方程，內徑小的地方流速快則壓強應該小，內徑大的地方流速慢則壓強應該大。若能夠演示出這些壓強的變化，即表示演示出了伯努利方程。

圖4 用水作為黏滯流體來演示伯努利方程的實驗裝置

實際實驗現象亦如圖4所示。但伯努利方程是建立在理想流體的基礎上的，而通常人們所見到的流體都是黏滯流體，考慮黏滯后如何演示伯努利方程？或者說，考慮黏滯后又如何利用伯努利方程的概念來解釋圖4所示的實驗現象呢？

3.2 粘滯流體在水平圓形管道中流動時其橫截面上的壓強分布

本實驗的標示參量是流管中一點的壓強，如圖6所示，在水平直玻璃圓管的正上方側面上設置豎直側枝管，以側枝管中水柱的高度表示流管中流體的壓強。現在的問題是：每一根側枝管中水柱的高度表示流管中哪一點的壓強？在粗細流管側面設置的兩個不同側枝管中水柱的高度所表示的壓強有沒有可比性？

以圓形流管的水平中心線(向右為正)為z軸，以豎直線(向上為正)為y軸建立直角坐標系，同時以流管的水平中心線(向右為正)為z軸，建立柱坐標系。

設在某時刻，在流體中分割出一個立方體形微元，考慮到它的各個面上受到的正壓力、黏滯力以及微元所受的體積力(與體積有關的力)，列出牛頓第二定律方程。考慮到均質、不可壓縮，得到如下納維-斯托克斯方程[2-4]

(24)

式中，ρ為流體的密度；為流體元的速度；η為流體的黏滯系數；p為流體元處的壓強；f為單位體積的流體所受到的體積力(與體積有關的力)。具體到我們現在用水作為流體，其體積力就是重力，f的大小等于重力加速度，方向是豎直向下。式(24)實質上是牛頓第二定律在流體力學中的具體形式。

當水在水平流管中作穩定流動(即層流)時，若忽略了流管橫截面上各點的重力引起的壓強差(細流管近似)時，流管中的流速如下式所示[1]，

它只有沿流線方向z的分量，且不隨時間變化。因此，流體元的加速度為零，(24)式化為如下(25)式。

p=η2+ρf

(25)

具體到本實驗，(25)式的右邊兩項分別只有z方向和-y方向的分量，故它的分量形式為

圖5 以玻璃圓管中心線為中心線的細流管

(26)

在這兒，由(26)式的前兩式可見，流管中任一橫截面上的壓強分布，如同一桶靜水中的一個豎直平面內的壓強分布一樣，靜水內部的壓強僅與其深度(參量為y)有關。水深處(y值較小)的壓強大，水淺處(y值較大)的壓強小。

(27)

這就說明，流管中任一橫截面上的一點處，壓強沿流線方向的壓強梯度，就是維持粘滯流體穩定流動所需要的壓強逐漸降低的變化率。

總之，若在水平直玻璃圓管中有水在作穩定流動(層流)時，管中處處流線都平行于水平直玻璃圓管的中心線；在垂直于流線的橫截面上，平面內任一點的壓強，均如同靜水中一樣，僅與其深度相關，待測點的位置越低深度越深壓強越大；壓強在沿流線方向上是逐漸降低的，壓強沿流線方向的壓強梯度，就是維持粘滯流體穩定流動所需要的壓強逐漸降低的變化率。由于圖4中粗細兩段流管的中心線是同一條直線，直線上的點都在同一水平上，因此兩個側枝管中的水柱高度差就表示在粗細部兩段流管中心線上兩側枝管處的壓強差。

3.3 用水作為黏滯流體進行伯努利方程演示實驗的物理圖像

由于圖4所示復合玻璃圓管的中心線為一條水平直線，直線上各點的壓強具有可比性，故我們研究以此水平線為中心線的細流管中流體運動的規律，如圖5所示。

在細流管中，於a1位置和a2位置分別作流管的橫截面，細流管的截面積分別為SB和SA。設經歷一微小時間間隔Δt，SB從a1移動到b1，SA從a2移動到b2，由于流體不可壓縮，則左端流入的體積等于右端流出的體積，即SBΔB=SAΔA=ΔV。對a1到a2這段流體運用機械能守恒定律。由于其中從b1到a2段的一段里雖然流體更換了，但由于流動是穩流(層流)，是定常的，其運動狀態沒有改變。所以只需考慮兩個流體元段SBΔB、SAΔA運動狀態和機械能的變化。若不考慮黏滯，則機械能守恒，據此可以得到伯努利方程。若考慮黏滯，則必須考慮機械能損耗，黏滯阻力做負功，這一負功為流管上下游壓強差所做正功所抵消，以使流體保持穩流狀態。

如圖5所示，在以玻璃圓管中心線為中心線的細流管中，在粗部，由黏滯阻力做負功與壓強差所作的正功相等，可得

(28)

所以，fB=(PB-PB′)SB，即：黏滯阻力等于兩端壓強差與橫截面積的乘積，黏滯阻力功等于兩端壓強差與體積流量的乘積。

在中心細流管的細部，按照類似思路和步驟亦可得到類似的結果

(PA′SA-PASA)ΔA=(PA′-PA)SAΔA=(PA′-PA)ΔV=fAΔA和fA=(PA′-PA)SA，即：黏滯阻力等于兩端壓強差與橫截面積的乘積，黏滯阻力功等于兩端壓強差與體積流量的乘積。注意到這一結果與截面直徑無關，可以想見，上述結果也適用于過度段，或者包含過度段的流管。由此可知，由機械能變化規律得到的伯努利方程在考慮到黏滯后必須修改為[2]

式中w12(>0)為流體從位置1沿流線流動到位置2時，單位體積的流體克服黏滯阻力所做的功。若通過水平粗細直復合玻璃管道演示伯努利原理，則位置a1和位置a2對應的流量、高度均相同，則由上式可得

(29)

即

(30)

(30)式表示：在中心細流管中，位置a1和位置a2處的壓強差與細流管橫截面積及黏滯損耗之間的關系。其中QV是水流過中心細流管中位置a1和位置a2處的體積流量。我們知道本實驗中粗細流管處的壓強差是觀察參量，它與位置a1和位置a2處細流管橫截面積的關系就是我們要演示的伯努利定理。若w12=0，(30)式表示的就是理想流體的情況；若w12>0，(30)式表示的就是黏滯流體的情況。欲把水當作近似理想流體來做實驗，則必須使黏滯損耗w12相對于(30)式中右邊其它項要小得多才行，即

(31)

定性分析，欲使上式成立，須使：①玻璃管粗細部的直徑的差別大一些更好；②若粗細部的直徑比例一定時，則直徑都更大一些以使相應的流量大一些更好；③欲使黏滯損耗小一些，表示流體壓強的兩個側枝玻璃管之間的距離(含過度段)盡量小一些更好。

總之，本實驗演示的是：在具有粗細兩種直徑的復合圓直玻璃管中，在其中心線附近的細流管的流速與壓強的關系，即伯努利原理。玻璃管細的地方其中心細流管也細，流速大，壓強低；玻璃管粗的地方其中心細流管也粗，流速小，壓強高；壓強的差別通過側枝管中的水柱高低表示出來。

需要指出的是，由于黏滯的存在，流體的壓強總會沿流線的方向逐漸降低。為了減少它的影響，建議本實驗裝置選取流體由玻璃管細部流向粗部方向，在粗部，伯努利原理要求它的壓強較高，若壓強真地較高，說明伯努利原理是正確的。因為黏滯總會使下游的壓強有所降低，在壓強有所降低的情況下，下游的壓強仍然較高，說明下游粗部的壓強確實較高，說明伯努利原理是正確的。否則，若選取流體由玻璃管粗部流向細部方向，在細部，伯努利原理要求它的壓強較低，若壓強真地較低，則不能確切地說明這是不是黏滯在起主要作用，因此不能顯然地說明伯努利原理是正確的。

3.4 伯努利方程演示實驗的改進方案

由于黏滯流體在玻璃直圓管中定常流動時，即便是把中心線附近的細流管作為研究對象，其壓強也總會沿流線方向逐漸降低，為了消除黏滯的影響，我們選擇如圖6所示改進方案。把粗管部或細管部分為前后兩部分，

中間為比較部。流

圖6 伯努利方程演示實驗的改進方案

線由前部流到比較部，由于黏滯的影響其壓強會逐漸降低，再由比較部流到后部時，其壓強會進一步降低。若玻璃管的結構對稱，則兩段過程的壓強降低一定相同。所以，如果以前后部圓管處的壓強的平均值(連接前后部壓強液柱頂點的直線交比較部壓強指示管對應的壓強值)作為前后部圓管在比較部圓管處的壓強值，就消除了黏滯對前后部圓管壓強的影響。再與比較部圓管處的壓強相比較，就等效為消除了黏滯以后前后部圓管與比較部圓管的壓強的差值。

圖6中甲可用于演示氣體流體的伯努利方程，壓強的顯示通過一根與三個壓強顯示管相連接的連通器(注入顯示液紅墨水)來實現，注意其中液柱越高表示流管中壓強越低；圖5中乙可用于演示液體流體的伯努利方程，液體流體在相應壓強顯示管中的高度，即表示流體在該處的壓強。