外匯期權(quán)定價研究

徐怡紅 劉桐

[提要] 外匯期權(quán)是從西方金融市場興起，在外匯期權(quán)還未正式成為我國金融市場上的投資產(chǎn)品的時期，國內(nèi)學者主要研究外匯期權(quán)的估價和風險規(guī)避兩個方面，目前看來，這兩個方面的研究的確格外重要。本文在國內(nèi)學者的研究基礎(chǔ)上主要對外匯期權(quán)的定價方法進行研究，應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價模型和模糊三叉樹模型，將兩者的計算結(jié)果進行對比分析，為投資者風險計算提供借鑒。

關(guān)鍵詞：外匯期權(quán);Black-Scholes外匯期權(quán)定價模型;模糊三叉樹模型;定價

中圖分類號：F830.92 文獻標識碼：A

收錄日期：2020年3月31日

一、引言

近幾年金融市場快速發(fā)展，隨之而來的是金融市場上呈現(xiàn)出高風險性和不確定性，開始思考如何正確評估衍生產(chǎn)品的風險已成為企業(yè)界和學術(shù)界不能忽視的重大問題。外匯期權(quán)作為一個新興風險管理工具，有巨大的財務(wù)杠桿作用，同時它還可以用以套期保值、回避風險，所以使外匯期權(quán)的價格量化在外匯期權(quán)研究中占據(jù)舉足輕重的地位。本文以外匯期權(quán)產(chǎn)品為例，結(jié)合外匯期權(quán)的特點，運用Black-Scholes期權(quán)定價模型和模糊三叉樹模型主要對歐式看漲期權(quán)進行估價和分析，旨在尋找一個擬合程度較高的外匯期權(quán)定價模型，為投資者和風險規(guī)避者提供參考。

二、外匯期權(quán)定價模型

（一）Black-Scholes外匯期權(quán)模型。本文中使用的是在原始的Black-Scholes模型，即用以計算股票期權(quán)價格的標準Black-Scholes模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合外匯期權(quán)自身特點進行改進的外匯期權(quán)定價模型。外匯期權(quán)的標的資產(chǎn)——外匯被視為一種支付連續(xù)紅利的股票，其中，外幣的無風險利率等同于股票收益率。在此基礎(chǔ)上，對基本公式中原有的“支付連續(xù)紅利”的假設(shè)進行修改，即可獲得用于計算看漲和看跌外匯期權(quán)的Black-Scholes期權(quán)定價模型，此模型遵循以下假設(shè)：（1）市場為有效市場;（2）不存在無風險套利機會;（3）市場無摩擦，即不存在稅收和交易傭金等;（4）不存在賣空機制;（5）期權(quán)為歐式期權(quán)，到期日前不可行權(quán);（6）有效期內(nèi)，無風險利率已知且為常數(shù);（7）須為連續(xù)資產(chǎn)交易，資產(chǎn)價格也是連續(xù)的;（8）不支付現(xiàn)金股息和紅利;（9）收益率服從對數(shù)正態(tài)分布。這一假設(shè)對于絕大部分金融資產(chǎn)的價格波動都適用。

其具體表達式如下：

其中，C和P分別表示看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格，N是正態(tài)分布函數(shù)，S是外匯匯率，t是到期時間，σ表示波動率，X表示外匯期權(quán)執(zhí)行價格，r表示國內(nèi)無風險利率，rf代表他國無風險利率。

（二）模糊三叉樹外匯期權(quán)定價模型。在過去很長一段時間內(nèi)精確數(shù)學及隨機數(shù)學在描述自然界多種事物的運動規(guī)律中，占據(jù)著主要地位也獲得顯著效果。但實際上，在客觀世界中是普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象的。在過去，人們對它避而不談，然而，隨著現(xiàn)代科技產(chǎn)出的系統(tǒng)日益復(fù)雜化，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)，令人不可忽視。隨后模糊理論在各個領(lǐng)域的應(yīng)用興起，同時也漸漸推動了數(shù)學家對模糊數(shù)學的深入研究。

隨著模糊數(shù)學理論的發(fā)展，Y.N.Shang應(yīng)用模糊數(shù)學的觀念和方法，在二叉樹模型的基礎(chǔ)上，提出了模糊二叉樹模型，在此之后Boyle提出模糊三叉樹模型的基本原理，見圖1。（圖1）

對于任何時段，股票價格向上“up”、向下“down”和水平“horizontal”跳動的概率分別為：

根據(jù)以上，在一階段模糊三叉樹模型中可求得期權(quán)價格：

其中，r為無風險利率， u為股價上行乘數(shù);d為股價下行乘數(shù);C為看漲期權(quán)現(xiàn)行價格;Cu為股價上行時看漲期權(quán)的到期日價值;Cd為股價下行時看漲期權(quán)的到期日價值。

三、外匯期權(quán)定價計算

（一）數(shù)據(jù)的選取及來源。本文擬采用人民幣對美元匯率作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)對人民幣對美元外匯期權(quán)價格進行計算。文中用于進行計算外匯期權(quán)價格的數(shù)據(jù)來自于國家外匯管理局的官方網(wǎng)站、萬德數(shù)據(jù)庫以及網(wǎng)絡(luò)上可以查詢到的通用數(shù)據(jù)。

即期匯率S：即期匯率引用2019年12月2日國家外匯管理局網(wǎng)站發(fā)布的即期匯，分別為：人民幣兌美元的匯率為7.02。

執(zhí)行匯率X：本文參照美國制定執(zhí)行匯率的方式將執(zhí)行匯率假定為如下數(shù)據(jù)。人民幣對美元每月到期的看漲外匯期權(quán)的執(zhí)行匯率為7.00，7.01，7.02，7.03。

到期期限T：2020年1月2日到期的期限為T=1/12=0.0833，2020年2月2日到期的期限為T=2/12=0.1667，2020年3月2日到期的期限為T=3/12=0.25。

波動率σ：根據(jù)波動率的定義可知波動率是用來表示標的資產(chǎn)價格波動的幅度，即可以用標的資產(chǎn)的價格變化的標準差表示。根據(jù)萬德數(shù)據(jù)庫中查詢到的人民幣對美元的歷史數(shù)據(jù)計算得到人民幣對美元的波動率約為4.07%。

本國無風險利率r：我國國內(nèi)無風險利率使用10年期國債的利率，為 3.22%。

他國無風險利率rf：遵循國際規(guī)則，美國的無風險利率使用的是美國10年期國債的利率，為1.82%。

（二）外匯期權(quán)模型定價結(jié)果

1、基于Black-Scholes期權(quán)模型的外匯期權(quán)定價結(jié)果（表1）

2、基于模糊三叉樹模型的外匯期權(quán)定價結(jié)果（表2）

從以上結(jié)果可以做出總結(jié)：對于看漲期權(quán)來說，其他條件不變時，其執(zhí)行價格越高，期權(quán)的價格就越低;在到期期限和執(zhí)行價格相同的情況下模糊三叉樹期權(quán)定價結(jié)果普遍大于Black-Scholes外匯期權(quán)定價公式計算出來的價格。這可能是由于在應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價模型時以某種標準為前提，而這一標準會導(dǎo)致使用Black-Scholes外匯期權(quán)定價公式計算的定價小于實際價格。然而，現(xiàn)實金融市場中，很多行為造成的偏差無法精確量化，也不存在明確的界限。在研究金融產(chǎn)品定價時，可以廣泛引入模糊理論，使用模糊三叉樹模型進行金融資產(chǎn)價格評估。

四、結(jié)語

外匯期權(quán)作為金融衍生物的后起之秀現(xiàn)已在金融市場中占據(jù)著重要的地位，它的定價對其風險計算有著很大影響。因此，外匯期權(quán)的定價問題一時成為學者們爭相研究的對象，能從理論與實踐兩方面對外匯期權(quán)的價格進行精準的計算也愈加重要。Black-Scholes期權(quán)定價模型是外匯期權(quán)較早期的定價模型，但是由于現(xiàn)實市場存在些無法準確界定的因素，Black-Scholes期權(quán)定價模型不能完全地反映出外匯期權(quán)的真實價格。為此，本文引進了模糊三叉樹期權(quán)定價模型，然后運用這兩種模型模擬計算了人民幣對外匯期權(quán)的價格，并對兩種模型計算出來的人民幣對外匯期權(quán)價格做了一個簡單的對比發(fā)現(xiàn)本文中使用的模糊三叉樹理論計算的外匯期權(quán)價格普遍高于使用Black-Scholes模型計算得到的價格。然而，由于兩者都是在有效市場的假設(shè)下進行計算，可能存在一些缺陷，在以后引入模糊三叉樹模型進行定價時，可以考慮運用數(shù)學方法去除有效市場假設(shè)。

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