多個函數(shù)多介值的微分中值定理及其應(yīng)用

楊麗英 趙新平 呂雄

[摘 要]基于Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，從多個函數(shù)的角度出發(fā)，對微分中值定理進行推廣，給出了關(guān)于三個函數(shù)的微分中值定理，得到了多個函數(shù)多介值的微分中值定理的新形式，拓展了微分中值定理的應(yīng)用范圍。

[關(guān)鍵詞] 微分中值定理;多個函數(shù);多介值

在許多實際問題的計算中，由于客觀條件的限制，我們經(jīng)常只能觀察或測量到變量在邊界或者區(qū)間端點處的值，而實際應(yīng)用時，卻往往需要根據(jù)邊界或者端點處的值來判斷變量在區(qū)域內(nèi)部的變化情況。比如，物體在表面受到力或電的作用時，如何判斷物體內(nèi)部各點的受力變化情況等。微分中值定理恰是反映函數(shù)邊界值與區(qū)間內(nèi)部導(dǎo)數(shù)值之間聯(lián)系的重要定理，是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在不等式的證明、函數(shù)幾何形態(tài)的判定、方程根的存在性證明等許多方面都有著重要的作用，在科學(xué)計算和工程技術(shù)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)分析[1]或高等數(shù)學(xué)[2]教材中，通常以拉格朗日（Lagrange）中值定理為基礎(chǔ)展開討論，然后給出一些簡單的推廣和具體應(yīng)用.

關(guān)于微分中值定理推廣的研究一直是一個非常活躍的課題，許多學(xué)者對其進行了推廣。文獻(xiàn)[3]在附加函數(shù)在區(qū)間端點或無窮遠(yuǎn)點處有極限的條件下，將閉區(qū)間上的微分中值定理推廣到開區(qū)間或無窮區(qū)間上;文獻(xiàn)[4-6]給出并推廣了多元可微函數(shù)的微分中值定理;文獻(xiàn)[7]將微分中值定理推廣到高階導(dǎo)數(shù)的情形，并直接推出Taylor公式;研究了不連續(xù)函數(shù)微分中值定理的推廣及應(yīng)用;將微分中值定理原結(jié)論中的關(guān)于函數(shù)值差的描述改為函數(shù)值和的形式，在新的限制條件下得到了新形式的微分中值定理。文獻(xiàn)以實例的形式討論了含有不同介值點的中值問題。本文從多個函數(shù)的角度出發(fā)，對微分中值定理進行推廣，給出新形式的微分中值定理，并通過具體例子給出推廣定理的應(yīng)用，拓展微分中值定理的應(yīng)用范圍。

一、三個函數(shù)的微分中值定理

首先給出三個函數(shù)的微分中值定理，它是兩個函數(shù)的Cauchy中值定理和一個函數(shù)的Lagrange中值定理的推廣。

三、結(jié)論

將經(jīng)典的關(guān)于一個函數(shù)和兩個函數(shù)的微分中值定理推廣到三個函數(shù)的情形，得到了關(guān)于三個函數(shù)的單介值和多介值的微分中值定理，并通過兩個具體例子說明所得定理的應(yīng)用。當(dāng)其中一個或兩個函數(shù)取特殊值時，本文所得結(jié)果可以給出經(jīng)典的Lagrange中值定理、Cauchy中值定理和文獻(xiàn)[3]中的全部中值定理。

參考文獻(xiàn)

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