關于牛頓環教學探討

郭有能 田清龍 曾可

摘要：從牛頓環干涉原理及其干涉圖像出發，探討了半波損失現象對附加光程差的影響，分析牛頓環中心亮斑或暗斑的條件取決于附加的光程差。計算出牛頓環半徑理論值與近似值，分析牛頓環半徑理論值與近似值對測量凸透鏡的曲率半徑影響。

關鍵詞：牛頓環;等厚干涉;光程差;折射率

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）22-0301-02

一、引言

牛頓在1675年首次實驗觀測到一些明暗相間的同心圓環，故稱為牛頓環。牛頓環是一種典型的等厚薄膜干涉現象的結果，充分驗證了光具有波的波動性一面。在生產實踐中，牛頓環具有廣泛的應用，如通過牛頓環可以精密測量微小量的長度。本文從牛頓環干涉原理及其干涉圖像教學出發，分析出現半波損失現象情況，以及半波損失引起附加光程差，討論了牛頓環中心處于亮斑或暗斑的條件;給出了有無半波損失情況下，牛頓環半徑理論值與近似值的表達式;最后分析了牛頓環半徑理論值與近似值對測量凸透鏡的曲率半徑影響。

二、牛頓環裝置及其干涉圖樣

牛頓環的實驗裝置如圖1所示，是將一塊曲率半徑為R，介質折射率為n1的平凸透鏡放在一個光學介質折射率為n2的平板玻璃上，二者之間形成厚度不均勻的空氣薄膜（如果將整個裝置放在折射率為n3的介質中，形成厚度不均勻的介質薄膜）。下面分析干涉圖樣牛頓環半徑、入射光波長、凸透鏡的曲率半徑之間的關系。

（一）牛頓環中心處是亮斑還是暗斑

假設入射光波長為λ，垂直入射在薄膜厚度為d，光程差δ跟平凸透鏡與平板玻璃之間的薄膜上下表面反射光是否存在半波損失有關：

1.當n1>n3>n2時，薄膜的上下表面的反射光都不出現半波損失，那么光程差δ=2dn3;

2.當n1>n3

3.當n1n2時，薄膜的上表面的反射光發生相位躍變，出現半波損失現象，下表面反射光沒有半波損失，因此光程差δ=2dn3;

4.當n1

根據光波疊加原理，當光程差滿足：，

k=0，1，2，…（1）即干涉相長，形成亮紋。δ=±（2k+1），

k=0，1，2，… （2）即干涉相消，形成暗紋。

綜上所述，牛頓環中心處（d=0）出現是亮斑還是暗斑，取決于在介質薄膜中有無半波損失引起附加光程差。當光程差，牛頓環中心為暗斑;當δ=0，牛頓環中心為亮斑。

（二）牛頓環半徑

根據圖1中的幾何關系，牛頓環半徑大小滿足：r2=R2-（R-d）2=2Rd-d2（3），可得：（4）。

1.考慮沒有出現半波損失引起附加的光程差δ=2dn3，則，分別帶入上式（1）和（4），可得出亮

紋半徑滿足：，k=0，1，2，…（5）;

帶入上式（2）和（4）暗紋的半徑滿足：，k=0，1，2，… （6）。然而，當考慮，（3）中的第二項可以忽略，則牛頓環半徑，聯立（1）和（2），亮紋半徑：，

k=0，1，2，… （7）;暗紋半徑：，k=0，1，2，… （8）。

2.出現半波損失引起附加的光程差時δ=2dn3，則。

亮紋半徑滿足：，k=1，2，… （9），暗紋的半徑滿足：，k=0，1，2，… （10）。

同理，考慮，牛頓環半徑近似如下：

亮紋半徑：，k=1，2，… （11），暗紋半徑：，k=0，1，2，… （12）。

（三）討論分析

圖2為我們給出的在發生半波損失前提下，光程差δ=2dn3，牛頓暗環半徑理論值（10）式與近似值（12）式的比較圖，其中設n3=1，R=10m，λ=1m。從圖2中發現，干涉級數k較低時，牛頓環理論值與近似值吻合較好，但是隨著干涉級數k增加，明顯出現誤差增大。這意味著我們采用牛頓環半徑測量凸透鏡曲率半徑R時，會出現相應誤差。例如，我們通過暗環（10）和（12）分別給出凸透鏡的曲率半徑的表達式：（13），（14），其中rk+m表示為k+m級的暗環半徑，rk表示為k級的暗環半徑。比較（13）和（14）式子，發現在波長λ很小的情況下，（13）和（14）近似相等，即在短波范圍內，測量凸透鏡的曲率半徑誤差較小，然而在波長較大時，測量凸透鏡曲率半徑誤差較大。

三、結束語

牛頓環是一種典型的等厚薄膜干涉現象。本文從牛頓環干涉原理及其干涉圖像出發，討論了牛頓環中心處于亮斑或暗斑的條件取決于附加的光程差。接著給出了存在半波損失和沒有半波損失情況下，牛頓環半徑理論值與近似值的具體表達式，最后分析牛頓環半徑理論值與近似值對測量凸透鏡的曲率半徑影響。

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Discussion on Newton Rings Teaching

GUO You-neng1， TIAN Qing-long2， ZENG Ke1

（1. School of Electronic Information and Electrical Engineering， Changsha University， Changsha， Hunan 410022， China;

2. School of Mathematics and Computing Science， Changsha University， Changsha， Hunan 410022， China）

Abstract： Based on the interference principle of Newton rings and its interference image， the influence of half-wave loss on the additional optical path difference is discussed. We find that the condition of bright or dark spots in the center of Newton rings depends on the additional optical path difference. Besides， theoretical and approximate values of the radius of Newton rings are calculated， and the influence of the theoretical and approximate values on the curvature radius of the convex lens is also analyzed.

Key words： Newton rings; equal thickness interference; optical path difference; refractive index

收稿日期：2019-09-09

基金項目：2019年湖南教育廳優秀青年立項項目“非厄米系統中熵不確定關系及其相干調控”（編號：19B060）;2015長沙學院人才引進項目“經典噪聲環境下量子系統的量子費舍信息”（編號：SF1504）;2015年長沙學院教改項目“大學物理課程教學的改革與實踐”

作者簡介：郭有能（1987-），男，廣東南雄人，博士，副教授，研究方向：大學物理教學、量子信息。

通信作者：田清龍（1988-），男，湖南湘西人，碩士，實驗師，研究方向：計算機教學。