基于塑性應(yīng)變能理論的邊坡動力穩(wěn)定性研究

崔 笑，張 燎 軍，翟 亞 飛，馬 天 驍，何 鎏

(河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098)

自鄭穎人提出動力強度折減法[1]以來，該方法在邊坡動力穩(wěn)定分析中得到了諸多應(yīng)用[2-5]。邊坡安全系數(shù)的獲得依賴于所選取的失穩(wěn)判別準(zhǔn)則，但目前學(xué)術(shù)界和工程界并沒有形成統(tǒng)一且為大家所公認的邊坡動力失穩(wěn)判別準(zhǔn)則。塑性區(qū)貫通、迭代不收斂和關(guān)鍵點位移突變是目前常用的動力失穩(wěn)判據(jù)，但計算結(jié)果也常常不一致[6]，因此，部分學(xué)者嘗試探索新的方法來判斷邊坡動力穩(wěn)定狀態(tài)[7]。考慮到結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是塑性區(qū)不斷開展直至貫通失穩(wěn)的過程，其間結(jié)構(gòu)整體塑性應(yīng)變能不斷增大直至突變，可以用塑性應(yīng)變能表征結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)。鄭東健[8]基于塑性應(yīng)變能判據(jù)研究了拱壩穩(wěn)定問題；陳倩倩[9]基于塑性應(yīng)變能判據(jù)研究了材料參數(shù)對邊坡穩(wěn)定性的影響；李志平[10]基于塑性應(yīng)變能判據(jù)研究了多階邊坡穩(wěn)定狀態(tài)，并與理論解進行對比，證明了該判據(jù)的可靠性；華成亞[11]將塑性應(yīng)變能判據(jù)應(yīng)用在三維邊坡穩(wěn)定分析中。但現(xiàn)有關(guān)于塑性應(yīng)變能判據(jù)的研究大多集中在靜力穩(wěn)定分析，很少涉及到動力穩(wěn)定分析。

本文將塑性應(yīng)變能理論和突變理論應(yīng)用到邊坡動力穩(wěn)定分析中，通過有限元軟件ABAQUS對某邊坡進行動力穩(wěn)定分析，提取邊坡震后總塑性應(yīng)變能并建立與動力折減系數(shù)的關(guān)系曲線，結(jié)合突變理論精準(zhǔn)找出震后總塑性應(yīng)變能突變時對應(yīng)的動力折減系數(shù)，從而確定邊坡安全系數(shù)。通過對比研究動力工況下塑性應(yīng)變能判據(jù)、塑性區(qū)貫通判據(jù)和關(guān)鍵點位移突變判據(jù)判別機理和計算結(jié)果，證明了塑性應(yīng)變能判據(jù)可用于邊坡動力穩(wěn)定分析，且具有一定優(yōu)勢。

1 計算理論與方法

1.1 動力強度折減法

動力強度折減法[1]固定地震荷載不變，把邊坡現(xiàn)狀抗剪強度參數(shù)(c、φ)等比例折減k倍，然后用折減之后的邊坡抗剪強度參數(shù)(c1、φ1)進行動力時程分析，計算公式如下：

(1)

定義使邊坡達到臨界動力失穩(wěn)狀態(tài)時對邊坡抗剪強度參數(shù)的折減程度為安全系數(shù)。

1.2 塑性應(yīng)變能理論

在地震荷載作用下，邊坡為維持自身穩(wěn)定會通過應(yīng)力和應(yīng)變的方式對自身進行調(diào)節(jié)。當(dāng)荷載破壞性超過邊坡自身調(diào)節(jié)能力時，邊坡便會失穩(wěn)破壞。在此過程中，伴隨著塑性應(yīng)變能不斷增大直至突變失穩(wěn)的過程。邊坡有限元模型劃分為N個單元結(jié)構(gòu)，其中第I個單元所擁有的塑性應(yīng)變能計算公式[8]為

(2)

對整個模型所有單元的塑性應(yīng)變能進行累計得到震后總塑性應(yīng)變能E，計算公式[8]如下

(3)

1.3 基于塑性應(yīng)變能的尖點突變模型

人為判斷突變位置會不可避免地產(chǎn)生誤差，通過構(gòu)造邊坡震后總塑性應(yīng)變能與動力折減系數(shù)的尖點突變模型[12]，將邊坡動力穩(wěn)定狀態(tài)量化為一數(shù)學(xué)判別式，分析各級動力折減系數(shù)下數(shù)學(xué)判別式與0的大小，從而判定邊坡穩(wěn)定狀態(tài)，可精確判定邊坡動力安全系數(shù)。假設(shè)邊坡震后總塑性應(yīng)變能E是隨動力折減系數(shù)k變化的連續(xù)函數(shù)，將其進行4次泰勒級數(shù)展開：

E=f(k)=a4k4+a3k3+a2k2+a1k+a0

(4)

E=b4c4+b2c2+b1c+b0

(5)

式中：

(6)

對式(6)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，即得平衡曲面方程為

x3+ux+v=0

(7)

其分差集方程為

4u3+27v2=0

(8)

令

Δ=4u3+27v2

(9)

Δ>0時，坡體處于穩(wěn)定狀態(tài)；Δ=0時，坡體處于臨界狀態(tài)；Δ<0時，坡體失穩(wěn)破壞。

2 算例分析

2.1 工程實例

邊坡如圖1所示，基于ABAQUS建立其有限元模型，共有節(jié)點1 023個和單元947個，單元類型選用CPE4。選用Mohr-Coulomb本構(gòu)關(guān)系，坡腳β=60°。分別在坡頂、坡中和坡腳處選取三個關(guān)鍵點A、B、C。邊坡具體材料參數(shù)如表1所示。

圖1 邊坡模型(尺寸單位：m)

表1 邊坡材料物理力學(xué)參數(shù)表

本文以阻尼比5%，動力放大系數(shù)βmax=2.5的反應(yīng)譜合成一組水平向峰值加速度為0.2g和豎向峰值加速度為0.133g的人造地震波。人造波持時20 s，計算步數(shù)為2 000，步長0.01 s，如圖2所示。

圖2 地震加速度時程曲線

本文采用自編程序?qū)Φ撞考八闹苁┘羽椥赃吔鏪13]，以真實反映遠域地基輻射阻尼對地震波的影響，并將地震波轉(zhuǎn)換成等效節(jié)點力[14]施加在邊界上。

2.2 塑性應(yīng)變能判據(jù)

在動力工況下，對邊坡巖土材料不斷進行軟化，將折減k倍后得到的凝聚力c1和內(nèi)摩擦角φ1輸入有限元模型中進行計算。獲得多級強度參數(shù)下的塑性應(yīng)變能時程曲線，如圖3所示。其中01 s為靜力工況，塑性應(yīng)變能隨時間增長沿直線上升；121 s為動力工況，其中15 s和1620 s時地震動較弱，對邊坡造成的破壞不大，塑性應(yīng)變能變化較小，516 s時地震動較強，對邊坡造成的破壞程度大，塑性應(yīng)變能增幅明顯。

圖3 總塑性應(yīng)變能時程曲線

提取多級動力折減系數(shù)下地震結(jié)束時的總塑性應(yīng)變能，繪制E-k關(guān)系曲線，如圖4所示。從圖中可以看出突變點產(chǎn)生在k=1.31.4之間，為了消除人為判斷的誤差，結(jié)合尖點突變理論來定量判斷。

圖4 震后總塑性應(yīng)變能與動力折減系數(shù)關(guān)系曲線

當(dāng)動力折減系數(shù)k=1.392時，根據(jù)式(2)(9)對前12個包括k=1.392共13個動力折減系數(shù)進行4次多項式擬合，得到式E=1000.9k4-4617.9k3+7968.1k2-6091.9k+1741簡化后代入式(6)得突變模型標(biāo)準(zhǔn)式：

Δ=4u3+27v2=4×(-0.68233)+27×0.25632=0.5

當(dāng)動力折減系數(shù)k=1.393時，同上對前13個包括k=1.393共14個動力折減系數(shù)進行四次多項式擬合，得到式：

E=1071.8k4-4951.2k3+8553k2-6546.2k+1872.7

簡化后代入式(6)得突變模型標(biāo)準(zhǔn)式：

Δ=4u3+27v2=4×(-0.7353)+27×0.2322=-0.135

結(jié)果顯示：k=1.392時，Δ=0.5>0，此時邊坡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；k=1.393時，Δ=-0.135<0，此時邊坡失穩(wěn)破壞。所以邊坡動力安全系數(shù)處于1.3921.393，為了安全考慮，動力安全系數(shù)定為1.392。

2.3 塑性區(qū)貫通判據(jù)

隨著巖土材料的不斷軟化，塑性區(qū)從邊坡最薄弱的地方慢慢開展直至貫通。如圖5所示，當(dāng)k=1時，塑性區(qū)只產(chǎn)生于坡腳一小塊區(qū)域內(nèi)，隨著k的不斷增大，塑性區(qū)在慢慢向坡頂擴展；當(dāng)k=1.32時，塑性區(qū)延伸到坡頂，邊坡產(chǎn)生了貫通坡頂和坡腳的滑裂帶。塑性區(qū)貫通判據(jù)可直觀給出邊坡滑裂帶所在位置，但邊坡是否失穩(wěn)尚無明確客觀判別指標(biāo)。

圖5 邊坡塑性應(yīng)變云圖

2.4 關(guān)鍵點位移突變判據(jù)

地震荷載不同于靜力荷載，在地震動持續(xù)時間內(nèi)荷載處于往復(fù)變化狀態(tài)，因此，邊坡位移隨時間也會發(fā)生往復(fù)變化，僅以地震持續(xù)時間內(nèi)某一時刻的關(guān)鍵點位移發(fā)生突變不足以判定邊坡失穩(wěn)，但震后殘余位移發(fā)生突變?nèi)钥梢暈檫吰率Х€(wěn)的依據(jù)[15]。提取關(guān)鍵點A、B、C的豎向殘余位移和水平向殘余位移并分別繪制與動力折減系數(shù)的關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 關(guān)鍵點殘余位移與動力折減系數(shù)關(guān)系曲線

從圖6可以看出:關(guān)鍵點A和B的豎向殘余位移和水平向殘余位移均有突變現(xiàn)象產(chǎn)生，關(guān)鍵點C的殘余位移并沒有突變。根據(jù)式(2)(9)以關(guān)鍵點A豎向殘余位移或水平向殘余位移定量判斷突變點位置在1.381.39間；以關(guān)鍵點B豎向殘余位移或水平向殘余位移定量判斷突變點位置在動力折減系數(shù)1.371.38間。可以看出，動力工況下關(guān)鍵點位移突變判據(jù)判定結(jié)果與關(guān)鍵點所選位置密切相關(guān)，而與所選位移方向關(guān)系不大。

2.5 材料參數(shù)對邊坡動力安全系數(shù)的影響

以上分析說明了塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果比傳統(tǒng)判據(jù)更具客觀性，但判據(jù)結(jié)果的準(zhǔn)確性還需進一步證明。由文獻[16]可知，邊坡判據(jù)結(jié)果會受材料參數(shù)影響，為了能有效證明地震荷載下塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果的準(zhǔn)確性。本節(jié)改變邊坡凝聚力c和內(nèi)摩擦角φ的大小，以c=100 kPa，φ=20°為基本參數(shù)，設(shè)置c在80～120 kPa內(nèi)變化，φ在10°～40°內(nèi)變化，對比多種材料參數(shù)下的塑性應(yīng)變能判據(jù)、塑性區(qū)貫通判據(jù)和坡頂關(guān)鍵點位移突變判據(jù)結(jié)果大小，并分別繪制如圖7,8所示的關(guān)系曲線。

圖7 不同內(nèi)摩擦角下邊坡動力安全系數(shù)

圖8 不同凝聚力下邊坡動力安全系數(shù)

隨著邊坡抗剪強度的增加，塑性應(yīng)變能判據(jù)曲線與關(guān)鍵位移突變曲線幾乎一致，稍高于塑性區(qū)貫通判據(jù)曲線，但差距不大，說明塑性應(yīng)變能判據(jù)判定結(jié)果與傳統(tǒng)判據(jù)結(jié)果數(shù)值上相差不大，以塑性應(yīng)變能突變?yōu)閯恿κХ€(wěn)判別標(biāo)準(zhǔn)得到的邊坡安全系數(shù)準(zhǔn)確性有保證。

3 結(jié) 論

(1)邊坡震后總塑性應(yīng)變能隨著折減程度增大而增大，當(dāng)邊坡強度折減到失穩(wěn)臨界值時，塑性應(yīng)變能便會發(fā)生突變，以邊坡震后總塑性應(yīng)變能突變?yōu)槭Х€(wěn)判別標(biāo)準(zhǔn)，再結(jié)合尖點突變理論可以定量給出邊坡動力安全系數(shù)。

(2)相比于塑性區(qū)貫通判據(jù)缺乏定量判斷指標(biāo)的缺陷，關(guān)鍵點位移突變判據(jù)又受關(guān)鍵點選取位置影響較大，塑性應(yīng)變能判據(jù)以邊坡震后整體塑性應(yīng)變能這一單值標(biāo)量為動力失穩(wěn)考察量，不會受過多人為因素影響，判定結(jié)果唯一。

(3)在地震荷載作用下，塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果與關(guān)鍵點位移突變判據(jù)給出的結(jié)果數(shù)值上基本一致，稍大于塑性區(qū)貫通判據(jù)結(jié)果，動力工況下塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果準(zhǔn)確性具有可靠保證。