一種靜定單跨梁彎曲內力的編程計算方法

聞揚琎 陳小亮 蔣利成

（重慶科技學院建筑工程學院，重慶401331）

陳俊旗等人[1]以梁的彎曲內力和彎曲應力的教學為例,介紹了有限單元法輔助教學的過程, 幫助學生可以更好地理解梁彎曲時的內力和應力, 尤其對彎曲時橫截面上的正應力有一個更為直觀的認識。馮麗[2]基于彎曲內力方程與數學函數存在一致性,在數學教學中引入內力函數,而在力學教學中強化數學分析,達到了知識整合的目的。熱依汗·依不拉依木和陳國新[3]在有關教材規定符號方法的基礎上總結出一套通俗易懂的方法, 方便學生掌握彎曲內力正負規定和計算方法。史雙喜和丁少玲[4]引入MATLAB 語言編程計算彎曲內力和作圖, 可使內力的分析更直觀,從而激發學生學習興趣,大大提高教學效率。王曄和楊姝[5]將MATLAB 和具體的材料力學課程相結合, 對培養學生應用科學計算工具解決工程實際問題進行了探索。劉永豐[6]給出了彎曲內力計算除截面法以外的幾種計算方法，這幾種方法的特點是不需要先計算支座約束反力，而是由荷載直接計算出梁的內力。周蔚宇[7]探討了用奇異函數求梁的彎曲內力和變形。王泉祥[8]提出一個應用奇異函數解決梁的彎曲內力、變形及靜不定問題的簡便方法，用該方法可將作用在梁上的各種載荷用一個載荷集度函數表示，通過積分,全梁的剪力、彎矩、轉角和撓度可分別用一個方程表示。吉蔚[9]建立了等直梁彎曲內力和變形的普遍方程式。

1 左端固定的懸臂梁彎曲內力計算

首先定義一個奇異函數 δ（x）：

圖1 左端固定的懸臂梁

圖1（a）所示左端固定的懸臂梁在任意集中力F 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖1（b）所示左端固定的懸臂梁在任意集中力偶Me 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖1（c）所示左端固定的懸臂梁在任意分布力q 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

注意，本文外力當中的集中力和均勻分布載荷均假定向上為正、集中力偶假定逆時針為正，內力（剪力和彎矩）的正負號遵循工程力學教材的規定。

2 右端固定的懸臂梁彎曲內力計算

圖2 右端固定的懸臂梁

圖2（a）所示右端固定的懸臂梁在任意集中力F 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖2（b）所示右端固定的懸臂梁在任意集中力偶Me 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖2（c）所示右端固定的懸臂梁在任意分布力q 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

3 簡支梁和外伸梁的支座反力計算

圖3 簡支梁和外伸梁的支座反力

如圖3 所示，簡支梁或外伸梁的兩個支座距離梁左端的距離分別為b 和c，所受集中力F 或集中力偶Me 的位置距離梁左端的距離為b。則圖3（a）所示簡支梁或外伸梁在任意集中力F作用下的支座反力可表示為（外力假定向上為正）：

圖3（b）所示簡支梁或外伸梁在任意集中力偶Me 作用下的支座反力可表示為：

對于簡支梁或外伸梁在任意分布力q 作用下的支座反力，可先把分布力等效為一個集中力，然后就可以按照公式（14）-（15）計算兩個支座反力。

4 討論

對于左端固定的懸臂梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，可基于疊加原理利用公式（2）-（7）計算梁的剪力和彎矩；對于右端固定的懸臂梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，可基于疊加原理利用公式（8）-（13）計算梁的剪力和彎矩；對于簡支梁或外伸梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，首先基于疊加原理利用公式（14）-（17）計算梁的兩個支座反力，然后把支座反力也看成集中荷載，就可以基于疊加原理利用公式（8）-（13）計算梁的剪力和彎矩。本文探討的靜定梁彎曲內力計算方法對于彎曲內力的編程計算是非常便利的。