平均差分進化算法在等效系統擬配中的應用

田宏峰, 薛 源,2, 徐浩軍, 楊梓鑫, 吳嘉杰

(1.空軍工程大學航空工程學院， 西安， 710038； 2.西北工業大學航空學院， 西安， 710129； 3.95960部隊， 西安， 710089)

現代戰斗機由于在氣動布局、結構、動力系統等方面應用了較多的先進技術同時增加了控制增穩系統[1]，引入了各類前饋和反饋補償器，導致飛機組合系統的特征方程的階次越來越高，描述飛機動力學模型不再是具有典型模態的低階系統而是高達50～70階的高階系統。評價此類高階系統的飛行品質通常采用的是等效系統法[2]，飛行品質規范[3-4]對等效系統準則作了相關的規定。等效系統法是將飛機的操縱系統和飛機本體組成的高階系統等效擬配成體現典型模態特性的低階系統，從而依據飛行品質規范進行等級評定。

Morelli, Eugene A[5]采用不同的輸入將方程誤差法和輸出誤差法相結合對等效系統進行辨識，提出了一種新的等效系統擬配方法,但是未考慮數據中存在的噪聲影響。Timothy J.C[6]利用非線性方程誤差公式來辨識等效系統的參數，取得了一定的研究成果，但是計算過程較為復雜，實現難度較大。江飛鴻等[7]提出了一種新的等效系統初值計算方法，雖然精度比傳統的最小二乘法和極大似然法有所提高，但是仍然存在容易陷入局部最優解。章萌等[8]雖然利用混沌差分進化算法對等效系統擬配進行了研究，得到的擬配精度相較于傳統的辨識算法有了提高，但是未考慮應用混沌差分進化算法來處理存在噪聲的數據。

目前常規的等效系統擬配方法是最小二乘法[9]和極大似然法[10]，但是這兩種方法仍然存在著初值要求較高，全局尋優的能力較差，對帶噪聲數據處理能力較差的問題。針對這些問題，本文提出了應用平均差分進化算法來進行等效系統擬配的新思路。

1 平均差分進化算法

本文在研究差分進化算法進行等效系統擬配的基礎上，基于種群平均水平加上當前個體最優解與個體之間的差異值權重的思想，對差分進化算法提出了改進，得出了平均差分進化算法。

1.1 基本步驟

1.1.1 生成初始群體

在n維空間里隨機產生滿足約束條件的M個個體，實施措施如下：

(1)

1.1.2 變異操作

變異操作的公式為差分進化算法以及平均差分進化算法的核心公式，本文所提的平均差分進化算法主要是對差分進化算法變異操作的公式進行改進，從而提高等效系統擬配的精度。

從群體中隨機選擇3個個體x1，x2和x3，對于本文所提的平均差分進化算法的變異操作為：

hi(t+1)=

F(x1(t)-x3(t))+0.5(x2(t)+x3(t))

(2)

如果無局部優化問題，平均差分進化算法的變異操作可寫為：

hi(t+1)=

F(xbestS(t)-x3(t))+0.5(x2(t)+x3(t))

(3)

對于差分進化算法的變異操作為：

hi(t+1)=x1(t)+F(x2(t)-x3(t))

(4)

如果無局部優化問題，差分進化算法的變異操作可寫為：

hi(t+1)=xbestS(t)+F(x2(t)-x3(t))

(5)

式中：0.5(x2(t)+x3(t))代表的是此時種群的整體水平；x2(t)-x3(t)為種群的差異化程度；xbestS(t)-x3(t)表示種群初始最優個體與種群個體之間的差異程度；F為變異因子；xbestS(t)表示當前種群中最好的個體，可明顯提高收斂速度。

1.1.3 交叉操作

交叉操作是為了增加群體的多樣性，具體操作如下：

(6)

式中：rand(0，1)為[0,1]之間的隨機小數；cr為交叉概率，cr∈[0,1]。

1.1.4 選擇操作

為了確定目標個體xi(t)是否成為下一代的成員，將交叉操作得到的試驗個體vi(t+1)和目標個體xi(t)通過目標函數進行比較：

(7)

反復執行1.1.2至1.1.4，直至達到最大迭代次數G,平均差分進化算法基本運算流程見圖1。

圖1 平均差分進化算法流程圖

從圖1可以看出平均差分進化的基本思想是：利用父代個體的變異操作產生變異個體，然后以一定的概率，在父代和變異個體之間進行交叉操作得到試驗個體，再根據試驗個體與父代個體之間的適配度進行選擇操作，保留最優解，實現種群進化。

1.2 參數設置

1)變異因子。變異因子F是控制種群多樣性和收斂性的重要參數，本文經過大量測試得出F=0.9～1.4時精度較高，收斂速度較快，擴大了差分進化算法的變異因子。

2)交叉因子cr。交叉因子cr可控制個體參數的各維對交叉的參與程度，以及全局與局部搜索能力的平衡，cr既不能太大，也不能太小，經過大量試驗發現在[0.6,0.9]的范圍內效果最好。

3)群體規模M。一般選取[20,50]。

4)最大的迭代次數G。迭代次數越大，最優解越精確，但同時計算時間會更長，需要根據具體問題設定。

2 基于平均差分進化算法的等效系統擬配

2.1 輸入設計

飛行器參數辨識的可靠性和準確度很大程度上是由于輸入設計的影響，本文采用的是3-2-1-1輸入，該輸入為駕駛員常用的輸入之一，應用到等效系統辨識中具有重要代表意義，同時也適用于本文的等效系統擬配。見圖2。

圖2 3-2-1-1輸入圖

由于真實的數據中存在一定的噪聲，為驗證本文方法在實際工程中的高擬配精度，在3-2-1-1輸入的基礎上分別加入了10%、30%的白噪聲[11]來驗證本方法在等效系統擬配中的高精度。

圖3～4分別為加入10%、30%的白噪聲后的輸入,可以看出隨著白噪聲比例增加，原本3-2-1-1輸入的幅值波動越大，從圖中可以看出加入白噪聲后較為貼近實際的數據情況，對本文的研究有重要意義。

圖3 加入10%白噪聲輸入

圖4 加入30%白噪聲輸入

2.2 平均差分進化算法擬配過程

2.2.1 等效系統

本文已知帶控制器的某型飛機俯仰角速度對縱向駕駛桿力的高階數學模型[12]：

(8)

本文假設等效低階系統的數學模型：

(9)

式中：n為所選取的頻率點數；ωn為無阻尼自振頻率，擬配的頻率范圍選取0.1～10 rad/s

在頻率域內進行等效系統擬配，目標函數(在本文的平均差分進化算法中為適應值)為:

ξ[Φhos(ωi)-Φlos(ωi)]2}

(10)

式中：Ghos,Φhos分別為高階系統頻率特性的幅值和相位；Glos,Φlos分別為低階系統頻率特性的幅值和相位；ξ表示幅值偏差和相位偏差之間相對重要性的加權因子，一般取為0.017 45 dB/(°)。

2.2.2 擬配過程

本文應用平均差分進化算法進行等效系統擬配，將等效系統擬配的目標函數作為平均差分進化算法的適應值，通過比較目標函數(即適應值)的大小來進行最優個體的判斷。

1)設置參數。設置參數搜索范圍、種群規模和參數個數、變異因子、交叉因子以及最大迭代次數。

2)利用初始化參數計算個體適應值J(Xi)，進行對比得出個體最優Pi，將適應值最好的個體作為初始的全局最優。

3)變異操作。根據平均差分進化算法的核心公式(2)、(3)更新個體的狀態。

4)交叉操作。按照式(6)對每個個體進行交叉操作，得到試驗個體vi(t+1)。

5)如果試驗個體的適應值J(Xi)低于當前個體最優Pi的適應值，則試驗個體vi(t+1)更新為新位置，反之，Pi保持不變。

6)循環迭代。檢查結束條件，若滿足，則尋優結束，輸出全局最優個體Pg和最優適應值；若未達到最大收斂代數，則返回步驟3)，結束條件為尋優達到的最大進化代數tmax，或適應值小于給定精度。

2.2.3 仿真分析

根據上述的平均差分進化算法的擬配過程，本文進行的等效系統擬配主要有4個未知需要辨識的參數，分別是k，a，ζ，ωn。依據對低階等效系統的參數進行估計來設置參數的搜索區間，其中k∈[-5,5]，a∈[-1,1]，ζ∈[-3,3]，ωn∈[0,30]。

首先對3-2-1-1輸入信號應用最小二乘法、極大似然法、差分進化算法以及本文提出來的平均差分進化算法來進行等效系統擬配(見圖5～8)，得出4種方法的辨識參數值表1。

圖5 應用最小二乘法得到的等效系統擬配圖

圖6 應用極大似然法得到的等效系統擬配圖

圖7 應用差分進化算法圖得到的等效系統擬配結果圖

圖8 應用平均差分進化算法圖得到的等效系統擬配圖

表1 4種方法的辨識參數值

方法kaζωn最小二乘法1.065 0-0.642 90.711 94.660 0極大似然法1.344 4-0.636 40.708 74.716 4差分進化算法3.982 0-0.232 00.949 66.080 5平均差分進化算法4.523 2-0.296 40.943 17.623 0

從圖5～8可以看出極大似然法和最小二乘法在對初值進行估計的基礎上具有一定的辨識效果，但是精度不是很高，而且對初值的依賴性較高，容易陷入局部最優解。但是對于差分進化算法則不需要考慮初值的影響，而且差分進化算法具有良好的全局尋優能力，通過仿真可以得出差分進化算法的精度比最小二乘和極大似然法的精度要高，說明差分進化算法能夠應用到等效系統擬配中并且可以取得較好的擬配效果。差分進化算法雖然有較好的效果，但是在相同輸入的前提下低階系統的輸出跟高階系統的輸出相比仍然存在一定的誤差，而應用本文提出的平均差分進化算法計算得到的仿真圖則具有較為理想的擬配效果，低階系統和高階系統的輸出誤差較小，在保證高精度的同時也解決了初值依賴性高，易陷入局部最優解的問題。說明本算法的改進較為合理，提供了一種新的高精度等效系統擬配方法。

上述計算結果的輸入為理想型的3-2-1-1，但是考慮到真實的飛行數據中存在著噪聲，為了驗證本文的算法在工程實際中的作用，在原有3-2-1-1輸入的基礎上加上10%、30%的白噪聲，等效系統擬配情況見圖9～11。

圖9 加入不同白噪聲后應用最小二乘法得到的擬配圖

圖10 加入不同白噪聲后應用極大似然法得到的擬配圖

圖11 加入不同白噪聲后應用差分進化算法得到的擬配圖

從圖9～11可以看出隨著白噪聲比例的增加，最小二乘法、極大似然法擬配的精度逐漸降低，同時波動的幅度逐漸增加，辨識效果越來越差。說明最小二乘法和極大似然法抗噪聲干擾的能力不足，導致擬配效果隨著白噪聲比例增加而變差。而差分進化算法的擬配精度在加入噪聲后仍然具有較好的辨識效果，并未隨著噪聲比例的增加而導致擬配誤差越來越大，雖然差分進化算法擬配得到的低階系統和高階系統的輸出仍然存在一定的誤差，但是差分進化算法抗噪聲干擾的能力仍然要優于最小二乘法和極大似然法的抗噪聲干擾能力，說明差分進化算法具有良好的魯棒性。

本文同時也研究了平均差分進化算法的精度隨著噪聲比例增加的情況，得出了圖12的結果。

圖12 加入不同白噪聲后應用平均差分進化算法

通過擬配圖可以看出，本文所提的平均差分進化算法加入噪聲后的擬配精度仍然要高于差分進化算法的精度，噪聲比例的增加并沒有對擬配效果產生較大的影響，低階系統和高階系統的輸出誤差仍然較小，具有較為理想的擬配精度。說明平均差分進化算法具有良好的抗噪聲干擾能力、尋優能力和魯棒性，可以應用到工程實踐中去。

3 結論

本文針對常規算法進行等效系統擬配存在的初值依賴較大，容易陷入局部最優的問題，提出了平均差分進化算法應用到等效系統擬配的新思路，得出了如下的結論：

1)仿真結果說明平均差分進化算法可以應用到等效系統擬配中,為等效系統擬配提供了一種新的方法與思路。

2)通過與最小二乘法和極大似然法進行等效系統擬配的效果進行對比，發現差分進化算法的辨識效果雖然存在一定的誤差，但是擬配精度要高于最小二乘法和極大似然法的擬配精度，同時具有較好的噪聲處理能力。

3)無論是理想的3-2-1-1輸入還是加入噪聲之后的新輸入，應用本文提出的平均差分進化算法進行等效系統擬配的精度都要高于最小二乘法、極大似然法以及差分進化算法，具有較好的擬配效果，同時具有良好的噪聲處理能力，對于工程實踐具有較好的應用價值。