基于噪聲順序解相關(guān)的兩階段Kalman濾波融合

張建朝， 葛泉波， 李 宏， 何紅麗

(1.杭州電子科技大學自動化學院， 杭州， 310018; 2.同濟大學電子與信息工程學院，上海，201804; 3.中國飛行試驗研究院， 西安， 710089)

雷達系統(tǒng)在進行目標跟蹤時常受到電磁環(huán)境、地形地貌和部件老化等各種復雜因素的影響，從而導致跟蹤模型中的不確定噪聲內(nèi)涵趨于混合復雜性[1-2]。除了外界因素外，雷達跟蹤系統(tǒng)常會出現(xiàn)偏差，會對跟蹤估計融合效果產(chǎn)生不利影響，因此必須在建模過程中考慮該誤差影響，實現(xiàn)帶有系統(tǒng)誤差估計的高性能目標跟蹤[3-8]。

在無法對系統(tǒng)誤差精準建模的客觀事實下，帶有隨機噪聲的統(tǒng)計建模成為必然的選擇，從而對目標狀態(tài)估計器設(shè)計提出新的挑戰(zhàn)。為了避免狀態(tài)擴維模式下Kalman濾波器運行過程可能存在的計算病態(tài)問題，兩階段濾波方法已經(jīng)被提出用來獲得更好的計算性能，該方法已經(jīng)受到了眾多研究者的關(guān)注，并在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和多傳感器系統(tǒng)中得到諸多應用研究[9-16]。

在面對復雜實際工程應用時，兩階段Kalman濾波融合方法需要具有應對有色噪聲和各種復雜噪聲相關(guān)性的能力。文獻[17]利用歷元噪聲的相關(guān)性特性，構(gòu)建多步相關(guān)的噪聲協(xié)方差矩陣，通過線性變換得到改進的狀態(tài)協(xié)方差公式和增益矩陣來解決有色噪聲問題。文獻[18]應用待定系數(shù)矩陣的噪聲解相關(guān)技術(shù)并推廣到一類噪聲相關(guān)多傳感器系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波融合算法設(shè)計中。同時，文獻[19]進一步討論有色噪聲的濾波估計算法設(shè)計問題。上述工作并不具備應對更復雜噪聲相關(guān)多雷達網(wǎng)的系統(tǒng)誤差和狀態(tài)聯(lián)合估計融合的能力[20-24],因此有必要進一步深入研究復雜噪聲建模下的兩階段Kalman濾波融合算法的設(shè)計問題[25-32]。

針對上述問題，本文在現(xiàn)有噪聲相關(guān)和有色噪聲建模的兩階段Kalman濾波設(shè)計研究基礎(chǔ)上，進一步考慮更復雜的噪聲建模情形，即系統(tǒng)誤差(偏差)不確定性的有色噪聲建模(有色噪聲)、過程噪聲與測量噪聲之間的4種相關(guān)性相比現(xiàn)有研究中涉及的噪聲建模情形，本文中考慮的有色噪聲和4種噪聲相關(guān)性，基本上覆蓋了實際工程中雷達系統(tǒng)誤差估計融合模型中所能遇到的主要情況。隨著噪聲建模復雜度的增加，對兩階段Kalman濾波融合方法設(shè)計的難度和挑戰(zhàn)影響也隨之增加，尤其是如何在兩階段濾波器設(shè)計中有序地解決有色噪聲和多種噪聲相關(guān)性解相關(guān)過程的耦合問題是建立相應兩階段Kalman濾波融合方法的關(guān)鍵。

本文以上述復雜噪聲建模多雷達目標跟蹤系統(tǒng)為對象，建立一種基于噪聲順序解相關(guān)的新型兩階段Kalman濾波融合算法。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)描述

考慮一種帶有系統(tǒng)偏差的多傳感器系統(tǒng)[18]：

(1)

bk+1=bk+ζk

(2)

yi,k=Cixk+Dibk+vi,k

(3)

1.2 過程和測量噪聲統(tǒng)計特性描述

(4)

E[vi,k(vi,j)T]=Riδkj

(5)

式中：Q>0，Ri>0，δkj為Kronecker-δ函數(shù)。

1.3 系統(tǒng)偏差的有色噪聲描述

在實際雷達目標跟蹤系統(tǒng)中，常常會出現(xiàn)偏差噪聲有色的情況。只有在噪聲相關(guān)性比較弱時，才可以近似地表示為白噪聲，當噪聲的相關(guān)性不可忽略時，就要考慮有色噪聲建模，即：

bk+1=bk+ζk

(6)

(7)

(8)

1.4 噪聲相關(guān)性問題

在雷達目標跟蹤系統(tǒng)中可能存在復雜的噪聲相關(guān)情形，即過程噪聲與有色噪聲的相關(guān)性(相關(guān)性Ⅰ)、測量噪聲與有色噪聲的相關(guān)性(相關(guān)性Ⅱ)、過程噪聲與測量噪聲相關(guān)性(相關(guān)性Ⅲ)以及測量噪聲之間的相關(guān)性(相關(guān)性Ⅳ)。

1)相關(guān)性Ⅰ：過程噪聲與有色噪聲相關(guān)性

(9)

2)相關(guān)性Ⅱ：測量噪聲與有色噪聲相關(guān)性

(10)

3)相關(guān)性Ⅲ：過程噪聲與測量噪聲相關(guān)性

(11)

4)相關(guān)性Ⅳ：測量噪聲之間的相關(guān)性

(12)

1.5 關(guān)鍵性問題

由于噪聲建模的復雜性增加，必然導致兩階段Kalman濾波融合算法的設(shè)計復雜性和難度增加。針對本文考慮的復雜噪聲建模多雷達目標跟蹤系統(tǒng)，重點要解決如下4個關(guān)鍵性問題：

1)有色噪聲處理和噪聲相關(guān)性的處理順序；

2)相關(guān)性(Ⅰ)～(Ⅲ)和相關(guān)性(Ⅳ)的處理順序；

3)相關(guān)性(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的處理順序；

4)相關(guān)性(Ⅰ)～(Ⅳ)的解相關(guān)方法。

2 復雜噪聲建模的兩階段Kalman濾波

2.1 研究方案

針對1.5節(jié)中給出的前3個需要解決的關(guān)鍵性問題，相應的分析和解決方案如下：

1)應用狀態(tài)擴維技術(shù)來解決有色噪聲白化問題不會對后續(xù)噪聲相關(guān)性產(chǎn)生不利影響，即白化后的噪聲解相關(guān)不會再產(chǎn)生有色噪聲情形。因此，選擇先有色噪聲白化再處理噪聲相關(guān)性的思路。

2)由于(Ⅳ)是單一類測量噪聲之間的相關(guān)性且只在融合過程中才會涉及，而(Ⅰ)～(Ⅲ)是不同類型噪聲之間的相關(guān)性，并且在濾波和融合算法推導過程中都會涉及。因此，本文確定先處理相關(guān)性(Ⅰ)～(Ⅲ)再解決相關(guān)性(Ⅳ)的方案。

3)由于(Ⅰ)～(Ⅲ)表示的是不同類型噪聲之間的相關(guān)性，使得這些相關(guān)性之間必然存在內(nèi)在的耦合性。如果解相關(guān)順序選擇不恰當，可能會出現(xiàn)后面噪聲解相關(guān)工作完成后前面的噪聲相關(guān)性又出現(xiàn)的現(xiàn)象。因此，如何選擇合適的相關(guān)性(Ⅰ)～(Ⅲ)解相關(guān)順序至關(guān)重要。經(jīng)過深入分析和驗證，能有效避免上述耦合性現(xiàn)象發(fā)生的噪聲解相關(guān)順序為(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)，即先解決過程和測量噪聲與有色噪聲的相關(guān)性，然后再解決兩者之間的相關(guān)性。

4)相關(guān)性(Ⅰ)～(Ⅲ)的解相關(guān)采用狀態(tài)和測量方程的等價變換技術(shù)，相關(guān)性(Ⅳ)的解相關(guān)采用集中式融合下的矩陣對角化技術(shù)。

綜合上述關(guān)鍵問題的解決方案，基于噪聲順序解相關(guān)的兩階段Kalman濾波融合流程見圖1。

圖1 整體方案框圖

2.2 有色噪聲處理

采用狀態(tài)增廣法來解決偏差噪聲白化問題[17]，即將偏差作為狀態(tài)的一部分，則擴維后狀態(tài)為：

(13)

則增廣偏差后系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)誤差和觀測方程為：

(14)

(15)

(16)

其中：

(17)

2.3 相關(guān)噪聲處理

2.3.1 相關(guān)噪聲耦合性分析

從方程(9)～(12)可知，有色偏差噪聲、過程噪聲與量測噪聲是的相關(guān)性存在內(nèi)在的耦合性，本節(jié)給出一個具體例子來說明該現(xiàn)象的存在性：在解相關(guān)過程中，若先進行解相關(guān)Ⅲ，再進行解相關(guān)Ⅰ、Ⅱ。由于在解決偏差噪聲與過程噪聲及量測噪聲過程中，又將偏差噪聲引入，使得過程噪聲與量測噪聲相關(guān)。

通過引入方程等價技術(shù)可得[28]：

xk+1=

(18)

其中：

(19)

(20)

(21)

此時完成了相關(guān)性Ⅲ的解相關(guān)工作，因此有：

(22)

緊接著開始解相關(guān)相關(guān)性Ⅰ和Ⅱ，分別有：

xk+1=

(23)

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

從而我們?nèi)菀撰@得：

(29)

式(22)表明，本來經(jīng)過上述解相關(guān)過程相關(guān)性Ⅲ已經(jīng)不存在了(完成了解相關(guān))，而式(29)表明后續(xù)經(jīng)過相關(guān)性Ⅰ和Ⅱ的解相關(guān)后，相關(guān)性Ⅲ(過程噪聲和量測噪聲的相關(guān)性)又重新出現(xiàn)了，這意味著相關(guān)性Ⅲ的解相關(guān)工作與相關(guān)性Ⅰ、Ⅱ解相關(guān)過程存在耦合性(相互依賴性)。

上述例子分析表明，為了實現(xiàn)完美的噪聲解相關(guān)，前3種噪聲解相關(guān)順序不是任意的，必須尋找和確定一個能避免上述耦合性的解相關(guān)序列。經(jīng)過深入分析和測試，滿足該要求的解相關(guān)順序為相關(guān)性Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。接下來就根據(jù)該順序給出前3種相關(guān)性完整的解相關(guān)過程。

2.3.2 噪聲相關(guān)性Ⅰ解相關(guān)

噪聲相關(guān)性Ⅰ的解相關(guān)主要解除過程噪聲與有色偏差噪聲相關(guān)性。該解相關(guān)的思想是通過一個待定系數(shù)矩陣，在系統(tǒng)方程(14)的等號右側(cè)加上一個由偏差方程組成的恒等于零的項[24]，即：

(30)

式中：m=M(Wb)-1是n×p維待定系數(shù)矩陣。

(31)

(32)

(33)

2.3.3 噪聲相關(guān)性Ⅱ解相關(guān)

噪聲相關(guān)性Ⅱ的解相關(guān)是解除量測噪聲與偏差噪聲的相關(guān)性。主要思想是通過一個待定系數(shù)矩陣，在系統(tǒng)方程(16)的等號右側(cè)加上一個由偏差方程組成的恒等于零的項[24]，即：

(34)

(35)

(36)

(37)

2.3.4 噪聲相關(guān)性Ⅲ解相關(guān)

噪聲相關(guān)性Ⅲ的解相關(guān)是解決過程噪聲與量測噪聲相關(guān)性問題。主要思想是通過一個待定系數(shù)矩陣，在系統(tǒng)方程(30)的等號右側(cè)加上一個由量測方程組成的恒等于零的項[24]，即：

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

通過上述解相關(guān)過程后可得：

(43)

即前3種相關(guān)性已經(jīng)被完美的解除。

2.3.5 復雜噪聲建模系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波

有色噪聲白化和多種噪聲順序解相關(guān)工作完成后，最終可以獲得如下新的多傳感器系統(tǒng)：

(44)

(45)

(46)

式中：噪聲統(tǒng)計特性如式(43)，且有：

(47)

(48)

(49)

2.4 簡要分析

針對本文研究的復雜噪聲相關(guān)系統(tǒng)，本節(jié)給出了較完善的科學解決方案，即先解決偏差噪聲為有色噪聲問題，然后在考慮耦合性基礎(chǔ)上解決噪聲相關(guān)問題，最后利用兩階段Kalman濾波算法解決系統(tǒng)偏差問題。其中，運用狀態(tài)擴維方法解決有色噪聲問題，相比于常規(guī)模型維數(shù)有所增加。由于利用引入待定系數(shù)矩陣的解相關(guān)算法，使得系數(shù)矩陣存在運算關(guān)系。相比于不考慮噪聲相關(guān)情況，一定程度上加大了計算復雜度，但獲得比傳統(tǒng)不相關(guān)噪聲假設(shè)的算法更符合實際系統(tǒng)。同時，在解相關(guān)法的使用上，充分考慮到了3種噪聲解相關(guān)問題存在的耦合相關(guān)性，使得算法原理研究上難度增加。幸運的是，通過深入的合理性分析，獲得了一個能避免該耦合性的噪聲解相關(guān)具體順序。

3 復雜噪聲建模的兩階段Kalman濾波融合

本節(jié)主要研究帶有第Ⅳ種相關(guān)性的集中式融合估計算法的設(shè)計。針對兩階段Kalman濾波的具體問題，采用如下融合結(jié)構(gòu)：先同時實現(xiàn)多傳感器集中式有偏差融合估計和多傳感器集中式無偏差融合估計，然后再采用兩階段Kalman濾波的組合方式實現(xiàn)有偏差融合估計和無偏差融合估計結(jié)果的融合，其中集中式融合采用基于對角化擴維測量噪聲協(xié)防差陣的方式。即，首先將各個傳感器的量測方程聯(lián)合組成一個新的廣義量測方程，然后利用平方根分解和單位下三角陣的求逆方法[21]應對量測噪聲相關(guān)下的分散式融合算法設(shè)計問題，最后在融合中心按照兩階段Kalman濾波模式完成偏差和狀態(tài)的聯(lián)合融合估計[26]。

3.1 量測噪聲相關(guān)性的處理

由于經(jīng)過3次的噪聲解相關(guān)操作，原始的測量噪聲相關(guān)性已經(jīng)發(fā)生了變化，因此需要對新的融合估計系統(tǒng)進行測量噪聲方差的重新計算。經(jīng)過3次噪聲解相關(guān)的等價集中式擴維量測方程為[2]：

(50)

其中：

(51)

(52)

因此，可得新的多傳感器兩階段Kalman融合估計系統(tǒng)的測量噪聲協(xié)方差矩陣為：

(53)

其中：

(54)

對于測量噪聲相關(guān)的多傳感器測量系統(tǒng)，處理噪聲相關(guān)性的方式有多種。本文采用平方根分解和單位下三角陣的求逆方法，將其轉(zhuǎn)化為測量噪聲互不相關(guān)的廣義多傳感器測量方程[23]。

(55)

(56)

(57)

將Mk進行分塊表示，可得：

(58)

在量測方程式兩邊左乘以Mk，則解相關(guān)后新的多傳感器廣義測量方程可以轉(zhuǎn)化成：

(59)

其中：

(60)

(61)

此時，新得到的集中式擴維量測方程中各傳感器的量測噪聲已互不相關(guān)，原系統(tǒng)的測量方程重寫為：

(62)

(63)

(64)

3.2 集中式融合

集中式多傳感器融合中心的狀態(tài)估計[28]如下：

(65)

(66)

(67)

無偏差濾波的集中式融合[32]：

(68)

(69)

(70)

(71)

偏差濾波器的集中式融合估計[32]：

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

3.3 分布式融合

分布式融合結(jié)構(gòu)每次只對2個兩階段Kalman濾波器的狀態(tài)估計數(shù)據(jù)(狀態(tài)估計值和誤差協(xié)方差矩陣)進行加權(quán)融合。首先，局部融合中心2先對第一和第二個濾波器的估計結(jié)果進行融合：

(77)

(78)

接著，局部融合中心3將融合結(jié)果與第3濾波器的估計結(jié)果進行融合：

(79)

(80)

3.4 簡要分析

雖然為了應對有色噪聲、噪聲解相關(guān)以及集中式融合的使用必然會在算法復雜度上付出了一些代價，但這個代價也是非常值得的，對于當前的CPU運算水平而言也不會增加任何本質(zhì)性的計算負擔。

本文所用的融合模式是分別實現(xiàn)無偏差和有偏差的集中式融合，然后再將兩者融合結(jié)果進行組合(某種意義上也是一種融合)。也可以采用3.3所述分布式融合方法，即每個傳感器先實現(xiàn)一個完整的兩階段Kalman濾波估計，然后再將所有傳感器兩階段估計結(jié)果進行分布式加權(quán)[33]。

集中式融合估計算法因直接對原始測量值進行擴維處理，而分布式算法是局部傳感器先根據(jù)自身量測信息完成一個噪聲相關(guān)系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波。因此，集中式估計融合算法的精度要比分布式算法高，但是從融合估計的魯棒性和安全性而言，分布式融合算法要比集中式融合方法強。

4 計算機仿真

分別用4個計算機仿真驗證本文算法的性能。

融合系統(tǒng)的模型參數(shù)選擇如下：

初始條件如下：

4.1 有效性驗證

根據(jù)所設(shè)置的模型參數(shù)，可得圖1、圖2和表1結(jié)果。集中式融合估計誤差要比3個單傳感器兩階段Kalman濾波估計誤差要小，因此所建立的噪聲相關(guān)系統(tǒng)的集中式兩階段Kalman融合估計方法精度高。

圖1 集中式融合估計曲線

圖2 集中式融合估計誤差曲線

表1 各傳感器估計與集中式融合誤差

誤差傳感器1傳感器2傳感器3集中式融合x10.013 70.011 90.024 60.005 6x20.027 40.019 60.029 20.009 7

4.2 精度驗證

跟蹤能力與誤差的對比驗證見圖3～4。由圖可知集中式融合估計明顯要比分布式加權(quán)融合估計具有更小的誤差。

在實際應用中，如果對于追蹤精度有較高要求，且能夠有力保證每個傳感器正常工作，可以選用本文的集中式融合方法。當然，由于分布式加權(quán)融合方法可以通過調(diào)整權(quán)值的方式給予各個傳感器量測不同權(quán)重，因此在不確定傳感器狀態(tài)時，可以選用此算法。

圖3 2種融合方式的跟蹤曲線

圖4 2種融合方式的誤差曲線

4.3 復雜度驗證

針對復雜噪聲相關(guān)兩階段Kalman濾波融合方法的集中式融合計算形式(A1)與噪聲不相關(guān)的兩階段Kalman濾波融合方法(A2)進行復雜度計算，分別統(tǒng)計其計算量。在統(tǒng)計時，遵循以下幾個準則：①計算種類歸納為加法運算、賦值運算、乘法運算、除法運算4種；②一次賦值運算相當于一次加法運算；③矩陣運算按元素來進行操作。

表2 計算量分析

從表2可知：易知復雜噪聲相關(guān)兩階段Kalman濾波融合方法的集中式融合方式計算量要比噪聲不相關(guān)的兩階段Kalman濾波融合方法大，但是在目前計算機的可承載范圍內(nèi)。通過對復雜度的犧牲來提高算法對復雜問題的跟蹤精度是有意義的。

4.4 普適性驗證

為了豐富仿真實驗，本仿真通過在不同仿真參數(shù)下比較2種算法的估計結(jié)果，更充分驗證本文所提集中式融合方法優(yōu)越性。

部分修改參數(shù)如下：

A=[-0.05,-0.84;0.517,8.069],B=[1,0;0,1],C1=[1,0;0,1]，C2=[0.8,0;0,0.8]，C3=[1.2,0;0,1.2]。

通過圖5～6與圖3～4的比較可以看出，雖然仿真參數(shù)不同，但是融合估計的規(guī)律大體相同，即集中式融合方法具有更好的濾波精度。

圖5 2種融合方式的跟蹤曲線

圖6 2種融合方式的誤差曲線

5 結(jié)語

在充分考慮帶有偏差的多傳感器融合估計系統(tǒng)具有有色噪聲和復雜噪聲相關(guān)性的情形下，本文應用狀態(tài)和參數(shù)的擴維技術(shù)以及多次順序方程等價技術(shù)來設(shè)計一種復雜噪聲相關(guān)性多傳感器系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波融合方法。與現(xiàn)有的噪聲相關(guān)兩階段Kalman濾波融合方法相比，本文考慮的噪聲復雜建模情形更加完善，可推廣到非線性系統(tǒng)、非高斯系統(tǒng)和自適應濾波融合系統(tǒng)中。