二維小波提升-DCT變換對地電場壓縮算法

顧 濤

(華北科技學院 計算機學院，河北 燕郊 065201)

0 引 言

數(shù)據(jù)壓縮是海量數(shù)據(jù)監(jiān)控領域中經(jīng)常要面對的問題。對于10 KV架空線路系統(tǒng)，其對地電場監(jiān)測數(shù)據(jù)的保存是供電單位電能質(zhì)量數(shù)據(jù)必須要保存的數(shù)據(jù)之一。分析已監(jiān)測到的對地電場歷史數(shù)據(jù)，可以得出結(jié)論，當線路正常時，其值在±15%范圍內(nèi)波動。當故障發(fā)生時，其值會劇烈波動，波動范圍一般大于75%-95%以上。這樣數(shù)據(jù)特征就比較符合利用有損壓縮算法對數(shù)據(jù)進行高壓縮比壓縮，因為數(shù)據(jù)恢復后，其顯著的變化特征不會丟失。對于電力領域內(nèi)比較著名的數(shù)據(jù)壓縮算法是以色列的PQZIP壓縮軟件采用的快速FFT壓縮算法。該軟件利用FFT技術(shù)實現(xiàn)對正弦波高速采樣數(shù)據(jù)的壓縮，最大壓縮比可以達到1000∶1。這種基于FFT壓縮算法是有損壓縮技術(shù)，特別適合被壓縮對象是正弦變化的波形。但對于對地電場監(jiān)測值，由于是定期采樣獲得的有效值，其值變化受各種因素影響，不是正弦變化。因此，針對對地電場值高壓縮比存儲，需要研究其它壓縮算法。近年來提出的壓縮感知[1-5]算法已用在電能質(zhì)量數(shù)據(jù)存儲中，但該算法之核心還是用到DFT技術(shù)。考慮對于圖像數(shù)據(jù)處理，利用二維DCT變換和二維小波分解變換可以有效的對圖像進行壓縮編碼。二維DCT變換可以將變換后的數(shù)據(jù)非常有效地集中到矩陣左上角區(qū)域，但對于圖像分塊邊緣效應比較明顯，這是其缺點所在。圖像在經(jīng)過二維小波變換后，分解后的系數(shù)在低頻系數(shù)矩陣、垂直系數(shù)矩陣、水平系數(shù)矩陣、對角系數(shù)矩陣中得到集中和重新分配，只要對分解后系數(shù)進行硬閾值處理，就可以有效壓縮圖像數(shù)據(jù)。受二維DCT和二維小波變換對圖像高效率壓縮啟發(fā)，本文將采樣得到的一維電場數(shù)據(jù)按照行順序排列，先構(gòu)造成128×128數(shù)據(jù)塊，對構(gòu)造的數(shù)據(jù)塊做二維haar小波提升分解，再利用二維DCT變換，對小波分解系數(shù)做二次變換。通過構(gòu)造二維系數(shù)篩選矩陣對DCT系數(shù)和小波系數(shù)進行篩選取舍。對篩選到的系數(shù)再進行一維小波變換編碼，最后實現(xiàn)對原始一維數(shù)據(jù)高壓縮比壓縮。該算法實質(zhì)是利用DCT變換進行二次系數(shù)集中，通過mask稀疏矩陣對系數(shù)軟閾值化處理，再對所選系數(shù)進行一維小波變換編碼。雖然用到二維DCT對小波分解塊系數(shù)做變換，但該算法并不存在邊緣效應。實驗結(jié)果表明，采用該算法，對于正常波動的對地電場數(shù)據(jù)壓縮，壓縮比可以達到1024∶1，數(shù)據(jù)恢復后誤差控制在8.7743%-0%。提高數(shù)據(jù)塊編碼尺度大小，在保證一定數(shù)據(jù)質(zhì)量的情況下，壓縮比還可以提高到2048∶1。

1 二維haar小波提升與二維DCT變換

Daubechies等系統(tǒng)地證明了所有小波變換都可以通過分解、預測、更新和尺度縮放4步提升實現(xiàn)[6]，使一度深奧的小波變換得到簡化，極大地促進了小波理論應用[7-11]。

1.1 haar小波提升變換

利用Z變換技術(shù)，先對小波濾波器進行變換并將奇偶系數(shù)分開重組，然后再使用Euclidean算法分解，小波變換多相位矩陣P(z)最終可以用式(1)表示為

(1)

(2)

(3)

原始信號才能在分解后得到完美重構(gòu)。

式(1)給出小波提升過程可以分為4個步驟即分解、預測、更新和尺度縮放。重構(gòu)過程正好是其反過程。本算法使用haar小波對構(gòu)造出的數(shù)據(jù)方陣做二維小波提升變換，haar小波4個濾波器分別為：

(4)

對偶多相位矩陣為

(5)

因此，haar提升過程就可以用式(6)到式(9)表示(設x是待分解信號，dl和sl分別是小波分解后的高頻系數(shù)和低頻系數(shù))

(6)

(7)

(8)

(9)

根據(jù)前向提升公式，可以求出逆變換公式如下

(10)

(11)

(12)

(13)

利用haar小波對所構(gòu)造的數(shù)據(jù)塊做提升變換時，先對每行進行一維提升變換，然后對中間變換結(jié)果的每列再做一維提升變換，由此得到數(shù)據(jù)塊二維提升變換。同樣，可以利用haar逆變換公式求取二維逆提升變換結(jié)果。

1.2 二維DCT變換

本文利用64×64二維DCT變換矩陣，將二維小波變換結(jié)果再做進一步變換，使變換后數(shù)據(jù)進一步集中在左上角，利于后續(xù)數(shù)據(jù)處理。

64×64二維DCT變換和逆變換分別定義為式(14)、式(15)表示，設Amn為待變換的數(shù)據(jù)方陣，Bpq為變換后的方陣，則有二維DCT正變換

(14)

逆變換為

(15)

從式(14)、式(15)可知，DCT變換和IDCT變換具有線性可加性和變換核可分離性，均可以通過一維DCT、IDCT變換實現(xiàn)。

2 數(shù)據(jù)壓縮算法

2.1 壓縮步驟

10KV架空線路對地電場數(shù)據(jù)是分析接地故障重要參數(shù)之一，需要長期對其保存，供故障追溯使用。架空線路監(jiān)測點眾多，數(shù)據(jù)量大，需要對上傳數(shù)據(jù)進行壓縮保存。圖1給出對地電場數(shù)據(jù)壓縮具體實現(xiàn)步驟。第一步，先將獲取的監(jiān)測數(shù)據(jù)序列構(gòu)造成128×128二維數(shù)據(jù)方陣A。第二步，對方陣A做二維haar提升小波變換(LWT2)，得到矩陣B。數(shù)據(jù)方陣A變換后能量重新分配在低頻系數(shù)ca1矩陣、垂直系數(shù)cv1矩陣、水平系數(shù)ch1矩陣、對角系數(shù)cd1矩陣中，有利于下一步DCT變換進一步能量集中。每個小波系數(shù)矩陣行列數(shù)目均是原來數(shù)據(jù)矩陣的一半。第三步，將ca1、cv1、ch1、cd1再構(gòu)造成一個128×128方陣B，再利用64×64DCT變換核，對新構(gòu)造的矩陣B變換。變換后的ca1_dct2、cv1_dct2、ch1_dct2、cd1_dct2矩陣能量最后主要集中在左上角。第四步，構(gòu)造MASKC64X64稀疏矩陣，對dct變換系數(shù)矩陣C進行篩選，獲取篩選結(jié)果矩陣D。構(gòu)造MASKC64X64矩陣時，突出篩選出能量大的和決定頻率變化的數(shù)據(jù)，篩選方法是將一行數(shù)據(jù)排序，取一行中前a個最大值和后a個最小值，a和壓縮比有關(guān)。第五步，對矩陣D非零數(shù)據(jù)重新排列成一維數(shù)組，利用一維haar小波提升變換和軟閾值處理，進一步將數(shù)據(jù)壓縮，最后獲取部分壓縮數(shù)據(jù)DATA1，壓縮信息中不含位置信息，其元素位置信息由MASK稀疏矩陣中1的元素位置決定。

圖1 一維采樣數(shù)據(jù)壓縮步驟

第六步，對DATA1解碼，做二維DCT逆變換，得到矩陣E，此矩陣是矩陣B的近似矩陣。第七步，構(gòu)造小波系數(shù)誤差矩陣F，令F=B-E。第八步，對誤差矩陣F做DCT2變換，得到矩陣G。第九步，構(gòu)造MASKG64X64稀疏矩陣，對矩陣G系數(shù)篩選，得到矩陣H。第十步，利用一維haar小波提升變換和軟閾值處理方法，將矩陣H非零元素壓縮成數(shù)據(jù)DATA2。

第十一步，對誤差矩陣F做LWT2變換，得到矩陣I。第十二步，構(gòu)造MASKI64X64稀疏矩陣，對矩陣I系數(shù)篩選，得到矩陣J。第十三步，利用一維haar小波提升變換和軟閾值處理方法，將矩陣J非零元素壓縮成數(shù)據(jù)DATA3。

2.2 壓縮誤差系數(shù)修正

DATA1、DATA2、DATA3即是原來一維數(shù)據(jù)經(jīng)過各種變換壓縮的結(jié)果。從圖1中，我們可以知道，小波系數(shù)矩陣B是矩陣E與矩陣F之和。要想理想恢復原壓縮數(shù)據(jù)，需要將誤差矩陣F求的精確。令

B=E+F

(16)

其中，E=IDCT2(ILWT(DATA1))。

同時，令

F=α(IDCT2(ILWT(DATA2)))+β(ILWT2(ILWT(DATA3)))

(17)

其中，稱α為DCT誤差系數(shù)調(diào)整因子，β為小波誤差系數(shù)調(diào)整因子。壓縮數(shù)據(jù)越少，壓縮比越大，α、β越大，反之亦然。數(shù)據(jù)實驗表明，α在0～3.5之間，β在0～1.5之間恢復出的數(shù)據(jù)比較理想。

B=IDCT2(ILWT(DATA1))+α(IDCT2(ILWT(DATA2)))+β(ILWT2(ILWT(DATA3)))

(18)

壓縮數(shù)據(jù)時，提供給用戶可調(diào)參數(shù)有壓縮比。α、β參數(shù)根據(jù)壓縮比，壓縮算法自己計算其值。當用戶調(diào)整好壓縮比參數(shù)后，根據(jù)壓縮比，可以計算出矩陣E、矩陣H、矩陣J中總共要保留多少參數(shù)，假設為L。按照矩陣E保留4個，矩陣H保留(L-4)/2個，剩下為矩陣J的。根據(jù)提前設定好的α、β值范圍，當選定一組，做逆變換，求取最大誤差，若誤差滿足要求，該組α、β值就是選定的值。若誤差不滿足，繼續(xù)調(diào)整α、β值再計算，反復修訂后，α、β值可以求出。整個算法中，當壓縮比確定后，就可以確定每個矩陣分配多少個保留系數(shù)，由此就可以分配每行保留幾個數(shù)據(jù)。3個MASK稀疏矩陣按左上角第一行第一個元素開始設置為1，該數(shù)據(jù)必須保留，其它元素初始化均為0。每行設置個數(shù)不超過行總數(shù)目的1/4(16個)，具體個數(shù)由壓縮比計算決定。保留的數(shù)據(jù)要突出能量大的和影響頻率的數(shù)據(jù)(極小、極大數(shù)據(jù))，系數(shù)篩選規(guī)制按2.1節(jié)介紹內(nèi)容進行。第一行設置完畢后，開始設置第二行，以此類推，對于DCT2系數(shù)篩選，第一行數(shù)據(jù)重要性遠遠高于第二行數(shù)據(jù)，一般設置兩行即可。

3 壓縮數(shù)據(jù)分析

任意取現(xiàn)場采集到的電場數(shù)據(jù)做第二節(jié)算法描述的數(shù)據(jù)壓縮過程，考察在不同壓縮比下數(shù)據(jù)解壓縮后百分比誤差范圍，以檢驗壓縮算法是否滿足現(xiàn)場技術(shù)指標要求。表1中給出了5組實驗數(shù)據(jù)，說明了本算法的有效性。圖2到圖6對比了不同壓縮比下數(shù)據(jù)恢復曲線與原曲線波形差異，壓縮比越高，數(shù)據(jù)波形失真越大。

表1 不同壓縮比、α、β，對應不同恢復百分比誤差

注：表中壓縮比定義為原始數(shù)據(jù)長度/壓縮后數(shù)據(jù)長度。同時采用百分比誤差范圍和百分比誤差占比兩個指標考察壓縮效果，以對應對地電場技術(shù)指標誤差范圍±10%要求。

圖2 lwt2(F)變換壓縮后恢復曲線

圖3 dct2(F)變換壓縮后恢復曲線

圖4 lwt2(F)和dct2(F)變換壓縮后修正數(shù)據(jù)恢復曲線(壓縮比585.4∶1)

圖5 lwt2(F)和dct2(F)變換壓縮后修正數(shù)據(jù)恢復曲線(壓縮比442.8∶1)

圖6 lwt2(F)和dct2(F)變換壓縮后修正數(shù)據(jù)恢復曲線(壓縮比291.2∶1)

表1實驗數(shù)據(jù)說明，隨著壓縮比降低，解壓縮后數(shù)據(jù)百分比誤差小于5%的數(shù)據(jù)占比提高，數(shù)據(jù)精度提高。不同壓縮比下，數(shù)據(jù)恢復最大百分比誤差小于10%，符合現(xiàn)場對地電場技術(shù)指標誤差范圍±10%要求。雖然不同壓縮比下，賦范均方誤差相差不大，但百分比誤差<5%占比相差很大，說明本文所提指標更能刻畫數(shù)據(jù)解壓縮失真情況，從波形對比上看百分比誤差占比指標更符合直觀感受。表1中所有壓縮實驗結(jié)果，前提是只取了系數(shù)矩陣C中4個數(shù)據(jù)做IDCT2，其結(jié)果作為近似矩陣E，即矩陣C中每一個64×64子矩陣左上角第一行第一列之元素，可見局部壓縮比高達4096∶1。

圖2至圖6說明，lwt2(F)變換后壓縮的數(shù)據(jù)DATA3在數(shù)據(jù)恢復時，是對dct2(F)變換后壓縮數(shù)據(jù)DATA2的有益補充，可以有效恢復數(shù)據(jù)曲線細節(jié)。在壓縮比確定后，根據(jù)百分比誤差率設置，α、β值就可以計算確定出來。圖中同時給出了不同壓縮比下，α、β不同取值條件下所對應的解壓縮波形與原始數(shù)據(jù)波形對比。

文獻[1-5]算法核心都是采用DFT變換，然后構(gòu)造稀疏矩陣進行壓縮。經(jīng)過壓縮算法比較換算后，文獻[1]壓縮比約為168∶1，文獻[2]壓縮比約為5.06∶1，文獻[3]壓縮比約為34.13∶1，文獻[4]壓縮比約為11∶1，文獻[5]壓縮比約為13.2∶1。與文獻[1-5]相比，本算法綜合壓縮比性能更高。

進一步理論分析和計算表明，當矩陣D取4個數(shù)據(jù)，矩陣G取40個數(shù)據(jù)，矩陣I取64×16個數(shù)據(jù)，對于任意對地電場128×128數(shù)據(jù)塊，此時壓縮比在15.34∶1左右，壓縮數(shù)據(jù)即可得到較完美恢復。與PQZIP壓縮正弦信號相比，該算法能提供非正弦信號高壓縮比壓縮。本算法性能在matlab R2016b平臺編程得到驗證。α、β參數(shù)設置由壓縮比確定后，壓縮算法根據(jù)誤差率自適應計算其值。

4 結(jié)束語

提出采用二維小波提升-DCT變換算法壓縮對地電場采樣值，并構(gòu)造誤差系數(shù)矩陣F，利用不同壓縮比下調(diào)整α、β因子，以提高數(shù)據(jù)解壓縮恢復效果。數(shù)據(jù)壓縮實驗分析表明，采用本算法能夠?qū)崿F(xiàn)對地電場數(shù)據(jù)的高壓縮存儲，數(shù)據(jù)解壓縮最大百分比誤差滿足現(xiàn)場技術(shù)指標要求。算法適合非正弦信號數(shù)據(jù)壓縮，使用范圍更廣。算法壓縮比高于基于壓縮感知算法的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)。