基于卷積譜與L0正則化的圖像盲去模糊

劉光宇，袁 權，張令威，吳哲夫，劉光燦

(南京信息工程大學 自動化學院，江蘇 南京 210044)

0 引 言

圖像去模糊在模糊核是否已知的情況下可以分為兩大類：非盲去模糊方法(non-blind deconvolution)與盲去模糊方法(blind image deconvolution)。早期的圖像去模糊算法通常是在假設模糊核已知的情況下對模糊圖像進行清晰化處理，也就是非盲去模糊方法。另一類方法是在模糊核未知情況下解決圖像去模糊問題，也就是盲去模糊方法。與非盲去模糊方法相比，這類任務更加貼近實際情況，但由于缺乏先驗信息，所以相比非盲去模糊任務而言具有更高的病態性，解決起來會更加困難。近些年來隨著計算機技術的飛速發展，在盲去模糊方面的研究受到了廣泛的關注并取得了巨大的進展。例如Pan的團隊為提出了很多有效的盲去模糊算法，其中有基于圖像梯度與亮度先驗的盲去模糊算法[1]、基于暗通道先驗的圖像盲去模糊算法[2]、基于低秩先驗的盲去模糊算法[3]與對于人臉與文本圖像的盲去模糊算法[4]都取得了良好的成效。同時隨著深度學習的火爆，也出現了很多基于神經網絡的去模糊算法研究[5-11],也取得了很不錯的效果。

本文針對空間移不變盲去卷積，提出了基于卷積譜特性[12]與L0正則化先驗的盲去卷積算法，在保持L0正則化對文本去模糊任務的優秀性能的同時，增強了對自然圖像去模糊的能力，取得了有競爭力的效果。

1 本文算法及思路

一般情況下，圖像模糊中的運動模糊和聚焦模糊比較容易通過卷積建模，如式(1)所示

B=I*K+N

(1)

其中，B表示模糊圖像，I表示清晰圖像，K表示模糊核，N表示圖像噪聲，*代表卷積操作。正如引言中所提到的，模糊圖像可以理解成清晰圖像與模糊核卷積在加上隨機噪聲生成的。在不考慮噪聲情況下解決這個問題最直接的方法是同時尋找潛在的清晰圖像I與模糊核K，于是問題轉換成如式(2)

(2)

(3)

其中，α和β是兩個大于零的參數。

圖1為模糊圖像與其對應的清晰圖像。

圖1 模糊圖像與其對應清晰圖像

為解決式(3)的問題，可以將式(3)拆分成如式(4)、式(5)兩個子問題進行求解

(4)

(5)

這兩個子問題的具體解決細節將在下節詳細介紹。

1.1 固定K求I

在文本圖像去模糊任務中，通過觀察發現文本字符與背景區域在沒有模糊的清晰圖像中通常具有近似一致的亮度值。如圖2(a)為清晰文本圖像，圖2(b)為其模糊版本。通過圖2(c)可以發現，清晰圖像的像素值分布集中在兩個峰值0和255上，也就是說如果單一考慮零峰值，文本圖像的像素值是非常稀疏的。而對于一張模糊文本圖像而言，如圖2(d)所示，可以發現它像素強度的分布相比于清晰圖像更加稠密。對文本圖像而言，這一性質是通用的，于是我們給出對于清晰圖像I的第一個約束，如式(6)所示

(6)

(7)

于是我們結合以上兩種約束，給出完整的L0正則先驗，如式(8)所示

(8)

其中，υ為一個權重。由半二次分裂L0極小化法，可以將此問題轉化為如式(9)的問題

(9)

(10)

其中，F(·)和F-1(·)分別表示快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)和快速傅里葉反變換(inverse FFT)，F(·)*表示傅里葉變換的復共軛矩陣，°表示矩陣對應元素相乘(element-wise multiplication)

(11)

(12)

圖2 清晰、模糊圖像像素與橫向梯度對比

以上就是解決子問題(4)的算法流程，實驗結果表明，使用L0正則方法已經可以很好完成文本圖像去模糊任務，但在大部分自然圖像去模糊任務中取得的成果卻差強人意。

1.2 固定I求K

為了在保持文本去模糊高效的同時增強自然圖像去模糊的能力，我們再次引入基于卷積譜特性的先驗對模糊核K進行約束。在介紹本節整體算法之前，首先給出卷積矩陣、卷積特征值和卷積特征向量的定義。如式(13)所示

vec(B*K)=C(B)vec(K)

(13)

其中，vec(·)代表將矩陣向量化操作，C(·)代表卷積矩陣，卷積矩陣具有將卷積運算轉換為矩陣相乘運算的作用，卷積特征值和卷積特征向量分別對應C(B)TC(B)(設其規模為m×m)的奇異值和右奇異向量。

如圖3所示，圖3中兩段線條分別對應圖2(a)與圖2(d)的卷積特征值自然對數值的大小，其中上側線條對應清晰圖像的卷積特征值，下側線條對應模糊圖像的卷積特征值?？梢园l現每個卷積特征值在清晰圖像中的自然對數值明顯大于其對應在模糊圖像中的自然對數值，基于此性質我們給出關于K的目標函數如式(14)所示

(14)

圖3 清晰、模糊圖像卷積特征值自然對數對比

其中，gi(·)代表矩陣的卷積特征向量，σi(·)代表矩陣的卷積特征值。容易發現這可以轉化成g(K)=(vec(K))TH(vec(K))的問題，其中H為Hessian矩陣，求法如式(15)所示

(15)

結合式(15)可以看出，求解子問題(5)本質上是求解一個二次規劃問題，在matlab中可以直接運用quadprog函數對此問題進行求解。

1.3 算法總結

為了通過唯一的輸入模糊圖像B求解清晰圖像I與模糊核K，本文提出了對目標函數(3)進行求解的算法，首先運用1.2中交替極小化的算法求解第一個子問題(4)，再運用1.3中求解二次規劃的算法解決第二個子問題(5)，交替迭代，當整體算法收斂時即可得到清晰圖像I與模糊核K,具體實驗結果會在下一章節展示。

2 實驗結果與分析

本文的實驗分為文本去模糊與自然圖像去模糊兩個部分，采用的圖片大小為300*300，采用的模糊核大小為15*15。本文采用PSNR(峰值信噪比)與SSIM(結構相似度)作為評價指標分，算法實驗環境為Intel酷睿i7-6700CPU，16 G內存的戴爾臺式電腦，使用MATLAB R2016a平臺對算法進行了編程實現。由于篇幅限制，對比實驗的可視化結果將選取其中效果最優的兩組方法展示出來，完整的對比實驗結果將在后文以表格形式給出。

2.1 文本圖像去模糊部分實驗結果可視化

如圖4，圖5所示，本文分別與Pan團隊提出的盲去模糊算法[1,3]，Liu提出的算法[12]，以及Jia提出的算法[13]進行了實驗對比，其中圖4為文本圖像去模糊部分可視化結果，圖5為自然圖像去模糊部分可視化結果。

如圖4所示，在前3組對比實驗中，我們對同一張文本圖像的3種模糊版本進行了實驗對比，在最后一組實驗中，我們選擇了另外的文體模糊圖像進行了實驗對比。在可視化結果中，我們給出了模糊圖片，4種對比方法中效果最好的兩組和運用本文算法得出的結果?？梢园l現，本文模型取得了最好的結果。

2.2 自然圖像去模糊部分實驗結果可視化

如圖5所示，展示了3組自然圖像去模糊對比實驗，引入卷積譜特征先驗的本文算法模型取得了最優的效果。

2.3 實驗總結

為了驗證算法的有效性，本文實驗不但分別對比了文體模糊圖像和自然模糊圖像去模糊的效果，而且在選取圖像上也選擇了低光照、復雜邊緣等不同類型的圖像進行了模擬。除了以上的部分可視化結果外，我們將通過峰值信噪比和結構相似度兩項評價指標對實驗效果進行評估，完整結果通過如表1，表2展示出來，表格中數據結果對應上文7張圖片。

圖4 文本圖像去模糊對比實驗的可視化結果

在展示表格之前首先簡單介紹一下兩項評價指標的含義。其中峰值信噪比(PSNR)是評價圖像的客觀標準之一，一般是用于最大值信號和背景噪音之間的一個工程項目。其數學上的求解如式(16)所示

(16)

結構相似性(SSIM)是評價圖像的另一個常用標準，是一種衡量兩幅圖像相似程度的指標。其數學上的求解如式(17)所示

(17)

圖5 自然圖像去模糊對比實驗結果

3 結束語

本文提出了基于卷積譜特性與L0正則先驗的圖像盲去模糊算法。實驗結果表明，本文模型可以在50到200次迭代之內收斂，速度優于大部分去模糊算法。相較于以往單一的L0正則先驗，本文在其中加入了卷積譜特征先驗對模糊核進行約束，使得算法保持了文本圖像去模糊優越特性的同時增強了自然圖像去模糊的能力，在兩種去模糊任務中都取得了良好的效果，所以可以投入更廣泛的應用。

表1 PSNR(峰值信噪比)實驗結果對比

表2 SSIM(結構相似度)實驗結果對比