巧解四邊形的面積題

文 秦建敏

不同的四邊形面積有不同的求法。面對不同形狀的四邊形，我們可以巧妙地采取不同的方法來求它的面積。

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，DC=13，AD⊥AB，求四邊形ABCD的面積。

【分析】看到四邊形中含有一個直角，自然會聯想到直角三角形面積的計算，故連接DB很容易計算出△ADB的面積。此時我們發現原四邊形被分割為兩個三角形，其中△ADB的面積容易求出，只要想辦法求出△BDC的面積即可。仔細觀察條件，易得△BDC的三邊長，故而想到用勾股定理的逆定理判定△BDC為直角三角形，進而問題得到解決。

解：∵AD⊥AB，AD=3，AB=4，

∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BDC=6+30=36。

例2如圖2，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AD=3，BC=2，求四邊形ABCD的面積。

【分析】當我們發現所給圖形含有直角的時候，往往會想到用勾股定理，此時我們可以用分割的方法或者補圖的方法產生直角三角形。連接AC，將四邊形分割成兩個直角三角形后，我們發現60°角這個條件被破壞了。于是，我們可嘗試采取補圖的方法，構造直角三角形來解決本題。

解：延長AB、DC交于點E。

∵∠D=90°，∠A=60°，

∴∠E=30°。

∵AD=3，BC=2，∠ABC=∠D=90°，

∴四邊形ABCD的面積=S△ADE-S△BCE=。

例3如圖3，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OC=4，拋物線 y=x2-2x-3經過A、B兩點，拋物線的頂點為D。點E（在AB上，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積。

【分析】面對函數中出現的四邊形，我們往往用割補法來求它的面積。在割補的時候，我們常選擇平行于坐標軸的線，因為這樣可借助點的坐標來求相關線段的長度。

解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴D的坐標為（1，-4），

當x=4時，y=5，

∴B的坐標為（4，5），

同學們，當面對不同的四邊形的時候，我們可以從不同的角度解剖它。既可以用公式直接求，也可以利用四邊形本身的特征將四邊形進行分割、補全，進而轉化為三角形進行計算。