對于2020年北京市適應性考試圓錐曲線題的思考

楊雪芹 鄭拴平

解析幾何是運用代數方法研究幾何問題或用幾何方法研究代數問題的一門學科．解析幾何知識與其他知識聯系緊密,綜合性強,是選拔人才的必考內容,能重點考查學生知識儲備中的基礎性、通用性的知識．著名的數學教師孫維剛曾表示學數學應該“八方聯系,渾然一體,漫江碧透,魚翔淺底”． 這是一種體現數學美感的意境,更是彰顯學生能力的一個層面．本文對2020年北京市適應性考試圓錐曲線試題進行探究,供讀者參考．

1 問題呈現

(1)求橢圓C的方程;

2 解法探究

(2)證法1 (直線方程角度代數法)

圖1

證法2 (點的坐標角度代數法)

證法3 (參數方程角度換元法)

所以點D在x軸上.

證法4 (壓縮變形角度幾何法)

如圖2所示，設直線BD交圓O于點P,連接AM,AP. 在四邊形AMBP中,∠MBD=90°,∠AMB=∠APB=90°,所以四邊形AMBP是矩形,則BP=AM. 又因為AM=AN,所以BP=AN.

圖2

根據相交弦定理得DP·DB=DN·DA,即(DB-BP)·DB=(DA-AN)·DA.所以DB=DA,因此點D在線段AB的垂直平分線上,即點D在x′軸上.所以,在原坐標系下,點D在x軸上.

3 推廣與變式

有興趣的讀者可對上述幾個變式進行推導,限于篇幅,此處不再贅述．

2020年是北京市新一輪高考改革的起始年,試題既要平穩過渡,又要呈現出“一核四層四翼”的功能．從本文可以看出,試題設計明確、簡潔,解答角度靈活,有利于人才的選拔及教學方向的引導,能培養學生提出問題、分析問題、解決問題等能力．