函數零點問題考查方式及處理策略

陳永志

零點是函數的重要性質,也是高考常考視角．在高考命題中既有客觀題也有解答題,解答題主要是與導數的應用進行綜合．本文對常考視角及解題策略進行歸納總結,并舉例說明,供同學們復習時參考．

1 判斷函數零點的個數

對于基礎題型,可利用函數的零點的個數，即函數圖象與x軸交點的個數來判斷,或者將所給函數分離為兩個基本函數,利用兩函數圖象交點個數來判斷．對于二次函數可利用判別式法來判斷．對于較復雜的問題,可利用導數法判斷函數單調區間，求極值、最值,結合零點的存在定理來判斷．

(1)判斷f(x)的奇偶性并證明;

(2)求M={x|f(x)=0}中元素的個數．

(2)求集合M中元素的個數,即為判斷函數f(x)零點的個數．因為函數中含有參數,故對參數的可能取值進行分類討論．

又因為f(x)是偶函數,所以集合M中有2個元素．

2 求函數的零點

高考對此類問題的考查,主要體現在函數與導數綜合的問題中,即求導函數的零點．常規題型可通過因式分解法解方程來求解;對于超越方程可利用賦值法得出零點,再利用零點的存在定理判斷零點的唯一性．

(1)求y=f(x)的圖象在點(π,f(π))處的切線方程;

(2)令h(x)=g(x)-af(x),其中a∈R,求h(x)的單調性及極值．

(2)由已知可得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),求導得

h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+
ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=
2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx)．

設t(x)=x-sinx,則t′(x)=1-cosx≥0,故t(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.又t(0)=0,故x>0時,x-sinx>0;x<0時,x-sinx<0．

函數y=ex-a的零點問題,可針對a的不同取值進行討論．

當a>0時,由ex-a=0,得x=lna．

若00,h(x)單調遞增;在區間(lna,0)內,h′(x)<0,h(x)單調遞減,所以h極大值(x)=h(lna),h極小值(x)=h(0)．

若a=1,則lna=0,在(-∞,+∞)內,h′(x)≥0,h(x)單調遞增,無極值．

若a>1,則lna>0,在區間(-∞,0),(lna,+∞)內,h′(x)>0,h(x)單調遞增;在區間(0,lna)內,h′(x)<0,h(x)單調遞減,所以h極大值(x)=h(0),h極小值(x)=h(lna)．

3 判斷零點存在的區間

利用二分法判斷,即若函數f(x)滿足f(a)·f(b)<0,則f(x)在區間(a,b)內存在零點,若進一步可判斷f(x)在(a,b)內單調,可得零點的唯一性．對于零點范圍未給出的問題,可結合函數特征,選取特殊點進行驗證．

A. (-1,-log32) B. (0, log32)

C. (log32, 1) D.(1, log34)

4 給出零點個數求參數范圍

此類問題常采用參數分離后利用數形結合法求解或分離參數后轉化為求函數的值域進行判斷．

A. [-1, 0) B. [0,+∞)

C. [-1,+∞) D. [1,+∞)

圖1

綜上,在函數性質的復習中,同學們要善于梳理高考常考題型,歸納總結常用解題策略,方能以不變應萬變．