基于極限平衡法的砂土中條形基礎(chǔ)極限承載力計(jì)算方法

趙志峰，馬青，方舟

(南京林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 210037)

天然地基極限承載力作為巖土力學(xué)中的基本問(wèn)題，受到了學(xué)術(shù)界和工程界的重視。Terzaghi、Meyerhof等采用不同的方法，推導(dǎo)出了地基極限承載力的計(jì)算公式并給出了相應(yīng)的承載力系數(shù)。

目前常用的分析方法有：塑性極限分析法、滑移線法和極限平衡法[1]。這3種承載力理論計(jì)算方法各有特點(diǎn)：極限分析法理論上比較嚴(yán)密、推導(dǎo)相對(duì)比較復(fù)雜；滑移線理論能求得無(wú)重土極限承載力精確解[2]，但對(duì)有重土需要結(jié)合其他方法求解；極限平衡法由于推導(dǎo)簡(jiǎn)便而得到了普遍應(yīng)用。以Terzaghi為代表的學(xué)者分析了基底以上堆載q、基礎(chǔ)寬度b和黏聚力c對(duì)承載力的影響，給出了被廣泛應(yīng)用的地基承載力計(jì)算公式

pu=cNc+qNq+0.5γbNγ

(1)

式中：承載力系數(shù)Nc、Nq、Nγ均為內(nèi)摩擦角的函數(shù)。

對(duì)于砂土，黏聚力為零，式(1)改寫為

pu=qNq+0.5γbNγ

(2)

由于理論推導(dǎo)中會(huì)采取不同的簡(jiǎn)化，因此，各學(xué)者得到的承載力系數(shù)表達(dá)式有所不同。文獻(xiàn)[3]中列出了當(dāng)基底完全粗糙時(shí)Terzaghi理論的承載力系數(shù)[3]

(3a)

(3b)

式中：Kp為被動(dòng)土壓力系數(shù)。Terzaghi和Peck建議由半經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算Nγ

Nγ=1.8(Nq-1)tanφ

(4)

Lyamin等[4]總結(jié)了Hansen、Bolton等學(xué)者關(guān)于承載力系數(shù)的研究成果。承載力系數(shù)Nq可表示為

Nq=eπtan φ·tan2(π/4+φ/2)

(5)

對(duì)于承載力系數(shù)Nγ，由于很難給出嚴(yán)密的推導(dǎo)，所以，不同學(xué)者給出了各自的經(jīng)驗(yàn)公式，這給使用者帶來(lái)了困難[5-6]。其中，比較有代表性的有

Hansen等提出的Nγ=1.5(Nq-1)tanφ

(6a)

Vesic[7]提出的Nγ=2(Nq+1)tanφ

(6b)

Lyamin等[4]提出的Nγ=(Nq-1)tan(1.32φ)

(6c)

需要指出的是，Terzaghi采用疊加方法計(jì)算承載力系數(shù)Nc、Nq、Nγ，由于計(jì)算時(shí)采用不同破壞模式的疊加，因此，推導(dǎo)出的承載力與真實(shí)值存在差異[8-9]。模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)也表明，采用某些經(jīng)典模型計(jì)算出的極限承載力偏于保守。

隨著有限元等數(shù)值計(jì)算方法的普及，很多學(xué)者傾向于采用數(shù)值模擬方法研究承載力問(wèn)題。數(shù)值模擬方法假定少、適用范圍廣，但計(jì)算結(jié)果缺少普遍性，可以與理論分析法相互補(bǔ)充。目前，仍有學(xué)者通過(guò)理論分析來(lái)研究地基承載力，研究主要集中在：采用非疊加方法計(jì)算承載力系數(shù)；推導(dǎo)不同形狀基礎(chǔ)的地基承載力解析解；計(jì)算非均質(zhì)地基條件下的極限承載力。

筆者采取極限平衡法在同一破壞模式下研究砂土上條形基礎(chǔ)的承載力，推導(dǎo)考慮埋深和土體重度的極限承載力解析解，提出相互獨(dú)立的承載力系數(shù)計(jì)算公式，并將推導(dǎo)結(jié)果同經(jīng)典解答以及文獻(xiàn)中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證公式的合理性和適用性。

1 公式推導(dǎo)

推導(dǎo)中采用經(jīng)典承載力理論的基本假定：條形基礎(chǔ)基底粗糙，土體視為理想剛塑性模型且服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，在極限荷載下土體發(fā)生整體剪切破壞。

設(shè)基礎(chǔ)寬度為b、埋深為d、基底以上由于土重產(chǎn)生的堆載為γd，考慮對(duì)稱性，取一半進(jìn)行分析，分析簡(jiǎn)圖如圖1所示。根據(jù)各學(xué)者普遍認(rèn)可的破壞模式，在基底最大壓力pu作用下，土中破壞面分為3個(gè)區(qū)：三角形ABC為彈性核，水平夾角為θ1；ACD為過(guò)渡區(qū)、邊界CD為對(duì)數(shù)螺旋線，中心角為θ2；ADG為被動(dòng)區(qū)，AD與水平面的夾角為45°-φ/2。

當(dāng)基底壓力增大時(shí)，破壞面逐漸向地表發(fā)展。此時(shí)，土體自重應(yīng)力σcz會(huì)在AD面上產(chǎn)生正應(yīng)力σn和剪應(yīng)力τn。CD面上作用著抗剪強(qiáng)度τz，AC面上也作用著正應(yīng)力和剪應(yīng)力。以ACD為研究對(duì)象，當(dāng)土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，各力對(duì)A點(diǎn)的力矩應(yīng)平衡。由于作用在AC和AD面上的剪應(yīng)力對(duì)A點(diǎn)力矩為零，所以只需考慮兩個(gè)面上的正應(yīng)力產(chǎn)生的力矩。為了便于分析，將AD面上的正應(yīng)力進(jìn)行分解。

圖1 極限承載力分析簡(jiǎn)圖Fig.1 Analysis sketch of bearing capacity

如圖2所示，作用在AD面上的正應(yīng)力分成兩種：一種是由于基底以上的堆載γd產(chǎn)生的，沿AD面保持不變；一種是由在AD高度范圍內(nèi)的土體自重產(chǎn)生的，沿AD呈三角形分布。

圖2 AD面上的正應(yīng)力Fig.2 Normal stress on AD plane

根據(jù)幾何關(guān)系可得到

(7)

(8)

σn1對(duì)A點(diǎn)產(chǎn)生的順時(shí)針力矩M1為

(9a)

σn2對(duì)A點(diǎn)產(chǎn)生的順時(shí)針力矩M2為

(9b)

CD面上的抗剪強(qiáng)度也會(huì)對(duì)A點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩。由于在θ2范圍內(nèi)的半徑是變化的，方程為γ=γ0eθ2tan φ,γ0=AC。而在CD面上的砂土抗剪強(qiáng)度與該點(diǎn)所受正應(yīng)力有關(guān)，為便于推導(dǎo)假設(shè)在CD面上的抗剪強(qiáng)度τz為定值。根據(jù)文獻(xiàn)[3]列出的Meyerhof的推導(dǎo)思路，可得到其對(duì)A點(diǎn)的力矩M3為

(9c)

作用在AC面上的正應(yīng)力會(huì)對(duì)A點(diǎn)產(chǎn)生逆時(shí)針的力矩。與AD面相似，對(duì)AC面上正應(yīng)力進(jìn)行分解如圖3。

圖3 AC面上的正應(yīng)力Fig.3 Normal stress on AC plane

兩種應(yīng)力對(duì)A點(diǎn)的力矩分別為

(9d)

(9e)

根據(jù)A點(diǎn)的力矩平衡，可得到

(10)

式中:AD=γ0eθ2tan φ，式(10)寫為

(11)

(12)

將式(7)、式(8)代入式(12)，并化簡(jiǎn)得

(13)

(14)

將式(14)代入式(13)，得到

(15)

圖4 ABC受力分析Fig.4 Stress analysis of soil body ABC

(16)

將式(15)代入式(16)，化簡(jiǎn)后得到

pu=qNq+0.5γbNγ

(17)

其中

(1+tanφtanθ1)

(18)

(19)

式(18)、式(19)中除了砂土的內(nèi)摩擦角外，涉及的變量只有兩個(gè)：θ1、θ2。根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，θ2=135°-θ1+φ/2。而ABC的夾角θ1，學(xué)者們有不同的取值，根據(jù)Terzaghi和數(shù)值模擬的研究，θ1的大小與土的內(nèi)摩擦角比較接近，故取θ1=φ。

2 承載力系數(shù)的比較

通過(guò)以上推導(dǎo)得到了作用下砂土上的條形基礎(chǔ)承載力系數(shù)表達(dá)式。已有的承載力理論大多是先推導(dǎo)出Nq的表達(dá)式，再通過(guò)經(jīng)驗(yàn)法得到Nγ與Nq的關(guān)系(如式(4)、式(6a)、式(6b)、式(6c))。本文直接推導(dǎo)出兩個(gè)系數(shù)的計(jì)算公式，方便使用。

表1為筆者公式與目前使用較多的經(jīng)典理論計(jì)算出的承載力系數(shù)Nq對(duì)比。已有理論中，計(jì)算公式主要有兩類：一是Terzaghi使用的式(3a)，一是Hansen、Vesic等眾多學(xué)者使用的式(5)。當(dāng)內(nèi)摩擦角小于24°時(shí)，式(18)計(jì)算出的Nq小于Terzaghi和Hansen的計(jì)算值；當(dāng)內(nèi)摩擦角不小于24°時(shí)，式(18)計(jì)算出的Nq介于Terzaghi和Hansen二者之間。

表1 與各學(xué)者承載力系數(shù)Nq對(duì)比Table 1 Comparison of bearing capacity factor Nq between common used theory and this paper

表2為筆者公式與目前使用較多的理論計(jì)算出的承載力系數(shù)Nγ對(duì)比。列舉的4種理論中，Terzaghi(式(4))、Vesic(式(6b))計(jì)算出的Nγ相對(duì)較高，而Hansen(式(6a))和Salgado(式(6c))計(jì)算出的Nγ相對(duì)較低。當(dāng)內(nèi)摩擦角小于12°時(shí)，Terzaghi、Hansen、Salgado承載力理論得到的均小于1，式(19)計(jì)算出的為1.49，略低于Vesic理論得到的1.69。隨著內(nèi)摩擦角的增大，式(19)計(jì)算出的Nγ基本介于Terzaghi和Vesic的解答之間，大于Hansen和Salgado的解答。

表2 與各學(xué)者承載力系數(shù)Nγ對(duì)比

從承載力系數(shù)的推導(dǎo)和數(shù)值可以看出，內(nèi)摩擦角φ直接決定著承載力系數(shù)的高低和砂土承載力的大小。尤其是當(dāng)內(nèi)摩擦角較大時(shí)，這一影響體現(xiàn)得更為明顯。因此，在計(jì)算密砂的承載力系數(shù)時(shí)，對(duì)內(nèi)摩擦角的取值需要慎重。有學(xué)者指出，在非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下，砂土的剪脹角ψ會(huì)影響速度矢量的方向[10-11]。此時(shí)應(yīng)該用式(20)計(jì)算的等效內(nèi)摩擦角φ*代替內(nèi)摩擦角φ計(jì)算承載力系數(shù)[11]。另外，基礎(chǔ)寬度b對(duì)承載力計(jì)算的準(zhǔn)確性也存在一定影響。基礎(chǔ)寬度增大雖然會(huì)使承載力提高，但很多研究也表明存在界限，所以，在地基基礎(chǔ)規(guī)范的承載力修正中，對(duì)寬度的取值進(jìn)行了限制。因此，使用本文公式計(jì)算承載力時(shí)，砂土內(nèi)摩擦角取值盡量不超過(guò)44°，條形基礎(chǔ)寬度不超過(guò)6 m。

(20)

3 計(jì)算結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證公式的合理性，將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行兩種對(duì)比驗(yàn)證。

3.1 與極限分析法計(jì)算的Nγ對(duì)比

由于系數(shù)Nγ多是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，因此，各承載力理論中Nγ差別較大。極限分析法理論比較復(fù)雜、推導(dǎo)嚴(yán)密，可得到極限荷載[12]，因此，將筆者計(jì)算的Nγ與極限分析法的計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比。參考在地基承載力研究中被廣泛引用的Michalowski和Soubra的極限分析法計(jì)算結(jié)果。Michalowski比較了已有的承載力理論，并給出了基底粗糙時(shí)Nγ的計(jì)算公式[11]

Nγ=e0.66-5.11tan φtanφ

(21)

Soubra給出了承載力的推導(dǎo)思路，由于過(guò)程復(fù)雜，所以，給出了不同內(nèi)摩擦角時(shí)的Nγ值[13]。選取了內(nèi)摩擦角為15°、25°、35°的3種情況進(jìn)行對(duì)比。如表3所示，不同摩擦角時(shí)本文公式的計(jì)算結(jié)果同Michalowski和Soubra的解答都比較接近。幾種經(jīng)典理論中，Vesic解在內(nèi)摩擦角為35°時(shí)的解答與極限分析法的解答比較接近，但在15°和25°時(shí)相差較大。

表3 得到的系數(shù)Nγ對(duì)比Table 3 Comparison of bearing capacity factor Nγ between classical theory and this paper

3.2 與試驗(yàn)得到的pu進(jìn)行對(duì)比

將公式解與已有研究中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在砂土承載力方面的研究主要集中在理論和數(shù)值分析上，關(guān)于砂土上淺基礎(chǔ)極限承載力的試驗(yàn)成果并不多。Siddiquee等[14-15]曾在砂土上進(jìn)行過(guò)一系列基礎(chǔ)承載力試驗(yàn)，因此，從中選取條形基礎(chǔ)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

試驗(yàn)1(模型試驗(yàn))[14]：條形基礎(chǔ)寬度0.5 m，基礎(chǔ)置于砂土表面、埋深為0。

試驗(yàn)2(離心機(jī)試驗(yàn))[15]：等效條形基礎(chǔ)寬度1 m，基礎(chǔ)的埋深與基礎(chǔ)寬度的比值分別為：0.50、0.75、1.00。

兩種試驗(yàn)采用的都是相同的石英砂(Toyoura sand)。該砂的干重度為15.8 kN/m3，考慮應(yīng)力水平后的等效內(nèi)摩擦角為40.1°。

試驗(yàn)1得到的極限承載力pu約為470 kPa。使用本文公式計(jì)算出的承載力為461 kPa，Terzaghi理論解為488 kPa,Vesic解為440 kPa,Hansen解為320 kPa、Salgado解為335 kPa。本文公式的解答與試驗(yàn)值更接近。

試驗(yàn)2通過(guò)離心機(jī)試驗(yàn)得到了條形基礎(chǔ)不同埋深時(shí)的極限承載力[13]。通過(guò)圖5的計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比可以看出，幾種埋深下的Terzaghi解都大于試驗(yàn)值，而Hansen解和Salgado解都明顯小于試驗(yàn)值，這與之前承載力系數(shù)的規(guī)律一致。Vesic解和本文公式解與試驗(yàn)值比較接近，相比之下，當(dāng)d/b=0.25和0.5時(shí)，本文公式的解答與試驗(yàn)值相差很小；當(dāng)d/b=1.0時(shí)，Vesic解更接近。從不同埋深的試驗(yàn)數(shù)值來(lái)看，d/b從0.75增加至1.0時(shí)，承載力的增幅明顯小于d/b從0.5增加至0.75時(shí)，這可能與試驗(yàn)誤差等因素有關(guān)。

圖5 承載力計(jì)算解與試驗(yàn)解的對(duì)比Fig.5 Comparison of bearing capacity between calculated values and test values

將幾種理論解與試驗(yàn)值的平均誤差進(jìn)行計(jì)算。使用本文公式計(jì)算值與試驗(yàn)值的誤差為2.6%，其余理論的誤差分別為：Vesic解為7.4%，Terzaghi解為9.5%，Hansen解為21%，Salgado解為19%。從結(jié)果對(duì)比可以看出，本文公式可以用來(lái)計(jì)算砂土上條形基礎(chǔ)的極限承載力且誤差較小。

4 結(jié)論

1)根據(jù)經(jīng)典承載力理論，對(duì)滑動(dòng)區(qū)土體的受力進(jìn)行分析，推導(dǎo)出基于極限平衡法的承載力解析解，并整理出承載力系數(shù)Nq和Nγ的表達(dá)式。

2)使用本文得到的承載力系數(shù)計(jì)算公式，給出了砂土內(nèi)摩擦角2°～44°時(shí)的承載力系數(shù)取值，并與常用的承載力系數(shù)取值方法進(jìn)行了比較。

3)本文得到的承載力系數(shù)計(jì)算公式相互獨(dú)立、變量較少，使用起來(lái)比較方便。通過(guò)與已有試驗(yàn)研究結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文公式計(jì)算結(jié)果的合理性。