基于計算機仿真技術的混合介質(zhì)電特性研究

郭 晨，馬念茹

(長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064)

0 引 言

目前計算機仿真技術已經(jīng)廣泛用于生活的各個方面，尤其是在科研方面更是發(fā)揮了極大的優(yōu)勢。通過對實際問題建立系統(tǒng)的模型，通過高效的數(shù)值計算工具和算法對模型進行計算，可以定量分析并準確快速解決工程與實際生活中的復雜問題。高效、準確、受環(huán)境條件的約束較少、設備簡單的優(yōu)點使得計算機仿真技術已經(jīng)成為分析設計實際問題的主流手段。

用計算機仿真技術建模計算混合介質(zhì)等效介電常數(shù)來研究混合介質(zhì)電特性[1-4]時，前人大多只對混合介質(zhì)的幾何結(jié)構(gòu)、各組分的比例進行建模[5-6]。研究混合介質(zhì)的幾何結(jié)構(gòu)和組分的不同比例對等效介電常數(shù)的影響，混合公式與理論模型很少考慮各相成分幾何分布對混合介質(zhì)電特性的影響。而幾何分布對混合介質(zhì)電特性至關重要。文中在用計算機仿真技術建模時考慮了各相成分的不同幾何分布，對不同幾何分布進行仿真建模。并根據(jù)仿真計算的結(jié)果對混合公式進行修正。在混合公式里面加入幾何修正因子。通過MATLAB編程將幾何修正因子確定為孔隙度的六次多項式。將修正后的理論公式與計算機仿真結(jié)果進行對比，修正后的理論公式在不同的幾何分布模型上都適用，為儲層巖石物理特性分析及不同組分含量的預測提供理論依據(jù)與仿真基礎。

1 仿真技術

1.1 COMSOL Multiphysics

在仿真研究中，文中使用COMSOL Multiphysics高級數(shù)值仿真軟件來研究三相混合介質(zhì)的有效電性質(zhì)[7-9]。COMSOL Multiphysics采用有限元算法，通過求解偏微分方程來仿真物理現(xiàn)象。

選取物理場為靜電場，對三維空間進行建模[10-11]，電壓設置100 V，選取建模完成后為混合介質(zhì)添加材料，混合介質(zhì)介電常數(shù)分布設置為固體顆粒(～4)，潤濕相(～80)，非潤濕相(～2)。網(wǎng)格選取自由剖分四面體，并對網(wǎng)格參數(shù)重新進行設置，在穩(wěn)態(tài)下進行研究。在求解微分方程時，選擇電場通量與電場強度，COMSOL Multiphysics直接計算出結(jié)果。作為一款強大的計算機仿真軟件，COMSOL在各領域的計算與模擬中都表現(xiàn)出極大的優(yōu)勢。具體仿真流程如圖1所示。

圖1 COMSOL Multiphysics具體仿真過程

1.2 最小二乘法曲線擬合

最小二乘法最初是由高斯提出的，為解決數(shù)據(jù)最佳匹配函數(shù)問題。最小二乘法原理即確定使每次測量誤差的平方和最小的被測量真值的最佳值。具體原理如下：給定一組測量數(shù)據(jù)集合{(xi,yi),i=1,2,…,n}，設該組數(shù)據(jù)集擬合函數(shù)為φ(x)。擬合函數(shù)應盡可能多地反映出絕大部分數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，但不要求反映全部數(shù)據(jù)。因此擬合函數(shù)在xi處與實際測量值存在一定誤差，誤差用Ei表示。

Ei=φ(xi)-yi,i=1,2,…,n

(1)

為了使擬合曲線更好地滿足數(shù)據(jù)的變化規(guī)律E2最小。

E2=∑(φ(xi)-yi)2

(2)

通過MATLAB編程利用最小二乘法[12-13]，使理論公式與仿真數(shù)值解平方差最小，并確定修正幾何因子關于孔隙度的函數(shù)，通過其他分布驗證幾何修正因子的正確性。

2 幾何分布模型設計

仿真建模了兩種混合介質(zhì)結(jié)構(gòu)：(1)水(W)包裹著石油(N)，固體顆粒(S)分布在周圍(SWN模型)；(2)水包裹著巖石顆粒，石油分布在周圍(NWS模型)。分布模型如圖2所示。最外面的骨架記為m,外面的復合球記為s,最里面的球記為c。幾何分布模型[14]主要設置了四種：簡單分布(SC)、體心分布(BC)、面心分布(FC)、隨機分布(RD)。

圖2 分布模型

3 修正公式

3.1 幾何修正因子

仿真計算結(jié)束后，得到COMSOL Multiphysics 的仿真結(jié)果，并與經(jīng)典混合公式Lorentz-Lorenz-Clausius-Mossitt(LLCM)公式做對比。發(fā)現(xiàn)在孔隙度增大到一定程度后，解析公式與仿真數(shù)值結(jié)果不吻合，由此提出對解析公式進行修正。圖3為COMSOL數(shù)值解(孔隙度從0.03～0.96)，未修正LLCM解析解，修正后LLCM公式解析解的對比情況。

圖3 LLCM公式、修正后的LLCM公式的計算結(jié)果及數(shù)值解對比

Sihvola[15]曾提出可以給LLCM公式添加修正參數(shù)μ。文中根據(jù)混合介質(zhì)的不同分布確定修正參數(shù)μ，把μ稱為幾何修正因子。

3.2 最小二乘法修正公式

由于SC分布孔隙度變化范圍大，在MATLAB編程利用SC分布的仿真數(shù)據(jù)集(等效介電常數(shù)，孔隙度)。設置幾何修正因子μ變化范圍0.01～0.1，將SC分布的仿真結(jié)果帶入到修正的LLCM公式。根據(jù)最小二乘法原則即修正的LLCM公式計算結(jié)果與仿真結(jié)果平方差最小原則，選取出最優(yōu)的幾何修正因子μ。利用曲線擬合將幾何修正因子μ確定為關于孔隙度的六次多項式。通過其他分布驗證修正公式的正確性。修正后的LLCM公式如下：

(3)

(4)

以NWS結(jié)構(gòu)的SC分布為例，圖4為SWN與NWS兩種結(jié)構(gòu)下μ2與孔隙度的關系。

圖4 SC分布下，SWN結(jié)構(gòu)與NWS結(jié)構(gòu)μ2與孔隙度的關系

3.3 仿真數(shù)值解與修正后公式對比

圖5為SWN結(jié)構(gòu)和NWS結(jié)構(gòu)SC、BC、FC、Rand-om四種分布下修正后的LLCM公式與仿真數(shù)值解對比。

圖5 SWN結(jié)構(gòu)和NWS結(jié)構(gòu)SC、BC、FC、Random四種分布下修正后的LLCM公式與仿真數(shù)值解對比

4 結(jié)束語

利用計算機仿真的方法研究了各相幾何分布對混合介質(zhì)電特性的影響，構(gòu)建了四種幾何分布。通過COMSOL Multiphysics計算不同幾何分布下混合介質(zhì)等效介電常數(shù)。根據(jù)仿真計算結(jié)果和最小二乘法確定理論公式的幾何修正因子，對理論公式進行修正。結(jié)果驗證了修正方法的正確性。通過該仿真研究為混合介質(zhì)電特性預測奠定仿真基礎，修正后的理論公式可以直接用于計算不同幾何分布下混合介質(zhì)等效介電常數(shù)，為仿真計算結(jié)果提供充分的理論參照。