基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的四旋翼積分滑模反步控制

姚達(dá)琛，堵 威，唐 漾

(華東理工大學(xué) 化工過(guò)程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200237)

四旋翼無(wú)人機(jī)由于其高機(jī)動(dòng)性、懸停能力以及微型化等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于軍事偵察、災(zāi)后救援、地形繪制等場(chǎng)景，是目前熱門研究方向之一。無(wú)人機(jī)在飛行過(guò)程中會(huì)面臨多種擾動(dòng)，包括氣流擾動(dòng)、負(fù)載擾動(dòng)、傳感器誤差以及參數(shù)不確定等，這些擾動(dòng)對(duì)無(wú)人機(jī)的飛行會(huì)產(chǎn)生明顯的干擾。特別是在四旋翼無(wú)人機(jī)執(zhí)行高精度、快速反應(yīng)任務(wù)中，這些干擾會(huì)嚴(yán)重影響其飛行品質(zhì)。因此，設(shè)計(jì)一種良好的無(wú)人機(jī)抗干擾算法，對(duì)于提高無(wú)人機(jī)飛行品質(zhì)和擴(kuò)展無(wú)人機(jī)應(yīng)用范圍具有重要意義[1]。

針對(duì)無(wú)人機(jī)的擾動(dòng)與不確定性問(wèn)題，目前已經(jīng)有很多學(xué)者發(fā)表了相關(guān)抗干擾算法文獻(xiàn)，包括自適應(yīng)控制方法[2]、滑模控制方法[3]、H∞控制方法[4]、預(yù)測(cè)控制[5]、反步法(backstepping)控制[6]、魯棒控制[7]及基于觀測(cè)器[8]的控制方法等。其中，滑模控制方法具有在有限時(shí)間內(nèi)收斂至目標(biāo)值的能力，因此在多種控制問(wèn)題中表現(xiàn)出優(yōu)異的性能。為改善閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)干擾的不敏感性及魯棒性，一些學(xué)者提出了一種積分滑模控制器(integral sliding mode controller，ISMC)[9]方法。ISMC方法消除了滑模控制方法從初始狀態(tài)到達(dá)滑模面的過(guò)程，但其保留滑模控制所具有的優(yōu)點(diǎn)。由于四旋翼控制器是一個(gè)離散控制系統(tǒng)，滑模控制方法中的開(kāi)關(guān)控制會(huì)引起四旋翼的高頻抖振。為解決這一問(wèn)題，一種常用方法是使用連續(xù)控制項(xiàng)取代滑模控制中的非連續(xù)開(kāi)關(guān)控制項(xiàng)以減少抖振，但這種方法同時(shí)會(huì)降低控制器的控制品質(zhì)[10]。

四旋翼受到的干擾較為復(fù)雜，且機(jī)體的狀態(tài)信息如速度、角速度等難以精確測(cè)得[11]，通常需要設(shè)計(jì)多種不同的觀測(cè)器對(duì)不同的擾動(dòng)、狀態(tài)分別進(jìn)行估計(jì)，這增加了數(shù)學(xué)分析的難度與復(fù)雜度。在Han[12]提出的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer，ESO)中，多種擾動(dòng)被視為一體的總擾動(dòng)，觀測(cè)器直接對(duì)這一總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，因此只需要建立一個(gè)估計(jì)器即可完成對(duì)所有擾動(dòng)的估計(jì)，同時(shí)，ESO還可以對(duì)未知系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。這種方法不僅降低了觀測(cè)器構(gòu)建的難度，而且針對(duì)包含多種不同類型擾動(dòng)的系統(tǒng)具有很好的干擾估計(jì)能力。Gao[13]提出了ESO的參數(shù)整定方法——帶寬法，進(jìn)一步減少了觀測(cè)器在實(shí)際應(yīng)用中的困難，但該方法需要較高的觀測(cè)增益才能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確跟蹤擾動(dòng)值。在離散系統(tǒng)條件下，增益無(wú)法設(shè)置過(guò)高，使得ESO在擾動(dòng)變化過(guò)程中會(huì)存在一定誤差。

近年來(lái)，一些學(xué)者將滑模控制與干擾觀測(cè)器結(jié)合起來(lái)，提出一種新穎的控制方法，其基本思想是利用觀測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)，將干擾估計(jì)值抵消大部分干擾，提升滑模控制方法的控制品質(zhì)。Ginoya等[14]基于干擾觀測(cè)器，以一種特殊形式提出了針對(duì)帶有非匹配干擾的n階系統(tǒng)的滑模控制器，并提出了一種新穎的滑模面設(shè)計(jì)方法及觀測(cè)器構(gòu)造方法。針對(duì)帶有失配擾動(dòng)的n階線性系統(tǒng)，Zhang等[15]提出了一種DOB-ISMC(disturbance observer-based integral sliding-mode control)方法，并給出了相應(yīng)的控制增益設(shè)計(jì)方法以及一種干擾觀測(cè)器，該方法減少了ISMC的抖振問(wèn)題，同時(shí)減少了干擾觀測(cè)器的觀測(cè)誤差。但此類方法無(wú)法對(duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，在應(yīng)用時(shí)需要構(gòu)造額外的觀測(cè)器對(duì)未知狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)。

Yao等[16]提出了一種將ESO與ISMC結(jié)合的四旋翼控制方法，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法具有良好的控制性能。該方法利用對(duì)干擾的觀測(cè)信息，采取了H∞控制器作為干擾消除控制器，并未直接對(duì)干擾予以抵消，因此其消除干擾的速度較慢；同時(shí)該方法未對(duì)位置變化進(jìn)行考慮，不能對(duì)軌跡實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確、實(shí)時(shí)的跟蹤。

針對(duì)四旋翼在快速路徑跟蹤中遇到的實(shí)際問(wèn)題，綜合ISMC與ESO的優(yōu)點(diǎn)，本文提出了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的四旋翼積分滑模反步控制(extended state observer-integral sliding mode-backstepping controller，ESO-ISMC-BSC)的四旋翼路徑跟蹤控制方法，其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，其中，藍(lán)色框部分為本文設(shè)計(jì)控制器，黃色框部分為本文所研究的控制對(duì)象。首先針對(duì)一般模型中忽略姿態(tài)控制器響應(yīng)時(shí)間問(wèn)題，提出了一種無(wú)人機(jī)三階模型，并使用該模型構(gòu)建了ESO對(duì)四旋翼總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)；之后構(gòu)建了ISMC以消除ESO的觀測(cè)誤差；最后構(gòu)建了基于backstepping的路徑跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人機(jī)的路徑跟蹤控制，消除干擾對(duì)機(jī)體帶來(lái)的影響。

1 四旋翼水平方向控制模型

四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型[6]如式(1)～(3)所示。

(1)

(2)

(3)

從四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型中可以看出，其具有4個(gè)輸入和6個(gè)輸出，是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)模型。通常解決該問(wèn)題的方法是構(gòu)建級(jí)聯(lián)控制器，上述模型中的4個(gè)輸入被用于控制無(wú)人機(jī)的3個(gè)姿態(tài)和位置z，而位置x與y的控制器則需要通過(guò)向姿態(tài)角控制器發(fā)送命令以完成控制。一般模型往往忽略姿態(tài)控制器的響應(yīng)過(guò)程，認(rèn)為姿態(tài)控制器可以在瞬間控制機(jī)體到達(dá)位置控制器給定的角度[6，17]。在實(shí)際過(guò)程中，如果無(wú)人機(jī)進(jìn)行緩慢的運(yùn)動(dòng)，這樣的忽略不會(huì)明顯影響控制效果；但在快速控制中，無(wú)人機(jī)需要做出迅速而準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)控制，這樣的忽略會(huì)對(duì)無(wú)人機(jī)的控制效果產(chǎn)生明顯影響。

為解決這一問(wèn)題，本文對(duì)無(wú)人機(jī)水平方向控制模型進(jìn)行了改進(jìn)。通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)方法，本文將姿態(tài)控制器近似為一個(gè)一階慣性過(guò)程，并得到如式(4)所示控制模型。由于無(wú)人機(jī)的xE軸方向水平控制與yE軸方向水平控制是一致的，因此本文僅對(duì)xE軸方向控制進(jìn)行闡述。

(4)

式中：x1，x2，x3∈為xE軸方向的位置、速度與加速度；經(jīng)變換可得本文將對(duì)u直接進(jìn)行設(shè)計(jì)；d(t)為無(wú)人機(jī)受到所有擾動(dòng)總和等價(jià)的總擾動(dòng)；T為姿態(tài)控制器響應(yīng)過(guò)程的慣性時(shí)間常數(shù)，需要通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行辨識(shí)。

2 路徑跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

ESO對(duì)無(wú)人機(jī)的多源干擾可以進(jìn)行直接估計(jì)，并通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器，利用補(bǔ)償方式直接消除干擾，實(shí)現(xiàn)快速有效的抗干擾性能。根據(jù)無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型以及ESO基本構(gòu)建方法，系統(tǒng)模型增加第四階狀態(tài)作為系統(tǒng)總擾動(dòng)，構(gòu)建無(wú)人機(jī)擴(kuò)張狀態(tài)模型，如式(5)所示。

(5)

式中：

其中h為總擾動(dòng)的微分。

基于該擴(kuò)張模型，進(jìn)一步構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器如式(6)所示。

(6)

式中：

由于Ae為Hurwitz矩陣，可建立Lyapunov函數(shù)如式(7)所示。

W(ε)=ε(t)TP0ε(t)

(7)

由于在實(shí)際問(wèn)題中，等效總擾動(dòng)Δe(t)是有界的，因此式(5)右邊也是有界的。根據(jù)文獻(xiàn)[18]做進(jìn)一步分析，可得式(6)所設(shè)計(jì)的ESO是穩(wěn)定的，且隨著ω增大，ESO對(duì)狀態(tài)和擾動(dòng)的估計(jì)誤差可以達(dá)到任意小。

2.2 積分滑模控制器

由于在實(shí)際應(yīng)用中，觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的觀測(cè)增益不能夠設(shè)置為無(wú)窮大，因此ESO觀測(cè)值會(huì)存在一定誤差。為消除ESO的觀測(cè)誤差，本文設(shè)計(jì)了一種積分滑模控制器，并分為兩部分，如式(8)所示。

u=u1+u2

(8)

式中：u1為路徑跟蹤控制器；u2為積分滑模控制器。

設(shè)計(jì)滑模面如式(9)所示。

(9)

針對(duì)式(9)所示滑模面，設(shè)計(jì)控制器u2如式(10)所示。

(10)

b*=(bTb)-1bT

定理1對(duì)于滑模面(9)和系統(tǒng)(4)，若控制器u2滿足式(10)，則系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時(shí)間趨于滑模面。

(11)

根據(jù)式(9)和(10)，得到：

(12)

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行微分，結(jié)合式(11)與(12)，得：

至此證明了積分滑模控制器是漸近穩(wěn)定的。

2.3 基于反步法的軌跡跟蹤控制器

在通過(guò)積分滑模控制器消除觀測(cè)干擾之后，無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為僅包含觀測(cè)干擾項(xiàng)的理想模型，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制器，可以通過(guò)補(bǔ)償方式直接消除干擾，同時(shí)對(duì)機(jī)體實(shí)現(xiàn)良好的控制。

參照文獻(xiàn)[19]，以軌跡最小急動(dòng)度為目標(biāo)，構(gòu)造的路徑規(guī)劃方法如式(14)所示。

(14)

式中：xr為規(guī)劃路徑；p0、v0、a0為飛行器初始位置、速度與加速度；Δp、 Δv、 Δa為飛行器最終狀態(tài)與初始狀態(tài)差值；Δt為路徑起止時(shí)間間隔。

令z1=x1r-x1為無(wú)人機(jī)跟蹤誤差，控制器u為

u=Tx4r+T(ρ1+ρ2+ρ3)(x3r-x3)+x3+

T(2+ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ2ρ3)(x2r-x2)+

T(ρ1+ρ3+ρ1ρ2ρ3)(x1r-x1)-Td-

(15)

式中：ρ1，ρ2，ρ3為大于0的參數(shù)。

定理2對(duì)于系統(tǒng)式(4)，若控制器滿足式(15)，則無(wú)人機(jī)跟蹤誤差z1是漸近穩(wěn)定的。

(16)

即：

(17)

將式(17)代入式(4)得到四旋翼名義模型為

(18)

展開(kāi)得到：

(19)

設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)：

(20)

(21)

令ζ1=v1-x2，則有

(22)

(23)

再設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)

求微分可得：

(24)

令ζ2=v2-x3，得

(25)

(26)

再設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)：

(27)

代入各變量表達(dá)式得：

(28)

u1=Tx4r+T(ρ1+ρ2+ρ3)(x3r-x3)+x3+

T(2+ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ2ρ3)(x2r-x2)+

T(ρ1+ρ3+ρ1ρ2ρ3)(x1r-x1)-Td

(29)

結(jié)合式(10)，得

u=Tx4r+T(ρ1+ρ2+ρ3)(x3r-x3)+x3+

T(2+ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ2ρ3)(x2r-x2)+

T(ρ1+ρ3+ρ1ρ2ρ3)(x1r-x1)-Td-

(30)

至此定理2證明完畢。

通過(guò)定理1與2.1節(jié)的分析可知，本文算法中的ISMC控制器僅需消除ESO對(duì)干擾的觀測(cè)誤差，相比較文獻(xiàn)[6]中滑模控制器需要消除系統(tǒng)總擾動(dòng)的方法，本文算法消除誤差產(chǎn)生的抖振幅值更小。由定理2可知，在本文設(shè)計(jì)的路徑跟蹤控制器作用下，四旋翼在外部干擾下也能夠?qū)崿F(xiàn)跟蹤軌跡的漸近穩(wěn)定性。其中控制器u包含直接干擾補(bǔ)償項(xiàng)(-Td)，采用直接補(bǔ)償方式消除干擾，相比較文獻(xiàn)[15-16]采用的控制方法，本文方法具有更快的干擾消除效果。

3 仿真研究

3.1 仿真參數(shù)和過(guò)程

本文針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)在有干擾和無(wú)干擾情況下的快速路徑跟蹤問(wèn)題分別進(jìn)行了仿真。無(wú)人機(jī)相關(guān)參數(shù)源自Intel旗下子公司Ascending Technology的Hummingbird無(wú)人機(jī)的測(cè)量，如表1所示，其中，m為無(wú)人機(jī)質(zhì)量，l為無(wú)人機(jī)機(jī)臂長(zhǎng)度，Jx、Jy、Jz分別為無(wú)人機(jī)繞x軸、y軸、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，T為無(wú)人機(jī)姿態(tài)控制器響應(yīng)時(shí)間。機(jī)體位置控制器控制頻率為100 Hz，姿態(tài)控制器控制頻率為1 000 Hz。

表1 無(wú)人機(jī)參數(shù)

仿真過(guò)程如下：無(wú)人機(jī)從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始，從初始點(diǎn)x=0 m出發(fā)，于時(shí)刻t=2 s到達(dá)x=2 m點(diǎn)，然后時(shí)刻t=4 s返回x=0 m點(diǎn)，再立即返回x=2 m點(diǎn)，如此不停往返，在t=0、 2、 4、 6 s…時(shí)刻使用軌跡規(guī)劃算法重新規(guī)劃軌跡，以保證軌跡與四旋翼動(dòng)力學(xué)相容。并于時(shí)刻t=4 s加入水平方向外力干擾，t=8 s加入偏置懸掛重物干擾。其中：外力干擾為在水平方向給予0.2 m/s2的加速度，即為匹配干擾；而偏置重物干擾為給予無(wú)人機(jī)俯仰角1 rad/s2的角加速度，通過(guò)降低角度控制器的控制品質(zhì)以影響無(wú)人機(jī)位置控制，即為非匹配干擾。為證明本算法的有效性，同時(shí)對(duì)比例積分微分(proportion integration differentiation，PID)算法、ISMC算法[3]、backstepping算法[6]及ESO-ISMC算法[16]控制下的四旋翼飛行狀態(tài)進(jìn)行了仿真。所有控制算法參數(shù)均為在仿真環(huán)境下，通過(guò)手動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)至盡可能最佳狀態(tài)，并在公平、一致的條件下進(jìn)行仿真比較。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

(31)

式中：te0為平均誤差計(jì)算時(shí)間段的初始時(shí)刻；tef為平均誤差計(jì)算時(shí)間段的最終時(shí)刻；fs為采樣頻率，本文仿真中fs為10 000 Hz。

表2 5種控制方法跟蹤平均誤差對(duì)比

Table 2 Comparison of the average tracking error of five control algorithms

算法平均誤差/m無(wú)干擾有干擾ESO-ISMC-BSC0.008 80.010 0ESO-ISMC0.055 50.057 5backstepping0.016 10.113 6PID0.055 40.065 3ISMC0.029 50.060 8

由圖3和表2可知：ESO-ISMC-BSC算法無(wú)論在有擾動(dòng)或者無(wú)擾動(dòng)狀態(tài)下，都能緊密跟蹤規(guī)劃軌跡，體現(xiàn)其良好的跟蹤性能和抗干擾性能；ESO-ISMC算法也能夠較好地跟蹤路徑，同時(shí)具有較好的抗干擾性能，但始終存在一定的誤差，不能完全消除誤差；backstepping算法則在無(wú)干擾段可以很好地跟蹤軌跡，在加入干擾狀態(tài)下則有明顯的跟蹤誤差；PID算法在有干擾和無(wú)干擾情況下的跟蹤誤差均較為明顯，但兩者相差不大，表明PID算法具有一定的抗干擾能力；ISMC算法在無(wú)干擾狀態(tài)下表現(xiàn)較好，在有干擾下表現(xiàn)出一定的抗干擾性能，但平均誤差仍然較大。

ESO對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)情況如圖4所示。由圖4可以看出，在前4 s內(nèi)擾動(dòng)估計(jì)值在0附近波動(dòng)，而在4 s之后，系統(tǒng)加入了外部干擾，擾動(dòng)估計(jì)值也發(fā)生了明顯的變化。ESO的干擾觀測(cè)值一直處于變化狀態(tài)，這是由于除了環(huán)境給予的固定干擾，還存在參數(shù)不準(zhǔn)確、空氣阻力等時(shí)變干擾，且于8 s時(shí)刻加入的非匹配干擾對(duì)于系統(tǒng)的影響也是時(shí)變的。擾動(dòng)估計(jì)值時(shí)變的特點(diǎn)表現(xiàn)了ESO是對(duì)總擾動(dòng)估計(jì)而非單一擾動(dòng)估計(jì)的這一特性。

在有無(wú)ISMC控制器下，ESO對(duì)無(wú)人機(jī)加速度的估計(jì)如圖5 所示。從圖5可以看出：在有ISMC控制器下，除了加入擾動(dòng)之后較短的時(shí)間內(nèi)，其余時(shí)間段的無(wú)人機(jī)狀態(tài)與名義模型一致程度很高；而在無(wú)ISMC控制器狀態(tài)下，無(wú)人機(jī)狀態(tài)與名義模型有較為明顯差距。由此可知，ISMC控制器對(duì)ESO的觀測(cè)誤差具有良好的補(bǔ)償效果。

4種控制算法下的無(wú)人機(jī)姿態(tài)情況對(duì)比如圖6所示。由圖6可知：backstepping方法的姿態(tài)最為平滑；PID方法的姿態(tài)也較為平滑，但姿態(tài)波動(dòng)幅度較大，最大角度超過(guò)1 rad，在實(shí)際飛行中較為危險(xiǎn)；ISMC方法則表現(xiàn)出明顯的抖振問(wèn)題；ESO-ISMC-BSC方法通過(guò)加入ESO，很大程度上緩解了ISMC控制的抖振問(wèn)題，且姿態(tài)極大值也相對(duì)較小，整體表現(xiàn)良好。

ESO對(duì)于機(jī)體狀態(tài)的估計(jì)與真實(shí)值的比較如圖7所示，可以看出，ESO也能夠很好地估計(jì)機(jī)體狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)一般的四旋翼傳感器難以獲得機(jī)體速度信息，因此這一特點(diǎn)有良好的應(yīng)用場(chǎng)景。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了四旋翼無(wú)人機(jī)在水平方向上的抗干擾路徑跟蹤問(wèn)題。針對(duì)四旋翼級(jí)聯(lián)控制中的姿態(tài)控制響應(yīng)時(shí)延，本文提出了一種新穎的四旋翼模型構(gòu)建方法。同時(shí)，本文給出了基于ESO-ISMC-BSC四旋翼抗干擾路徑跟蹤控制算法。該方法引入ESO，使得滑模控制器僅需要消除擾動(dòng)觀測(cè)誤差，降低了滑模控制器的抖振幅度；在backstepping控制器中，利用擾動(dòng)觀測(cè)，以直接反饋形式消除了擾動(dòng)影響，保證了算法對(duì)擾動(dòng)的快速消除能力。通過(guò)仿真，驗(yàn)證了該算法具有準(zhǔn)確的路徑跟蹤能力與良好的抗干擾性能，降低了ISMC控制器帶來(lái)的抖振程度，控制過(guò)程的姿態(tài)波動(dòng)平穩(wěn)。將該算法應(yīng)用于實(shí)際無(wú)人機(jī)是下一步的工作重點(diǎn)。