三圓弧諧波齒輪傳動齒廓設計及參數優化

時志奇，楊勇,2，賀小飛,3，黃彥彥，周青華

(1.四川大學空天科學與工程學院，四川成都，610065；2.武漢第二船舶設計研究所，湖北武漢，430064；3.四川航天中天動力裝備責任有限公司，四川成都，610100)

諧波齒輪傳動裝置是隨著航空航天技術發展而來的一種基于薄壁理論的柔性傳動裝置，最早由MUSSER[1]提出，因其具有結構簡單緊湊、傳動比大、傳動精度高、承載能力大和傳動效率高等優點被大量應用于衛星天線的驅動裝置、雷達的精密伺服機構、火箭導彈的轉向機構以及飛機自動駕駛系統等航空航天領域[2]。近年來諧波減速器作為機器人實現運動功能的核心部件，廣泛應用于輕型工業機器人和機械臂關節中，其精度和性能是衡量機器人整機精度和性能的主要指標[3-4]。自諧波齒輪問世以來，國內外學者針對它的運動學原理[5-8]、齒形研究[9-10]、結構參數分析優化[11-15]以及傳動精度、壽命和失效等方面都展開了大量研究[16]。諧波齒輪的輪齒齒形對于傳動系統整體性能有著很大的影響，合理的齒形可以改善諧波齒輪傳動性能，提高承載能力和傳動精度[10]。諧波齒輪的齒廓形狀經歷一系列發展和演變[11-12]，且隨著齒廓形狀的優化改進，諧波齒輪傳動裝置在承載能力、傳動精度、加工性能、嚙合性能和動力學特性等方面都得到了較大提升[9-13]。三圓弧齒廓諧波齒輪由陳曉霞等[17]在2017年提出并申請了發明專利，與雙圓弧齒廓諧波齒輪相比，三圓弧諧波齒輪在傳動中具有更寬的包絡存在區間和共軛嚙合齒面，更均勻的嚙合側隙使得諧波齒輪的傳動精度和承載能力都有所提高。本文作者以三圓弧齒廓諧波齒輪為研究對象，采用楊勇等[18]提出的諧波齒輪傳動共軛齒廓精確求解方法，求解柔輪齒廓的理論共軛齒廓，并分析柔輪齒廓參數對柔輪共軛齒廓的影響規律。采用圓弧擬合和數值計算相結合的方法，設計求解出剛輪齒廓曲線。為進一步提高諧波齒輪的傳動精度、傳動平穩性、嚙合剛度和承載能力，以擴展雙共軛嚙合區間為目標建立優化函數，對諧波齒輪柔輪齒廓參數進行優化分析，以便為三圓弧齒廓諧波齒輪的設計及優化提供一定參考。

1 三圓弧諧波齒輪齒形設計

1.1 諧波齒輪傳動坐標系

諧波齒輪在實際服役過程中，其柔輪的變形為空間彈性變形，結構變化和受力狀況復雜，為便于諧波齒輪運動學問題的相關研究，對傳動模型進行簡化，將諧波齒輪的剛輪、柔輪和波發生器的空間嚙合問題離散化為平面嚙合問題進行研究[19-20]，并忽略傳動過程中柔輪和剛輪的輪齒變形，即假設輪齒為剛體。

以橢圓波發生器諧波齒輪為例，建立如圖1所示坐標系，以表征傳動過程中各部件的位置關系和運動狀態，對嚙合傳動進行量化分析。

圖1 諧波齒輪傳動坐標系Fig.1 Coordinate systemsof harmonic drive

圖1中，曲線0表示柔輪變形之前的中性線形狀，是1個標準的圓；曲線1表示柔輪在波發生器作用下發生變形后的中性線，其中波發生器長軸平行豎直方向；曲線2為波發生器逆時針旋轉φ1后的柔輪中性線；坐標系S0(X0,O0,Y0)為柔輪輪齒局部坐標系，與輪齒固連；坐標系S1(X1,O1,Y1)是與剛輪固定連接的坐標系，始終保持位置不變；坐標系S(X,O,Y)則是與波發生器固連的坐標系，Y軸與波發生器的長軸重合，X軸與波發生器的短軸重合。

1.2 柔輪齒廓參數模型

三圓弧諧波齒輪柔輪齒廓的二維模型如圖2所示，柔^輪齒廓主要由^齒頂端凸圓弧齒根端凹圓弧和中間圓弧這3段圓弧組成，凸圓弧^^和中間圓弧內相切，切點為B，切線與Y0軸夾角為δ1；凹圓弧^和中間圓弧^外相切，切點為C，切線與Y0軸夾角為δ2。3段圓弧的圓心坐標和相關參數的位置關系如圖2所示。圖2中：hf為齒根高；ha為齒頂高；ds為齒根圓與柔輪中線層距離；ya為凸圓弧圓心移距量；xa為凸圓弧圓心偏移量；和分別為凸圓弧、中間圓弧和凹圓弧的曲率半徑；和分別為凸圓弧中間圓弧和凹圓弧^的圓心；為圓弧^AB和^BC公切線與軸的夾角；為圓弧^BC和^CD的公切線與Y0軸的夾角。

圖2 三圓弧諧波齒輪柔輪齒廓Fig.2 Triple-circular-arc harmonic drives flexiblegear profile

以弧長s為變量，應用數值離散的思想，求解出齒廓曲線上各點在齊次坐標系中的徑矢和法向向量。

弧長范圍s∈(0,l1)，其中，

結合式(1)和(2)，可求得凸圓弧齒廓AB上的各點在齊次坐標系中的徑矢和法線向量，可表示為

2)中間圓弧。

弧長范圍s∈(l1,l2)，其中，

則圓弧圓心坐標為

結合式(4)和(5)，求得中間段圓弧上的各點在齊次坐標系的徑矢和法線方程表達式為

3)凹圓弧段

弧長范圍s∈(l2,l3)，其中：

則圓弧圓心坐標為

結合式(7)和(8)，求得凹圓弧段上的各點在齊次坐標系的徑矢和法線方程表達式為

1.3 柔輪共軛齒廓求解

對于柔輪共軛齒廓的求解，采用文獻[18]中提出的諧波齒輪傳動共軛齒廓的精確解法。首先參考圖1中的諧波齒輪傳動坐標系，求解出柔輪輪齒局部坐標系S0(X0,O0,Y0)到剛輪坐標系S1(X1,O1,Y1)的坐標變換矩陣M10和徑矢變換矩陣W10，如式(10)和(11)所示。

則通過坐標變換可得：

根據齒輪傳動運動學法中的嚙合方程[21-22]，對于齒輪齒廓上參與嚙合的點，滿足

結合式(12)和(13)，可得

將式(10)和(11)代入式(14)，得

結合式(3)，(6)和(9)中所求得的3段圓弧齒廓上各點的徑矢r和法向量n，可求得與柔輪齒廓上的點在坐標系S1(X1,O1,Y1)中的理論共軛嚙合點，然后，將各共軛點運用圓弧曲線進行擬合，即可得到柔輪齒廓的共軛齒廓。

以橢圓凸輪波發生器的諧波齒輪為例進行實例計算。選取模數m=0.32mm、全齒高h=1.5m，齒頂高ha=0.6m，齒根高hf=0.9m，其他輪齒齒廓參數取值如表1所示。

根據前面所述方法，采用數值離散的思想，將柔輪齒廓按弧長離散化為一系列坐標點陣，然后，應用MATLAB進行編程計算，求解出柔輪齒廓上的各離散點所對應的理論共軛嚙合點，再進行圓弧擬合，得出各段柔輪齒廓的理論共軛齒廓，結果如圖3所示。求解出柔輪齒廓上各離散點成為嚙合點時柔輪輪齒與波發生器長軸的夾角αi，αi的解的范圍即為共軛嚙合區間，如圖4所示。

表1 柔輪齒廓參數Table1 Parametersof flexspline tooth profile

圖3 柔輪理論共軛齒廓Fig.3 Theoretical conjugate tooth profileof flexspline

圖4 柔輪齒廓共軛區域Fig.4 Conjugate intervalof flexspline tooth profile

由圖4可以看出在嚙合傳動過程中每個弧長s(對應柔輪齒廓上的1個點)有2個角度使之為共軛嚙合點，即存在“二次共軛”現象[14]。由于存在“二次共軛”，每段柔輪齒廓有2條與之對應的理論共軛齒廓，與圖3中結果對應。同樣，1個共軛嚙合角(對應柔輪的1個共軛位置)有2個對應的弧長，即有2個柔輪齒廓上的點同時處于共軛嚙合狀態，即存在“雙共軛”現象[14]。“雙共軛”和“二次共軛”對于諧波齒輪傳動的承載力、傳動精度、嚙合剛度等性能的提高有很大作用[9-13]，因此，在諧波齒輪設計中，應使得“雙共軛”區間最大化，諧波齒輪傳動的嚙合傳動性能達到最優。

1.4 剛輪齒廓設計

對于諧波齒輪剛輪齒廓的設計，為保證剛輪和柔輪的共軛運動，諧波齒輪的剛輪齒廓是在柔輪理論共軛齒廓的基礎上進行設計。為了避免諧波齒輪傳動中發生齒廓干涉，用于設計剛輪齒廓的柔輪共軛齒廓，應根據各共軛齒廓在坐標系中的相對位置，選擇最外層的柔輪共軛齒廓[11-13]，以保證諧波齒輪良好的嚙合傳動特性。

本文采用圓弧擬合和幾何計算相結合的方法設計求解剛輪齒廓。先根據各柔輪共軛齒廓在坐標系內的相對位置關系，選擇最外層的柔輪共軛齒廓曲線，然后對選出的共軛齒廓進行圓弧擬合，并求解出各柔輪共軛齒廓在坐標系S1(X1,O1,Y1)中的齒廓方程和幾何參數，最后應用三段圓弧的幾何關系，對曲線進行修正，從而得到光滑的三圓弧曲線剛輪齒廓曲線。以1.3節中柔輪齒廓為例，求解其剛輪齒廓，具體如下。

首先，根據圖3中各柔輪共軛齒廓的在坐標系中的位置關系，選取最外側的共軛齒廓和進行剛輪齒廓求解；其次，對選取的共軛齒廓用“最小二乘法”進行圓弧擬合，求得各段圓弧的圓心坐標以及半徑和然后，為避免傳動過程中發生齒廓干涉，需對求得的各圓弧的半徑進行單側調整[11]，使得所有的柔輪理論共軛嚙合點在剛輪齒廓內側，具體方法為增大r1和r2，減小r3，調整量為各理論共軛點到擬合圓弧的距離的最大值，從而得到新的圓弧半徑r′1，r′2和r′3；最后，根據各圓弧之間的幾何關系，由下式重新確定中間段圓弧的圓心坐標(a*2,b*2)：

由圖5和圖6可以看出：所設計的剛輪齒廓為1條連續的光滑曲線，且剛輪齒廓與柔輪共軛齒廓和基本重合，保證了剛輪和柔輪的共軛運動特性，而且在傳動過程中，柔輪齒廓曲線始終位于剛輪齒廓下方，即在傳動過程中不會發生齒廓干涉。

圖5 三圓弧諧波齒輪剛輪齒廓Fig.5 Triple-circular-arc harmonic drives rigid gear profile

圖6 柔輪運動軌跡Fig.6 Trajectory of flexiblewheel

由上可知，由于各柔輪共軛齒廓的位置關系，在剛輪齒廓設計中，為了保證傳動過程中不發生齒廓干涉，設計的剛輪齒廓只包含柔輪理論共軛齒廓的一部分，因而使得參與實際嚙合的理論共軛點數目較少[11]，實際的雙共軛區間較小，影響了諧波齒輪的傳動性能。因此，對諧波齒輪的齒形和齒廓參數進行設計優化，使有效理論共軛點數目增加，增加雙共軛區間，從而提高諧波齒輪的嚙合傳動特性，具有很大的工程實踐價值和意義[9-13]。

2 柔輪齒廓參數優化設計

柔輪的齒廓參數對于柔輪共軛齒廓有很大的影響，當齒廓參數變化時，柔輪的凸圓弧共軛齒廓以及凹圓弧共軛齒廓的距離和相對位置都會發生變化。當兩共軛齒廓的相對位置變化后，用于剛輪齒廓設計的柔輪共軛齒廓也隨之發生改變，進而影響諧波齒輪傳動的雙共軛區間和諧波齒輪傳動的嚙合傳動性能[11-15]。

2.1 柔輪齒廓參數對共軛齒輪影響

為研究諧波齒輪各柔輪齒廓參數對于共軛齒廓的影響，分別以齒形參數δ1，δ2，ρf和ρa為單一變量，分析柔輪共軛齒廓和的相對位置隨齒形參數的變化規律，其結果如圖7所示。

由圖7(a)可以看出：隨著柔輪齒廓參數δ1的增大，共軛齒廓在坐標系中的位置不發生變化，而共軛齒廓的位置則由共軛齒廓的上方變為下方，與共軛齒廓之間的距離先變小再變大；在δ1=12.5°時，柔輪共軛齒廓和之間的距離最小。根據剛輪齒廓設計的原則，為了避免傳動過程中的齒廓干涉，當δ1<12.5°時，在的上方，此時，用于剛輪齒廓設計的共軛齒廓為而當δ1>12.5°時，在的下方，此時，用于剛輪齒廓設計的共軛齒廓為

齒廓參數δ2和ρf對柔輪共軛齒廓的影響規律如圖7(b)和圖7(c)所示。從圖7(b)和圖7(c)可見：隨參數的變化，柔輪共軛齒廓L1CD和L2AB在坐標系中的相對位置和距離誤差的變化趨勢與齒廓參數δ1的影響規律類似；在δ2=11.4°和ρf=0.55mm時，柔輪共軛齒廓L1CD和L2AB之間距離最小。

圖7(d)所示為柔輪齒廓參數ρa對共軛齒廓和的影響規律。從圖7(d)可以看出：與其他齒廓參數略有不同，隨著參數ρa變化，柔輪共軛齒廓和在坐標系中的位置都隨之發生改變，但和之間的相對位置以及距離的影響規律與其他齒廓參數的相似，當ρa=0.65mm時，共軛齒廓和之間距離最小。

根據圖7所示結果，柔輪各齒形參數δ1，δ2，ρa和ρf對共軛齒廓和的相對位置以及相對距離都有影響，在設計過程中，應根據具體的齒廓參數，確定各柔輪共軛齒廓在坐標系中的位置，選擇合適的共軛齒廓，以保證諧波齒輪的嚙合傳動性能。由圖7還可看出：通過參數調整，可使得共軛齒廓和之間距離減小甚至使得兩共軛齒廓重合，此時，剛輪齒廓所包含的柔輪理論共軛齒廓數目增加，實際共軛嚙合點數目增多，雙共軛區間增大；同時，參與嚙合的嚙合點數目增加，諧波齒輪的嚙合傳動性能提高[11-15]。

結合圖3中柔輪共軛齒廓曲線分布可以得出：當剛輪齒廓和柔輪共軛齒廓和重合時，剛輪齒廓所包含的柔輪理論共軛嚙合點最多，雙共軛區間最大，諧波齒輪的嚙合傳動性能最優。本文以減小柔輪共軛齒廓與剛輪齒廓之間的差異，增加有效理論共軛點數為目標，建立目標函數，對三圓弧諧波齒輪齒廓參數進行優化，以增加雙共軛區間，提高諧波齒輪的嚙合傳動性能。

2.2 目標函數與變量確定

由1.2節中的方法求解柔輪共軛齒廓，運用數值離散的思想方法，則共軛齒廓方程可表示為

根據1.4節的剛輪齒廓求解方法，求解出剛輪齒廓方程G(x)，則各柔輪共軛齒廓與剛輪齒廓之間的差異Di(x)可表征為

由于共軛齒廓函數Ri(x)主要與柔輪齒形參數凹圓弧半徑ρf、凸圓弧半徑ρa、圓弧公切線傾角δ1和δ2相關，所以，函數Di(x)又可表示為

以T(δ1,δ2,ρf,ρa)為目標函數，柔輪齒形參數δ1，δ2，ρf和ρa為變量，當目標函數T(δ1,δ2,ρf,ρa)達到最小值Tmin時，各柔輪共軛齒廓和剛輪齒廓的誤差最小，剛輪齒廓所包含的參與實際嚙合運動的有效理論共軛嚙合點數目最多，雙共軛區間最大。

2.3 優化分析

2.3.1 單變量分析

圖7 柔輪齒廓參數對共軛齒廓的影響Fig.7 Influence of flexspline tooth profile parameterson conjugate profile

為確定各柔輪齒廓參數對目標函數的影響，采用單一變量分析方法，分別取柔輪的齒形參數δ1，δ2，ρf和ρa作為單一變量(其余參數按表1取值)，求解單一變量對應的目標函數，分析柔輪共軛齒廓L1AB，L2AB，L1BC，L2BC和L1CD與剛輪齒廓之間距離均值(分別記為L1AB-CS，L2AB-CS，L1BC-CS，L2BC-CS和以及距離均值之和(記為DT)隨齒廓參數的變化規律，如圖8所示。

由圖8(a)可得：隨著δ1的增大，變化很小，其值小于0.09μm。在δ1小于12.55°時，隨δ1的增大而減小，當δ1大于12.55°時，L2AB-CS趨于不變，且在δ1等于12.55°處取得最小值L2AB-CSmin=0.183μm。在δ1=12.55°處取得最小值0.129μm，當δ1<12.55°時，趨于不變，而當δ1>12.55°時，L1CD-CS隨δ1的增大而增大。L1BC-CS，和DT都隨著δ1增大而先減小后增大的變化趨勢，均在δ1=12.55°時取得最小值，DTmin=1.54μm；μm；L2BC-CSmin=4.21μm。且L1BC-CS，和DT在δ1=12.55°處有突變，結合圖7(a)中齒廓參數δ1對共軛齒廓影響可知：突變是由于柔輪共軛齒廓位置的改變，用于剛輪齒廓設計的共軛齒廓發生改變，當δ1<12.55°時，柔輪共軛齒廓在的下方，用于剛輪齒廓設計的柔輪齒廓為L1CD，而當δ1大于12.55°時，柔輪共軛齒廓L2AB在L1CD的上方，用于剛輪齒廓設計的柔輪齒廓為，且根據圖7(a)，當δ1在12.5°附近時，兩共軛齒廓L2AB和L1CD之間差距最小，這一規律也與圖8(a)中目標函數在δ1=12.55°處取得最小值的結果對應一致。

目標函數T(δ2)，T(ρf)和T(ρa)的結果分別如圖8(b)，8(c)和8(d)所示，變化規律與圖8(a)中T(δ1)的類似，分析結果與圖7中齒廓參數對共軛齒廓的影響結果相對應一致。

圖7和圖8的分析結果相對應，證明目標函數很好地量化表征剛輪齒廓和柔輪共軛齒廓差異。由圖8可以得出：通過齒廓參數的調整，可以減小柔輪理論共軛齒廓和與剛輪齒廓之間距離，使得剛輪齒廓包含柔輪理論共軛齒廓增加，參與實際嚙合的有效理論共軛嚙合點數目增加，雙共軛區間增大。但由于目標函數與齒廓參數δ1，δ2，ρf和ρa都相關，為多變量函數，因此，有必要對目標函數T(δ1，δ2，ρf，ρa)進行多參數優化，以獲得更符合實際狀況的最優齒廓。

圖8 單變量優化函數TFig.8 Single independent variable optimization function T

2.3.2 多變量優化

在多變量優化計算中，隨著優化參數增加，計算量將呈指數增加。為減少計算量，提高優化效率，將優化過程分為2個階次進行：初步優化和二次優化。經初步優化后，根據優化計算結果，縮小優化區間，重新確定離散值，進一步優化。

1)初步優化。根據圖8中的分析結果，分別對變量δ1，δ2，ρf和ρa在區間δ1∈[12.2°,13.2°]，δ1∈[11.0°,12.02°]，ρf∈[0.5,0.6]和ρa∈[0.55,0.65]內取5組離散值，計算各組參數(共54組)對應的目標函數，求最優解T(δ1，δ2，ρf，ρa)min。

2)二次優化。根據初次優化的結果，重新確定優化區間，各參數在新區間內再取5個離散值，再次計算各組參數(共54組)對應的目標函數，求出二次優化的最優解。

二次優化方法較于單次優化方法，計算量大幅減小，計算次數減少2.3×104次，是單次優化計算的1/19.53。

根據計算結果，當T(ρf，ρa，δ1，δ2)=T(0.536，0.625，12.25°，11.22°)時，柔輪共軛齒廓和剛輪齒廓的總距離DT取得最小值，DTmin=0.99655μm；柔輪各共軛齒廓和剛輪齒廓的差異為

根據計算結果，在最優齒廓參數下，各柔輪共軛齒廓L1AB，L2AB，L1BC，L2BC和L1CD與剛輪齒廓的誤差均小于1.0μm，在實際工程中，在這種精度下，視為柔輪共軛齒廓L1AB，L2AB，L1BC，L2BC和L1CD與剛輪齒廓基本重合，實現雙共軛區間最大化。優化前后的共軛區間對比如圖9所示，具體變化量如表2所示。

圖9 優化前后共軛區間對比Fig.9 Comparison of conjugate intervalsbefore and after optimization

由圖9可以得出：優化后的齒廓參數所對應的諧波齒輪，參與實際嚙合的柔輪共軛齒廓增加了和L1CD，共軛I區的共軛區間大幅增加，增大

在二次優化的最優參數下，剛輪齒廓和柔輪共軛齒廓的誤差最大值為

誤差均值為64.128%，共軛Ⅱ區的共軛區間增大8.21%，則總的雙共軛區間在原來的基礎上增大17.327%，而嚙合空白區間減小60.41%，由此可見，此優化方法可有效增大諧波齒輪的雙共軛區間增大，減小嚙合空白區間，使得諧波齒輪的承載能力、傳動精度、傳動平穩性等進一步提高。

表2 優化前后共軛區間對比Table2 Comparison of conjugate intervalsbefore and afteroptim ization

3 結論

1)運用數值離散的思想求解出剛輪齒廓方程，結合改進的運動學法，求解了諧波齒輪傳動的嚙合不變矩陣和柔輪共軛齒廓，并在柔輪共軛齒廓的基礎上，結合圓弧擬合和幾何計算的思想方法，求解出諧波齒輪的剛輪齒廓，所求得的剛輪齒廓為光滑的曲線，且在傳動過程中不會發生齒廓干涉。

2)以增加雙共軛區間為目標，對柔輪齒廓參數進行了單變量和多變量的優化分析，經過參數優化，雙共軛區間增大17.327%，且嚙合空白區間減小60.41%。實際參與嚙合傳動的柔輪共軛數目增加，有效共軛嚙合點增多，使雙共軛區間最大化，諧波齒輪的承載能力、傳動精度、傳動平穩性等進一步提高。