基于Pasternak雙參數模型的滑坡段埋地管道受力分析方法

(中國地質大學(武漢)工程學院，湖北武漢，430074)

近年來，長輸管道工程迅猛發展，已成為能源輸送的重要手段之一，其中很大一部分管道需要穿越地質環境復雜、滑坡災害頻發的地段，嚴重威脅著管道的安全運營。對處于滑坡作用下的埋地管道，目前常用有限單元法或基于Winkler模型的彈性地基梁法進行分析計算。近年來，有限單元法在研究管土接觸問題中得到了廣泛應用。譬如在滑坡段埋地管道應力應變分布隨參數變化規律研究[1-2]、滑坡作用下埋地管道強度失效分析[3]、滑坡段管道內力變形分析[4-7]、埋地管道的安全下埋深度及多跨管段間相互作用研究[8-9]等方面都有廣泛的應用；朱勇等[10]采用有限元分析與模型試驗相結合的方法對滑坡作用下管道受力變形進行了研究。雖然有限單元法適應性強，能夠處理復雜問題，但因其使用較為復雜，在對實際工程問題的分析上尚有一定困難。基于Winkler模型的彈性地基梁法則假定土體是由離散彈簧組成的彈性體，地基反力與埋地管道上任一點的位移成正比，將管道看成小變形的半無限長梁，研究了管道的應力及變形特性[11-14]。與有限單元法相比較，基于Winkler模型的彈性地基梁法概念比較明確，求解簡單，實用性更高，但該方法沒有考慮土彈簧間的相互作用，在具有少許黏性或具有傳力性土介質中應用誤差較大。Winkler模型在描述實際土體的連續性態中的固有缺陷及彈性連續介質模型在數學上的復雜性加速了雙參數彈性模型的發展，其主要沿著2個方向進行。第一種是從彈性連續介質模型開始并引入約束或簡化位移分布與應力的某些假設，Vlasov模型是其中的典型代表，但其土模型公式是以變分法的應用為基礎的，在求解中涉及到參數迭代，計算過程較為復雜[15-17]。第二種是由不連續的Winkler模型產生的并在各個彈簧之間提供力學的相互作用以消除其不連續的性態，Pasternak模型是其中的典型代表，其采用2個參數來綜合反映土體特征，假設土彈簧單元與一層只能產生剪切變形而不可壓縮的豎向單元相連接，考慮了土彈簧間傳力作用，反映了土體變形連續性，更符合土體的受力變形特性，由此得到了廣泛的應用[17-18]。張望喜等[19]以能量變分法原理為基礎研究了地基反力模量為常數的水平受荷樁解答，提高了計算精度；魏東旭等[20]采用考慮剪力的雙參數模型，獲得了雙參數地基推力長樁的有限差分解，提高了推力樁的設計計算水平；梁發云等[21]采用改進的地基反力模量，提出了一種可考慮剪切作用的水平受荷樁的簡化分析方法，可明顯提高水平受荷樁的計算精度。綜上所述，Pasternak雙參數模型運用于水平受荷樁的分析計算中，提高了水平受荷樁的設計水平與計算精度。而在滑坡作用下埋地管道受力變形的計算中多采用基于Winkler模型的彈性地基梁法，在具有少許黏性或具有傳力性土介質中應用誤差較大。鑒于此，本文作者基于Pasternak模型，提出一種考慮軸向載荷的滑坡段埋地管道受力分析方法，討論軸向載荷、地基反力系數及地基剪切剛度對滑坡段埋地管道受力變形性狀的影響，該方法比基于Winkler模型的彈性地基梁法具有更高的計算精度。

1 滑坡作用下埋地管道力學模型

在滑坡作用下，埋地管道受滑坡體推力作用會發生變形，其力學模型可以簡化成Pasternak彈性地基上的連續梁模型(圖1)。圖1所示平面為管道在滑坡作用下發生變形的平面。圖1中：q為滑坡體對管道的作用力，N/m；l為滑坡體寬度，m。為了簡便計算，做出如下假設：

1)假設下滑土體對埋地管道的壓力q沿滑坡寬度l均勻分布[22]，且不計下部土體對管道的支撐作用(最危險工況)；

2)在滑坡作用下，下滑土體對管道的壓力是導致管道變形的主要作用力，管道自身及管內介質重力作用對管道變形影響較小，故忽略其重力作用對管道變形的影響；

3)假設管道沿軸向剛度均勻，不考慮管與管連接處的端效應，將其看成整體；

4)假設管道變形和受力關于截面C對稱。

圖1 滑坡作用下管道力學模型Fig.1 Mechanical model of pipeline under landslide

1.1 Pasternak雙參數地基模型

Pasternak雙參數彈性模型是在Winkler彈性模型的基礎上假設各彈簧單元間存在著剪切的相互作用。這種相互作用是通過將彈簧單元與一層只能產生橫向剪切變形而不可壓縮的豎向單元相連接(圖2)實現的[18]。在二維情況下，模型可以用下式表示：

式中：q(x)為地基的反力，kN/m2；k為地基反力系數，kN/m3；w(x)為埋地管道撓度，m；Gp為地基剪切剛度，kN/m。

圖2 Pasternak雙參數地基模型Fig.2 Pasternak double-parameter foundation model

當式(1)中Gp=0時，該模型即退化為Winkler模型。

1.2 Pasternak雙參數彈性模型常數的確定

描述雙參數模型的常數k和Gp，可采用下列方法得出[17]。

方法一：常數k和Gp可由現場試驗測定(例如載荷板試驗)。

方法二：可認為常數k和Gp與土介質的彈性常數(例如土體彈性模量Es、土體泊松比υs、孔隙比e等)有關，可由試驗室確定。

方法三：可將常數k和Gp與土介質彈性常數Es和υs關聯起來，并根據土與基礎相互作用問題的解類比而得。

TERZAGHI等[23-25]對用荷載板試驗測定地基反力系數k進行了詳細評述。研究表明從荷載板試驗測定k受板的尺寸、形狀、埋置深度等因素影響，k并不是土介質的固有性質。在確定Gp時，不僅需要量測荷載板的沉降量，還需要量測出臨近荷載板處土表面的撓度。由于雙參數土基礎的界面撓度局限于非常臨近的加載面，一般的常規荷載板試驗難于量測，導致誤差較大。因此，一般不建議采用這種方法確定Gp。

方法三將模型常數與土介質彈性常數Es和υs關聯起來，根據土與基礎相互作用問題的解類比得到常數取值，與方法一和二相比不需進行繁雜試驗，且精度符合工程需求。因此，本文采用方法三確定模型常數。方法三可將雙參數地基模型的常數與彈性常數Es和υs加以聯系。其中VLAZOV等[15]提出的經驗公式比較具有代表性，如下式所示：

式中：Es為地基土的彈性模量，kPa；υs為地基土的泊松比；H為彈性層厚度，m。

YAO等[26]通過數值模擬技術對受水平荷載作用影響的樁側土范圍進行了研究，認為其受影響范圍為11d(d為樁的直徑)。因此，近似地將該范圍作為地基土的彈性層厚度，即H=11D(D為埋地管道的外徑)，實際上H的取值與土性質有關。

2 撓度和內力分析

將圖1所示的埋地管道分成2部分進行分析，滑坡體外管道和滑坡段管道。

2.1 滑坡體外管道分析

建立圖3所示力學模型，X軸為未發生滑坡時的管道軸線，Y軸為滑坡周界的左側邊界。ω0為滑坡周界處管道撓度，m；M0為滑坡周界處管道彎矩，N·m；θ0為滑坡周界處管道轉角，rad；S0為管道軸力，N。滑坡段管道對滑坡體外管道作用以剪力0.5ql、彎矩M0及軸力S0代替(滑坡周界處管道轉角很小，可近似認為軸力S0平行于X軸)。由于軸力S0主要影響管道軸向變形，因此忽略軸力對管道橫向變形的影響，將滑坡體外管道看成是Pasternak彈性地基上的半無限長梁。

為了計算方便，統一規定：彎矩以管道上側纖維受拉為正；管道軸力以拉力為正。

圖3 滑坡體外管道力學模型Fig.3 Mechanical model of landslide external pipeline

將埋地鋼管看成梁，其撓度Y與荷載q、地基壓力p之間的關系為

式中：E為鋼材的彈性模量，Pa；I為管道的截面慣性矩，m4。

根據Pasternak彈性地基模型，式(3)可寫成

式中：D為管道的外徑，m。

滑坡段管道對滑坡體外管道的作用是其變形的主要原因，因此荷載q可以近似忽略。代入式(4)可得

式(5)的通解為

由定性分析可知，當X→∞時，Y→0可知C1=C3=0，因此式(6)變為

由式(7)可得管道任意截面轉角θ、彎矩M及剪力Q的表達式：

原點處的邊界條件為

由此解得

撓度ω0和轉角θ0為

2.2 滑坡段管道分析

建立圖4所示力學模型，x軸為未發生滑坡時的管道軸線，y軸為滑坡周界的左側邊界。滑坡體外管道滑坡段管道的作用力以剪力0.5ql、彎矩M0及軸力S0代替。

圖4 滑坡段管道力學模型Fig.4 Mechanical model of landslide section pipeline

對滑坡段l，管道彎曲的微分方程為

方程的解為

滑坡周界x=0處管道轉角為

根據變形協調性，滑坡體內、外管道在交界處撓度和轉角相等。從以上分析可知，撓度相等條件已經滿足。至于轉角相等條件，由式(12)與式(16)可知

由式(17)可得M0為

由式(14)可得滑坡段管道任意截面轉角θ和彎矩M的表達式為：

由式(14)可得管道在x=l/2處中點撓度f為

2.3 縱向位移計算

為了求解上述模型中的未知參量S0，補充管道縱向位移的關系式。

以滑坡體內管道為研究對象，根據管道軸向應變的幾何非線性關系可得

式中：εx為管道軸向應變；u為管道軸向位移，m。

根據材料力學胡克定律，管道軸向應變表達式為

式中：A為管道的截面積，m2。

聯立式(22)和式(23)可得

為了方便計算，滑坡體內撓曲線近似取為y=由式(24)可得

由截面C的軸向位移為0，可得

聯立式(21)和式(26)可解得S0。

3 管道強度校核

由于管道是薄壁，一般情況下可以忽略徑向應力，因此，管道的應力狀態可以簡化為環向應力和軸向應力的雙軸應力狀態[12]。

管道軸向應力σx及環向應力σθ的計算公式為：

式中：S為管道軸力，N；M為管道彎矩，N·m；W為管道截面抗彎模量，m3；p為管道輸送壓力，Pa；t為管道的壁厚，m。

根據強度理論，可對上述應力狀態進行組合，判別管道的可靠性。Mises屈服準則為常用的強度理論。

Mises屈服準則也被稱為最大形狀改變比能條件，其應力表達式為

對于管道，多屬平面問題，σ3=0，因此式(29)可簡化為

式中：σeq為當量應力，Pa；σ1，σ2和σ3分別為第一、第二和第三主應力，Pa。

4 算例分析及結果討論

根據上述算法，使用MATLAB計算軟件，編寫了管道受力、變形計算程序，并以忠武輸氣管道沿線小擔子埡滑坡[12]為例，對管道受力、變形特性進行了分析。

斜坡地層為志留系龍馬溪組黃綠色頁巖，表層覆蓋殘坡積碎塊石土，滑體厚度為2～4m，平均寬度l=40m，管道從滑坡體中下部通過。滑坡體變形模量E0=0.035GPa，泊松比υs=0.35，滑坡體對管道的作用力q=4.35 kN/m。

管道材料為X65型鋼，彈性模量E=207GPa，最低屈服極限σs=450MPa。管道規格為Φ711mm×7.9mm，即外徑D=711mm，壁厚t=7.9mm，管道輸送壓力p=4.0MPa。

由于模型參數受多種因素影響，針對不同工況和土體情況劃分不同參數取值較為困難。因此，本文針對特定的工況對參數進行取值，并以此為標準選取較大值、較小值研究各參數對管道受力變形的影響作用。為研究軸向載荷、地基反力系數及地基剪切剛度對管道變形和受力的影響，分別對考慮軸向載荷和不考慮軸向載荷、不同地基反力系數及不同地基剪切剛度條件下管道受力變形進行計算。

4.1 軸向載荷

為了研究軸向載荷對管道變形和受力的影響，分別計算Pasternak地基模型和Winkler地基模型管道在考慮軸向載荷和不考慮軸向載荷作用下的撓度、彎矩和Mises應力。計算結果見圖5(由于管道變形對稱，因此取管道長度l/2進行計算)。

由圖5(a)可知：考慮軸向載荷作用時，2種地基模型計算的撓度都要小于不考慮軸向載荷時的計算結果，說明軸向載荷對減小管道變形有利，在設計計算時應給予考慮。由于雙參數彈性模型彌補了Winkler模型在描述實際土體連續性態中所固有的缺陷，因此考慮軸向載荷的Pasternak模型具有更高的計算精度。

由圖5(b)～(c)可知：考慮軸向載荷作用時，2種地基模型計算所得彎矩要小于不計軸向載荷時的計算結果，管道Mises應力大于不計軸向載荷時的計算結果。截面A與截面C彎矩及Mises應力取極值，應該作為管道強度設計和校核的控制點，并將其作為研究重點。

圖5 管道撓度、彎矩及Mises應力與管道沿程的關系Fig.5 Relationship between pipeline deflection,bending moment,Mises stress and pipeline

軸向載荷并沒有改變管道受力、變形的變化規律，但對計算結果產生了顯著影響，在管道強度的設計和校核中是不可忽略的，因此下述各節計算中均考慮軸向載荷。

4.2 地基反力系數

計算不同地基反力系數管道撓度、彎矩及Mises應力。計算結果見圖6。

由圖6可知：管道撓度、截面C上的彎矩與Mises應力隨地基反力系數的增加呈下降趨勢，而截面A上的彎矩與Mises應力呈上升趨勢。地基反力系數的增加，加強對管道截面A上的約束，增大彎矩載荷，提高Mises應力水平；土體對管道截面A上約束的加強，減小截面C上的彎矩，降低Mises應力水平。

當地基反力系數較大時，Pasternak地基模型與Winkler地基模型的計算結果相近(圖6)。因為地基反力系數較大時，荷載對臨近單元體的傳力作用減弱，管道受力變形性狀主要受地基反力系數影響，Pasternak模型近似退化為Winkler模型。

4.3 地基剪切剛度

計算不同地基剪切剛度管道撓度、彎矩及Mises應力，計算結果見圖7。

由圖7可知：管道撓度、截面C上的彎矩及Mises應力隨地基剪切剛度增加呈上升趨勢，而截面A上的彎矩及Mises應力呈下降趨勢。地基剪切剛度的增加，加強土彈簧間的傳力性能，減弱土體對管道截面A上的約束，減小截面A的彎矩載荷，降低Mises應力水平；土體對管道截面A上約束的減弱，增加截面C上的彎矩，提高Mises應力水平。

地基剪切剛度較大時，荷載對臨近單元體的傳力作用較大，減弱土體對管道的約束作用，地基剪切剛度對管道受力變形性狀有較大影響，這也是基于Winkler模型的彈性地基梁法誤差較大的原因。

圖6 不同地基反力系數時管道撓度、彎矩及Mises應力與管道沿程關系Fig.6 Relationship between pipe deflection,moment and Mises stress and pipeline under different coefficient of subgrade reaction

圖7 不同地基剪切剛度時管道撓度、彎矩及Mises應力與管道沿程關系Fig.7 Relationship between pipe deflection,moment and Mises stress and pipeline under different shear stiffness of foundation

5 結論

1)基于Pasternak模型的滑坡段管道受力分析方法彌補了基于Winkler模型的彈性地基梁法的固有缺陷，能夠考慮荷載對臨近單元體的傳力性，具有更高的計算精度。

2)軸向載荷對減小管道變形有利，對滑坡段管道受力影響顯著，在埋地管道強度設計和校核中不能忽略。

3)地基反力系數較大時，荷載對臨近單元體的傳力作用減弱，管道受力變形性狀主要受地基反力系數影響，Pasternak模型近似退化為Winkler模型，2種模型計算結果相近。

4)地基剪切剛度較大時，荷載對臨近單元體的傳力作用較大，減弱了土體對管道的約束作用，對管道受力變形性狀有較大影響。