基于三維坐標的轉臺定位精度標定方法

李洋，曹鐵澤，瞿劍蘇

（航空工業北京長城計量測試技術研究所，北京100095）

0 引言

轉臺是一種復雜的集光機電于一體的現代化設備［1］，在多個領域中有著廣泛的應用。例如，在飛行器的研制中，轉臺能夠模擬飛行器的各種姿態，復現其運動時的各種特性，實現對其性能指標的仿真。軍事上，雷達天線的瞄準控制，高射炮、戰術導彈發射架的跟蹤控制，坦克、軍艦的炮塔運動控制等都是基于轉臺運動來實現的［2］。因此準確標定轉臺的轉動精度是非常重要的。

傳統轉臺定位精度標定的方法主要有多齒分度臺法和平行光管加多面棱體的方法［3］。多齒分度臺法受限于分度臺的齒數，無法實現任意角度的標定。平行光管加多面棱體的方法多用于水平的一維轉臺標定，當轉臺非水平或轉臺軸心不可見時，該方法不再適用［4］。針對傳統轉臺定位精度標定的劣勢，本文提出了一種基于坐標測量的轉臺定位精度標定方法。通過在轉臺上布置定位點，隨轉臺運動一周得到多組點坐標值；利用空間圓擬合算法得到圓和圓心坐標；再通過坐標系轉換算法消除轉臺的軸向誤差，進而得到轉臺轉過的角度。該方法操作簡單，可對多軸轉臺、異形轉臺實現高精度的標定。

1 標定方案

1.1 測量方法

首先在需要標定的轉臺臺面上設置一個定位點，該定位點通過緊固裝置固定在臺面上，可以跟隨轉臺一起運動，且運動與臺面沒有相對位移，示意圖如圖1所示。

設轉臺從0°開始運動，依次轉過角度值αi，（i=1，2，…，n），每到達一個位置后停止，由測量設備對定位點進行測量。轉臺運動一周后，得到一組測量點的坐標值

圖1 轉臺測量定位點示意圖

1.2 空間圓擬合

理想情況下，定位點隨轉臺運動一周，得到的測量點應處在同一平面內，即轉臺旋轉平面。但由于測量儀器的測量誤差和轉臺的軸向跳動的存在，實際情況下測量點不在同一平面。因此應采用空間圓的擬合方法進行處理［5］。

空間圓可以看作由1個球面與1個過球心的平面相交而成的空間曲線，如圖2所示。

圖2 空間圓示意圖

Π表示平面，其方程定義為

式中：A，B，C為平面法向量n的分量；D為常系數。

Ω表示球面，其方程定義為

式中：（x0，y0，z0）為球心坐標；（xi，yi，zi）和 （xj，yj，zj）為球面上任意兩點。聯合上述2個方程可以得到空間圓方程。確定空間圓方程，需要求解 A，B，C，D，x0，y0，z0共7個參數。

利用定位點坐標、圓心坐標和空間圓所在平面方程建立目標函數。任意2個測量點Pi，Pj到球心O的距離分別為

理想情況下，公式應滿足

即任意2個測量點到圓心的距離均相等。

同時，任意1個測量點Pi到平面Π的距離為

即任意一個測量點到平面的距離都為0。上述2個公式聯合，建立目標函數

1.3 權值分配

對于旋轉半徑可達幾米甚至幾十米的大型轉臺，由于儀器測量不確定度通常與距離成正比，當儀器分別測量近距離定位點和遠距離定位點時，不確定度會相差很大。如果按照等權值建立目標函數，會導致不確定度大的測量點所占比重過大，使目標函數失真。針對此問題，采用不確定度加權融合的算法，優化目標函數。構建過程如下：

根據A類標準不確定度評價方法［6］，令儀器在短時間內對定位點Pi重復測量m次，得到測量結果：（xil，yil，zil），（l=1，2，…，m），將其算術平均值作為估計值，即為定位點 Pi的坐標值 （xi，yi，zi）。計算標準偏差為

定位點Pi測量結果的合成標準不確定度uci應滿足不確定度合成原則［7］，同時對每個定位點Pi賦予權值σi，則有

式中：γ為常數因子。σ1，σ2，…，σn為未知量，對未知量求導，并且令

通過求解上述方程組，得到多組未知量的解，但只有一組解滿足要求，能夠使定位點的總體不確定度最小。

假設滿足要求的權值向量為 σ=［σ1，σ2，…，σn］，將該向量引入目標函數，將目標函數優化為

圓擬合的基本原則為：不共線的3個點可以擬合一個圓。即當轉臺運動3個位置時可以得到一個空間圓方程。轉臺繼續增加運動位置。假設共運動了N個位置，由式（4）和（6）可知，共可以建立個方程。目標函數 F共包含有 A，B，C，D，x0，y0，z07個未知參數，當方程數大于未知數時，數據存在冗余，可以利用相關最小二乘法，得到參數的最優解［8］。

1.4 軸向誤差的消除

由于轉臺運動的軸向跳動及測量儀器的測量誤差均會帶來轉臺軸向的角度變化，如果直接計算初始定位點和當前定位點與圓心連線的角度，得到的是包含軸向角度變化的空間角度值，不能真正反映轉臺的轉動值。因此，需要消除軸向角度。

首先，測量時一般默認坐標系為測量儀器坐標系，需要將坐標系變換到到空間圓上。

坐標系做如下轉換：擬合空間圓的圓心為坐標系原點；空間圓所在平面的法矢量方向為Z軸，轉臺初始狀態下圓心指向目標點的方向為X軸，如圖3所示。

圖3 坐標系示意圖

坐標系轉換公式如下

式中：［X，Y，Z］T為原始坐標系下目標點坐標值；［X′，Y′，Z′］T為 新 坐 標 系 下 目 標 點 坐 標 值；［ΔX，ΔY，ΔZ］T為平移參數；R為旋轉參數，由三個方向軸旋轉矩陣組成。R可表示為

設轉臺繞X軸的旋轉角度為α，繞Y軸的旋轉角度為β，繞Z軸的旋轉角度為γ。于是有

通過代入原始坐標系與新坐標系下圓心坐標值、初始目標點的坐標值以及平面法向量，求解得到平移參數 [ΔX，ΔY，ΔZ]T和旋轉參數R，實現坐標系的轉換［9］。

將笛卡爾坐標系變換為球坐標系，從而分離軸向角度變化值。轉換公式為

式中：r為半徑值；φ為水平角；θ為垂直角。

φ即為轉臺沿臺面轉過的角度值；θ即為轉臺由于軸向誤差引起的角度變化量。

2 優化方案

通過第1部分的分析可以得出，角度標定精度的高低與空間圓擬合的好壞以及測量精度有直接關系。下面逐一進行分析。

2.1 提高空間圓擬合精度

通過1.2節分析可知，轉臺運動3個位置即可得到空間圓方程，當轉臺運動位置增加時，冗余數據增加，通過最小二乘法可以提高擬合精度。

運用MATLAB進行仿真實驗，在半徑為100 mm的圓的圓周上分別提取不同數量的坐標點，給這些點添加滿足正態分布的隨機變量，模擬測量誤差。再分別進行擬合，得到結果如圖4所示。

圖4 不同數量測量點仿真擬合結果

同時，轉臺測量點位置的分布方式也對擬合精度有影響。當測量點位置分布在整個圓周時，對擬合圓的約束最強，當測量點位置只分布在圓周的某一部分時，對擬合圓的約束較低，容易造成擬合圓不準確，如圖5所示。

圖5 測量點分布擬合圓示意圖

運用MATLAB進行仿真實驗，在半徑為100 mm的圓的整個圓周和部分圓周上分別提取坐標點，給這些點添加滿足正態分布的隨機變量，模擬測量誤差。再分別進行擬合，得到結果如圖6所示。

圖6 不同分布測量點仿真擬合結果

由圖6可知，轉臺測量點的位置應盡量分布在整個圓周上，同時增加轉臺測量點的數量，可以有效提高空間圓擬合的準確性。

2.2 提高測量精度

空間圓是基于坐標值擬合的，因此坐標測量精度越高，得到圓的擬合準確性就越高。

目前常見的坐標測量設備有橋式三坐標測量機、激光跟蹤儀和關節臂測量機等［8］。橋式三坐標測量機測量不確定度最小，可以達到U=0.6μm（k=2），但是受制于測量范圍和測量方式，不適用于轉臺測量。

激光跟蹤儀測量不確定度可以達到U=（0.015+0.006 L）mm（k=2），其中L單位為m。測量范圍最遠可以達到80 m，設備體積小，便攜性好，應用場景多。綜合整個測量過程和測量不確定度來看，激光跟蹤儀是目前轉臺測量最合適的測量設備［9］。激光跟蹤儀如圖7所示。

圖7 激光跟蹤儀

激光跟蹤儀通過測距和測角得到距離值、水平角度值以及俯仰角度值，進而得到球坐標系下的坐標值。測量時會轉換為笛卡爾坐標值。

設激光跟蹤儀對空間某點Q的水平度盤讀數、垂直度盤讀數和斜距測量值分別為（α，β，L）。通過式（19）可得到被測點Q的三維坐標值

在測量誤差相同的情況下，旋轉半徑越大，對應的角度值越小。如圖8所示。

圖8 測量半徑示意圖

以360齒多齒分度臺為例，分度臺半徑約為100 mm，通過增加加長桿將半徑增加到約200 mm及500 mm。分別在臺面和加長桿上布置定位點。令多齒分度臺旋轉一周，每隔60°用相同測量設備進行測量。擬合與坐標系轉換后得到的結果如圖9所示。

圖9 不同旋轉半徑測量示值誤差

可以看到，隨著旋轉半徑的增加，角度誤差明顯減小。因此，在標定實驗中，應保證測量點盡可能分布在整個圓周上，同時測量點數量盡可能多，旋轉半徑盡可能大。

3 實驗

3.1 一維轉臺標定比對實驗

為驗證上述方法的可行性，對某實驗室一維水平轉臺的轉角精度進行標定，分別采用平行光管加12面棱體和激光跟蹤儀的方法。激光跟蹤儀的型號為AT960-MR。

將12面體棱鏡通過連接機構固定在轉臺的軸心上，并調整使之與轉臺同軸。將跟蹤儀1.5″的角隅反射鏡分別固定在轉臺臺面和延長桿上，如圖10所示。

圖10 一維轉臺定位點示意圖

在轉臺初始0°處，調整棱鏡使其與平行光管準直，并進行平行光管測量；激光跟蹤儀對定位點重復測量10次，采樣時間設置為2 s；讓轉臺順時針運動，每到棱鏡面與光管接近準直處附近停下，調整直到準直完成；分別使用平行光管和激光跟蹤儀進行測量。轉臺旋轉一周，數據測量處理方法同第二部分。得到的結果如表1所示。

表1 一維轉臺標定結果

根據結果可知，采用坐標測量方法對轉臺定位精度進行標定是可行的。通過延長旋轉半徑可以有效提高標定精度，使之與平行光管加多面棱體的標定方法精度接近。

3.2 三維轉臺標定實驗

對某三維轉臺進行標定，如圖11所示。該轉臺三個軸的軸心均為虛擬軸心，且俯仰軸和自旋軸為異形軸，平行光管加多面棱體無法安置，無法測量。而使用坐標測量的方法則操作簡單，快速準確。

將1.5″的角隅反射鏡分別固定在水平軸、俯仰軸、自旋軸相應臺面上。令三個軸分別進行轉動，每30°停下，激光跟蹤儀對定位點重復測量10次，采樣時間設置為2 s，數據處理方法同第二部分。得到結果如表2所示。

可以看到，坐標測量的方法準確且高效，可廣泛應用于各類轉臺的定位精度標定。

圖11 某三維轉臺示意圖

表2 三維轉臺標定結果

4 結論

本文研究了一種基于坐標值的轉臺定位精度標定方法，通過坐標測量設備對布置的定位點進行測量，之后進行空間圓擬合，權值優化，消除軸向誤差，最終得到轉臺角度值；分析了影響標定精度的因素，提出了提高標定精度的措施。本文方法與傳統標定方法相比，具有操作簡單、效率高等優點，可對多軸轉臺、異形轉臺進行標定，應用范圍廣；通過設置延長桿增加轉臺的旋轉半徑，可以使標定精度與平行光管加多面棱體方法的精度接近；通過實驗驗證了本文方法的可行性與準確性，因此，基于三維坐標值的轉臺定位精度標定方法值得推廣使用。