基于模型參數不確定的欠驅動非對稱自主水下航行器全局鎮定控制研究

邸青， 周競燁， 方凱， 姚佳琪， 李家旺

(寧波大學 海運學院, 浙江 寧波 315211)

0 引言

自主水下航行器(AUV)作為一種智能化的運載平臺，憑借其隱蔽性強，搭載模塊靈活，可無人執行危險任務等優點，在掃雷反潛、海洋科學調查、搶險救災等領域獲得了廣泛的關注和應用[1-3]。其中，AUV的水平面鎮定控制問題一直是相關領域研究的熱點之一。欠驅動AUV屬于非完整系統和強非線性系統[4]，由Brocket定理知此類系統無法通過光滑連續時不變控制算法實現鎮定[5]，因此使得其控制器設計存在一定的困難。對此，國內外學者作了大量研究。李曄等[6]和關海濱等[7]通過微分同胚變換將AUV模型轉換為級聯形式的非線性系統，實現全局鎮定控制器的設計。Fischer等[8]基于切換控制方法設計了時變光滑控制律以實現鎮定控制。

但需要指出的是，以上研究均未考慮模型參數不確定性及未知海洋環境干擾對AUV運動控制的影響。為此，Xie等[9]針對水面運載器鎮定控制存在的參數未知問題，通過李雅普諾夫函數遞推設計方法估計模型參數，并利用反步法實現了對虛擬輸入誤差的鎮定控制設計。Qiu等[10]通過構造自適應滑模控制律實現了模型參數不確定情況下的軌跡跟蹤控制。Dong等[11]針對存在定向海流干擾因素的鎮定問題，利用反步法設計了全局反饋控制律，但其假定海流方向恒定且與目標點艏向角一致，存在一定的局限性。此外，AUV一般都具有一定的非對稱性，而上述研究均假設AUV前后和左右完全對稱，忽略了慣性力矩陣和阻尼矩陣中非對角項元素的影響以及由此引發的動力學耦合特性，存在一定的建模誤差和應用限制[12]。為此，Ma等[13]和陳功等[14]通過構造級聯系統，使用反步法為非對稱運載器設計了非連續反饋控制律，該方法收斂速度緩慢，無法嚴格鎮定至平衡點。

在上述研究基礎上，本文針對考慮參數不確定性和時變海流干擾作用下的非對稱AUV水平面鎮定控制問題進行研究。首先，考慮模型不確定性因素對控制的影響，提出一種自適應控制律估計未知模型參數。在此基礎上，為消除非對稱作用項引起艏搖和橫蕩方向上的耦合影響，通過全局坐標變換，將系統解耦為推進子系統和偏航子系統并分別進行控制設計。針對偏航子系統，通過引入一個2階濾波器，使得偏航角速度在推進子系統狀態未收斂至零點狀態下始終具有持續激勵特征。針對推進子系統，通過坐標變換，將其轉換成較為簡單形式進行控制設計。最后，通過數值仿真對所提出的控制策略進行驗證。

1 AUV模型和問題描述

欠驅動AUV水平面運動包含艏搖、縱蕩和橫蕩3個方向上的運動，僅通過前進推力和偏航力矩兩個控制輸入實現AUV的控制，其模型如圖1所示。圖1中：OExEyE表示大地坐標系；OBxByB表示隨體坐標系，點OB通常取AUV重心或浮心的位置[15]。

圖1 欠驅動AUV水平面運動模型及坐標定義Fig.1 Horizontal plane motion model of underactuated AUV and definition of reference frames

因此，AUV的水平面運動方程[15]可表示為

(1)

為便于后續分析，(1)式可表示為

(2)

(3)

式中：

(4)

2 欠驅動AUV鎮定控制器設計

2.1 模型參數觀測器設計

考慮到在現實中，雖然AUV的模型參數難以精確可知，但其數值所在區間往往是確定的。因此，本文給出以下假設：

假設1未知AUV模型參數ζui、ζvi、ζri滿足ζhi∈[ζhimin,ζhimax]，其中ζhimin和ζhimax均為已知常數，h=u,v,r，i=1,2,…,5.

在此基礎上，建立如下狀態觀測器：

(5)

(6)

式中：ku、kv、kr和kxE、kyE、kψ均為正常數；hi表示ζhi的觀測值，其定義[16]為

(7)

Proj(αhi,hi)=

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(10)式，對其求導可得

(12)

綜上，定義李雅普諾夫函數V3=V1+V2并求導，可得

(13)

(14)

(15)

需要指出的是，根據觀測誤差的收斂性和(9)式，為了簡化設計，(15)式中hi都可近似認為是常數。

2.2 模型轉換

為了消除由非對稱模型引起的艏搖方向和橫蕩方向的耦合影響，引入如下坐標變換：

(16)

(16)式代入(14)式和(15)式，此時，為了便于后續控制設計，可將(14)式和(15)式改寫為

(17)

(18)

定義鎮定誤差[17]為

(19)

式中：(xEd,yEd)為期望鎮定點坐標；ψd為期望艏向角。

結合(17)式，對(19)式求導，可得

(20)

引入矩陣變換

(21)

并代入(17)式，可得

(22)

2.3 鎮定控制器設計

基于上述分析，為方便控制器設計，本文將對兩個子系統：偏航子系統Σ1:[,]T和推進子系統分別進行設計。

2.3.1 偏航子系統設計

首先，考慮到通常情況下AUV的偏航角ψ∈[0 rad,2π rad)，因此可對其作歸一化處理[18]：

s=0.5π{1-sgn [cos]}sgn [sin]+

(23)

此時，偏航子系統Σ1運動模型(18)式可表示為

(24)

為了保證當推進子系統Σ2未實現鎮定時角速度r符合持續激勵條件，引入變量?ψ，并令其滿足以下2階濾波器形式：

(25)

式中：Γ、χ、k3和k4為正常數。定義j=s+?ψ，結合(24)式求導，可得

(26)

設計控制輸入τr：

(27)

式中：k1、k2均為正常數。將(27)式代入(26)式，則有

(28)

2.3.2 推進子系統設計

針對推進子系統Σ2：

(29)

結合(20)式和(22)式可得

(30)

令ρ=-σv2/σv1，有

則(30)式可展開，并簡化為

(31)

定義新的狀態變量：

(32)

式中：β=tanh(kε2)，kε為正常數。

(32)式代入(31)式，可得

(33)

設計控制輸入τu：

(34)

式中：kp為正常數。(34)式代入(33)式，可得

(35)

綜上可知V5≥0，結合(35)式對V5求導，可得

3 仿真結果及分析

為了對本文所提參數觀測器和鎮定控制算法的有效性進行驗證，采用如下模型數據進行數值仿真實驗[19]：m11=25.8 kg，m22=33.8 kg，m33=2.76 kg·m2，m23=6.2 kg·m，m32=6.2 kg，d11=0.925 7 kg/s，d22=2.890 9 kg/s，d23=0.2 kg·m/s，d32=0.2 kg/s，d33=0.5 kg·m2/s. 此外，不確定參數的界限值ζhimax、ζhimin分別定義為1.2ζhi和0.8ζhi. 設定AUV的初始狀態為η=[20 m,-20 m,0 rad]T和ν=[0 m/s,0 m/s,0 rad/s]T，期望鎮定狀態為ηd=[0 m,0 m,0 rad]T和νd=[0 m/s,0 m/s,0 rad/s]T.

模型觀測器參數設定為γu1=γv4=γr4=2 000,γu2=γu3=γu4=γv1=γv2=γv3=γr1=γr2=γr3=5，kxE=kyE=kψ=10,ku=kv=kr=1. 鎮定控制器參數設定為k1=0.7，k2=2，k3=20，k4=1，kp=1，kε=10，χ=8和Γ=10. 仿真時間t設為400 s. 作為對比，本文以文獻[9]中控制方法作為參照對象。無海流干擾情況下的AUV水平面鎮定仿真結果如圖2所示。

圖2 無海流干擾情況下AUV水平面鎮定控制仿真結果Fig.2 Simulated results of stabilization of AUVs on horizontal plane without current disturbance

由圖2可知：在無海流干擾情況下文獻[9]控制方法由于未考慮模型非對稱因素影響，偏航角度出現的大幅度抖振，難以收斂至零點的情況；而本文控制方法由于考慮了模型非對稱因素的影響，因此控制精度更高，鎮定誤差僅在100 s內即可基本收斂到零點附近一個較小的區間內；同時，本文方法的鎮定軌跡更為光滑，且控制輸入均較文獻[9]方法微小，有效地減小了實際工況中可能出現的輸入飽和情況的影響。

為了驗證本文所設計模型參數觀測器的性能，圖3給出了AUV的速度觀測誤差變化情況。

圖3 模型參數觀測器速度觀測誤差Fig.3 Velocity error of model parameter observer

由圖3可知，各方向速度估計誤差能夠較快地收斂至零附近一個很小的領域，說明本文設計的模型參數觀測器所獲取的模型參數估計值可較好地逼近其實際值，其有效性得到了驗證。

為了進一步驗證本文控制器對未知時變環境干擾的魯棒性，本文針對存在時變海流干擾情況進行了數值仿真。海流干擾下AUV的位置方程可改寫為

(36)

式中：vxE和vyE分別表示大地坐標系OExEyE中xE軸方向和yE軸方向上的海流速度，其具體數值設定為

(37)

仿真結果如圖4所示。由圖4可知，與文獻[9]方法相比，當存在時變海流干擾時，本文設計的控制方法依然可以在保持較快的鎮定誤差收斂速度，較好的控制精度和光滑的鎮定軌跡前提下，以較小的控制輸入實現鎮定控制目標，說明本文控制方法具有較好的抵抗外界干擾魯棒性能。

圖4 時變海流干擾作用下AUV水平面鎮定控制仿真結果Fig.4 Simulated results of stabilization of AUV on horizontal plane with time-varying current disturbance

4 結論

本文研究了模型參數不確定情況下欠驅動非對稱AUV的水平面鎮定控制問題。通過設計參數自適應律對未知參數進行估計，在考慮非對稱模型影響情況下，利用坐標變換將系統分為兩個級聯子系統分別進行控制設計。最后基于李雅普諾夫理論證明了系統的全局穩定性，通過與文獻[9]控制方法的仿真實驗對比，驗證了本文所提控制策略的有效性和可靠性。得出以下主要結論：

1)本文所設計的控制算法考慮了模型非對稱因素的影響，可實現欠驅動AUV水平面運動鎮定誤差的全局漸近穩定，且與現有類似算法相比具有較好的控制性能。

2)基于參數自適應律的模型誤差觀測算法能夠有效地減小模型不確定對系統控制性能的影響。此外，本文控制器在考慮外界環境干擾情況下仍具有較好的控制精度和光滑的鎮定軌跡，說明該方法對環境干擾具有良好的魯棒性能。

后續工作包括探索將本文控制方法拓展至三維空間鎮定問題和進一步考慮諸如輸入飽和等限制條件下的控制問題。