基于二元決策圖的護航編隊多階段任務體系可靠性分析

卞瑞兵， 張揚， 潘正強， 程志君， 白森洋

(1.國防科技大學 系統工程學院， 湖南 長沙 410073； 2. 92942部隊， 北京 100089)

0 引言

護航編隊是一個典型的多階段任務體系(PMSoS)，涉及的平臺包括驅逐艦、護衛艦、綜合補給艦和艦載直升機，各平臺的組成系統也比較復雜，主要有指揮控制系統、通信系統、機動系統、對海偵查系統、定位系統和火力打擊系統，且系統壽命服從不同類型的分布，在各階段的完成任務要求也各不相同，因此對整個體系可靠性提出了很高的要求。目前，國內外對護航編隊PMSoS可靠性方面的研究還比較少，為了提高編隊遂行護航任務的成功率，保護航行海域中外船舶以及人員的安全，本文對護航編隊遂行多階段任務的可靠性進行分析，為編隊制定任務方案提供一個分析的依據。

圖1 護航編隊各階段任務可靠性框圖Fig.1 Reliability block diagram of each phase mission for escort formation

多階段任務系統(PMS)是指包含有多個必須按順序完成、不重疊的操作系統或任務階段的系統[1]。與單階段任務系統相比，由于給定系統(元件)在不同階段之間具有相關性，使得PMS的可靠性分析更加復雜。具體來說，假設系統及其元件在任務期間不可修復，則系統(元件)在一個階段開始時的狀態應該與其在前一個階段結束時的狀態相同。現有的PMS可靠性分析方法主要有仿真和分析建模兩類[2]：仿真方法對于系統表示而言，通用性很好，但計算量較大，并且只能得到系統可靠性測量的近似結果[3-6]；分析建模技術實現了系統表示的靈活性、解決方案的易用性，因此吸引了大量學者進行研究。現有的分析建模方法可以分為基于狀態空間的模型[7-15]、組合模型[1,7-9,14-17]和模塊化方法[18-20]3類。文獻[10-11，15]中提出利用Markov模型，文獻[12]中采用分層和模塊化的方法，文獻[13]中采用Markov模型和Petri網模型對多階段任務進行分析，都屬于基于狀態空間的動態模型，能夠表示PMS各平臺或系統之間復雜的依賴關系，但在求解上有很大的局限性。模塊化方法[18-20]采用二元決策圖(BDD)和Markov模型分別計算系統中靜態模塊和動態模塊，結合了二者的優點，但只能計算壽命服從指數分布的情況。

BDD是組合模型方法中的一種重要方法。傳統的PMS可靠性BDD模型使用布爾代數規則處理給定系統(元件)在不同階段間的相關性，采用這種方式得到的BDD模型只能計算PMS總體任務的可靠度，不能計算任務在某一階段的可靠度。但是對于護航編隊，包括多艘艦船，是由多個平臺構成的裝備體系，相對于一般的PMS，呈現組成系統多、功能復雜、階段依賴性強等特點，在這里稱之為PMSoS. 同時，在編隊執行護航任務過程中，不僅關注總體任務的可靠度，各階段任務的可靠度也非常重要，掌握各階段任務的可靠度有助于對各階段方案的可行性進行判斷，從而適時調整裝備配置或計劃方案。

為解決上述問題，本文采用基于BDD的組合分析方法，根據共同失效基本任務對階段故障樹進行化簡，大大簡化了護航編隊PMSoS的分析和計算過程，并采用BDD建模方法，對編隊任務體系各階段成功事件進行分析，計算總體任務以及總體任務進行到各階段的可靠度。

1 護航編隊各階段任務可靠性框圖建模

護航編隊的典型編成，包括1艘驅逐艦、1艘護衛艦、1艘綜合補給艦和2架直升機。編隊由驅逐艦擔任指揮艦，相對于護衛艦和綜合補給艦，配備了對岸衛星通信系統和編隊指揮系統，驅逐艦和護衛艦相對于綜合補給艦還配備了對海雷達搜索系統，其余系統包括機動、定位、通信等基本相同。任務階段包括航行階段、進入海盜出入區域對海警戒階段、對靠近海盜實施直升機驅離攻擊階段和返航階段。

1.1 模型描述

記字母d、f和c分別表示驅逐艦、護衛艦和綜合補給艦；字母A～O分別代表各裝備系統；符號下標中的數字代表任務的各個階段，則t1、t2、t3和t4分別表示航行階段、對海面警戒階段、驅離攻擊階段和返航階段的結束時間。

1.2 各階段任務可靠性框圖

在對PMSoS的可靠性進行分析之前，首先要明確各階段任務的持續時間及系統各部件在各階段中的可靠性邏輯關系，圖1給出了護航編隊在各階段任務的可靠性框圖。

在航行階段中，完成任務要求驅逐艦的指揮、對岸通信系統以及3艘艦的機動和編隊內部通信系統必須處于正常狀態，且3艘艦的定位系統中至少有2個處于正常狀態才能完成整個編隊的定位，任務持續時間為(0,t1)；在對海警戒階段中，完成任務要求驅逐艦的指揮、對岸通信系統以及驅逐艦和護衛艦的機動、編隊內部通信和定位系統必須處于正常狀態，且2艘艦的海面雷達搜索系統中只要有1個處于正常狀態，就能通過編隊內部通信系統完成信息共享，持續時間為(t1,t2)；在驅離攻擊階段中，要求在海面雷達發現目標后，依據海盜的規模保證有1架直升機起飛就可以完成任務，持續時間為(t2,t3)；在返航階段，完成任務要求和航行階段相同，持續時間為(t3,t4)。

2 PMSoS可靠性分析的BDD算法

采用BDD方法進行PMSoS可靠性分析主要包括以下5個步驟：1)給出多階段任務可靠度計算模型；2)根據任務繪出相應的階段故障樹；3)將各階段故障樹轉化為各階段任務的BDD；4)先根據共同失效基本任務化簡故障樹，然后連接階段 BDD得出階段成功事件的BDD模型；5)簡化模型并定量計算。

2.1 多階段任務可靠度計算模型

Sq=R1∩R2∩…∩Rq,

(1)

(1)式表示當任務在階段q成功時，階段q之前的各階段任務必須是成功的。進一步得到任務在各階段的可靠度為

P(Sq)=P(R1∩R2∩…∩Rq),

(2)

由于在PMSoS中，同一個系統可能重復在多個階段出現，而且在每個階段的狀態互相不獨立，其失效也可能對不同階段產生不同的影響，而任何一個階段任務的失效都會導致整個任務的失效，所以這里不能簡單地將每個階段的可靠度相乘得到總體任務的可靠度。且由(2)式可知，多階段任務R在最后一個階段的可靠度也即總體任務的可靠度。

2.2 階段故障樹

根據圖1中護航編隊各階段任務可靠性框圖，可以轉化為相應的階段故障樹，如圖2所示。

圖2 護航編隊各階段任務故障樹Fig.2 Fault tree of each phase mission for escort formation

2.3 階段任務故障樹轉化為階段任務BDD

階段任務故障樹轉化為階段任務Rq的BDD之前，需要對故障樹中的基本事件變量排序。按照從上至下、由左到右依次遍歷各階段故障樹對基本事件變量排序，給出R1、R2、R3和R4的基本事件順序如下：

R1：A

R2：A

R3：A

R4：A

進一步，得到Rq的BDD，如圖3所示。任務開始后，所有系統均參與工作，當系統在某一階段失效時，由于不可修，其失效狀態對后續階段也會產生影響，因此在繪制階段BDD時要考慮系統的失效時域。如在圖3中，L失效不論是在R1中發生還是在R2中發生，都會影響R2發生失效。因此，L的失效時域為(t0,t2)，在R2的BDD中L失效表示為L(0,2)。

圖3 護航編隊各階段任務BDDFig.3 BDD of each phase mission for escort formation

2.4 連接階段任務 BDD得出Sq的BDD

在護航編隊多階段任務可靠性模型中，存在較多的冗余結構，如n中取k結構，以及共同失效基本任務，導致分析體系失效邏輯得到的故障樹通常都是帶重復的故障樹。

在構造BDD過程中，各系統在多階段之間遵循下面的規則(i

規則1系統A在第i和第j階段都處于正常工作狀態與系統A在第j階段處于正常工作狀態等價。因為系統不可修復，如果在某個階段是正常工作的，那么在之前的所有階段也一定是正常工作的。

規則2系統A在第i和第j階段都處于失效狀態與系統A在第i階段處于失效狀態等價。因為系統不可修復，如果在某個階段一旦失效，那么在之后的所有階段也一定處于失效狀態。

根據規則2，有如下定義：

共同失效基本任務。在護航編隊PMSoS中，如果某個基本任務在q+1階段直接導致了整個體系失效，那么在q階段和之前該基本任務出現過的所有階段，該基本任務失效都將直接導致任務體系失效。

由(1)式可知，Sq的BDD由Rq的BDD和階段q之前的各階段的成功BDD通過“邏輯與”關系連接而產生。因此，對于Sq來說，為了簡化計算，首先根據共同失效基本任務化簡故障樹，然后連接化簡后的階段BDD得出Sq的BDD.

對于共同失效基本任務A，假設其在第q階段直接導致體系失效，則：在第1階段到q-1階段的樹中，A處于正常狀態，進一步，如果A在或門下，其不會導致上層事件發生故障，則可以刪去代表A的底事件；在第1階段到q-1階段的樹中，假設A對于Fp(1

對于S2=R1∩R2，由圖2可知：存在共同失效基本任務A、B、C、D、F和G，則刪去階段1中在或門下的A、B、C、D、F和G，得到前兩個階段即F2化簡后的任務故障樹，如圖4中圖4(a)所示。然后將R2的BDD根節點與化簡后R1的BDD的0狀態終點連接，則護航編隊在第2階段任務成功S2的BDD為連接后BDD中通往0狀態終點的路徑，如圖5中(t1,t2)階段所示。

圖4 Fq化簡后的故障樹Fig.4 Simplified fault tree of Fq

所以護航編隊在第1階段任務成功S1的BDD即為R1的BDD中通往0狀態終點的路徑，如圖5中(t0,t1)階段所示。

圖5 Sq的BDDFig.5 BDD of Sq

2.5 簡化模型

由圖5中Sq的BDD可以得到PMSoS在階段q滿足任務成功條件的不交路徑集Lq，其中Lqk表示Lq的第k條路徑。對各變量的下標進行了簡化表示，例如：C01表示C(t0,t1)。但是，通過遍歷路徑所得到Lqk的表達式往往過于復雜，在進行定量計算時需要對其進行簡化[22]。

令平臺中第y個系統的狀態指示變量為

(3)

式中：y=1,2,…Y，且Y為平臺中系統的數量，則有

(4)

(4)式表示：如果系統y在時間段(t0,tq)內沒有發生失效，那么它必將在tq后的某一時刻失效，(4)式的t0為PMS的任務開始時間。

根據同一事件發生的時序邏輯關系，可以對不同時段內具有“邏輯與”關系的xy作如下簡化：

xy(tp1,tq1)xy(tp2,tq2)=
xy(max(tp1,tp2),min(tq1,tq2)),

(5)

經過上述方法簡化后路徑中不再存在系統的階段依賴性，并且各路徑也是不相交的。表1列出了S1的BDD不交路徑集簡化表達式。

表1 S1的不交路徑集簡化表達式

由于通過BDD得到的各路徑不相交，因此可得

(6)

例如，對于表1中的S1有

(7)

其中

(8)

fA為系統A失效概率密度函數，且有

(9)

最后，根據(6)式即可得出PMSoS在各階段任務的可靠度P(Sq)。

2.6 算法流程及偽代碼

由2.5節中簡化模型的原理，可以得到如表2所示的階段代數運算規則。對于跨階段基本任務，需要運用階段代數處理階段之間的相關性。

表2 階段代數規則

BDD算法的求解流程如圖6所示。

圖6 BDD算法流程Fig.6 Flow chart of BDD algorithm

函數Computer(l)是主體部分，在其中調用specical_binary_tree(l)和Pathall(g)函數。下面給出算法的詳細偽代碼。

FUNCTION special_binary_tree(l):

BEGIN

g=nx.DiGraph() /*g為網絡圖結構*/

將列表l中的元素在g中表示出來

return g

END

FUNCTION Pathall(g, A, B, visited, path, paths):

BEGIN

FOR A的每個鄰居節點i:

IF (A,i)在g中:

把鄰居節點設為已經訪問的節點

把(A,i)加入路徑path中

Pathall(g,i,B,visited,path,paths) #遞歸

把鄰居節點重置為未訪問節點

清空path

return paths

END

FUNCTION Computer(l)

BEGIN

l(parent node, child node, branch, probability, stage)

g=specical_binary_tree(l)

從g中讀取分支，概率和階段表示

S=Pathall(g, root node,'0',visited nodes,path, paths)

/*DFS得到所有成功路徑*/

FOR 每條s∈S:

IF 路徑中有相同的節點:

IF前面節點的分支為1&&后面的分支為0:

LET 前面分支為1節點的概率=0

IF前面節點的分支為0&&后面的分支為0:

LET 前面節點分支為0的概率=1

后面節點分支的概率不變

IF前面節點的分支為1&&后面的分支為1:

LET 前面節點分支為1的概率不變

后面節點分支為1的概率=1

IF前面節點的分支為0&&后面的分支為1:

LET 前面節點分支為0的概率不變

后面節點分支為1的概率=后面節點

分支為1的概率-(1-前面節點分支為0的概率)

每條成功路徑的概率=路徑上各分支概率乘積

probability.clear()

/*計算下一條路徑的概率時,清空上述賦值*/

任務進行到各階段的可靠度=每條成功路徑概率之和

END.

3 示例分析

假設護航編隊執行某次護航任務的航行階段、對海警戒階段、驅離攻擊階段和返航階段的開始時間分別為0 h、10 h、15 h和18 h，結束時間分別為10 h、15 h、18 h和30 h.

整個護航編隊系統中，指揮、對岸通信、定位、機動和編隊內部通信系統的壽命服從指數分布，故障率如表3所示。

表3 系統代號和故障率

直升機的壽命服從威布爾分布，m和η參數值如表4所示。

表4 系統代號和威布爾分布的參數

對于壽命服從指數分布的A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M，由于指數分布具有無記憶性，以A為例，所以A在任意時間段(tp,tq)內的失效概率為

P(Apq)=FA(tq)-FA(tp),

(10)

式中：

FA(t)=1-e-λAt，

(11)

λA為系統A的失效率。而對于壽命服從威布爾分布的N、O，以N為例，N失效會導致第3階段任務失效，則N的失效時域為(t0,t3)，則有

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

且有

(16)

(17)

(18)

fN(t)為系統N的威布爾分布失效概率密度函數，FN(t)為系統N的威布爾分布失效概率函數。且

(19)

計算得到各系統在各個階段的可靠度如表5所示。

表5 各系統在各個階段的可靠度

求得任務進行到各個階段的可靠度P(S1)、P(S2)、P(S3)和P(S4)分別為0.989 1、0.981 6、0.985 4和0.974 4，則護航編隊完成總任務的可靠度為0.974 4.

4 結論

本文以護航編隊為對象，開展復雜裝備體系的任務可靠性分析。在PMS基礎上，給出了PMSoS的定義。針對這種大型且各系統壽命服從不同類型分布的復雜任務體系：首先根據共同失效基本任務對階段故障樹進行化簡；然后采用多階段任務可靠度計算模型，并將不同時間段內同一系統的失效事件按照事件發生邏輯關系進行了合并處理，進一步降低了各階段任務BDD計算的復雜性；最后利用算法編程得出總體任務以及總體任務進行到各階段的可靠度，提高了任務可靠性分析的效率。

通過示例，進一步驗證了本文所提出的模型和方法的正確性。結果表明，在假設的參數條件下，護航編隊在警戒階段與返航階段任務可靠度相對較低，所以在規劃整體的任務方案時，尤其要多方面論證該階段方案的可行性，適時做出相應的調整。

事實上，大型武器裝備體系涉及的平臺和系統更多，邏輯關系更為復雜，主要體現在系統的動態可修、共因失效以及組合相關等方面，為了保證算法的求解效率，下一步將對復雜PMSoS的BDD構建過程中底層單元排序算法以及自動轉化算法進行深入研究。