《九章算術》的模型化思想
——以“方程模型”為例

王斌儒 甘肅有色冶金職業(yè)技術學院 建筑與信息工程系

模型化思想產(chǎn)生于中國古人的社會實踐之中，體現(xiàn)著中國古代的生產(chǎn)方式、生活方式和思維方式的特點。在中國古代數(shù)學典籍中蘊涵著中國古代數(shù)學模型化思想的發(fā)展歷程。

1 九章算術的概況

1.1 《九章算術》的起源與基本內容概說

秦漢時期，中國古代的科學體系和教育體系才逐漸形成，數(shù)學表達逐漸體系化。《算數(shù)書》和《周髀算經(jīng)》對數(shù)學思想系統(tǒng)產(chǎn)生了重大影響。大約在這個時期，《九章算術》成書，關于具體時間以及著者等問題，長期以來莫衷一是。李迪指出《九章算術》是劉徽所著。現(xiàn)在我們所說的《九章算術》即是劉徽的版本。

劉徽的《九章算術》，全書一共包括九個部分，分別為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股。前面六章分別是數(shù)學在社會生活的不同領域中的應用，后面三章提供了可用于各個領域的三種常用數(shù)學模型，每章都通過具體問題來表明這種應用。《九章算術》中九章的內容詳情見表1。

表1 《九章算術》九章的內容

《九章算術》作為中國最早給出系統(tǒng)的數(shù)學模型的著作，為實際生產(chǎn)生活中的問題提供了新的方法和思路。《九章算術》明確地以應用為目的，解決人們日常生活、生產(chǎn)實踐的諸多問題，數(shù)學模型化思想滲透其中，密切聯(lián)系實際，將現(xiàn)實生活中的一般現(xiàn)象概括為數(shù)學問題加以解決。

1.2 《九章算術》的歷史地位

《九章算術》是古代最重要的數(shù)學典籍之一，歷史上多次作為朝廷頒定的首選數(shù)學教科書使用，對中國古代數(shù)學和數(shù)學教育的發(fā)展起了巨大的作用，是中國古代數(shù)學從漢代直到元代前期一直處于世界數(shù)學的前列的基礎。

2 《九章算術》的模型化思想

數(shù)學模型是為了解決現(xiàn)實世界問題而建立的，數(shù)學模型是人們認識原型的方式之一。結合方程，構建數(shù)學模型數(shù)學應用問題是包含了一個或多個數(shù)量關系的具體情節(jié)或事件，解決數(shù)學應用問題的過程就是從情節(jié)中抽象并理順數(shù)量關系的過程，方程是有效地表達、處理、交流和傳遞信息的工具，是反映客觀事物數(shù)量變化規(guī)律的一種模型。數(shù)學應用問題可以以方程為途徑，構建數(shù)學模型來解決，在這種情況下所構建的就是方程模型。

《九章算術》做了許多屬于建立和使用數(shù)學模型的工作。它的“九章”內至少有三章——盈不足、方程、勾股——提供的就是基本的數(shù)學模型。下面主要以“方程模型”為例闡述《九章算術》的模型化思想。

2.1 九章算術》中的“方程模型”

《九章算術》中的“方程”，實際是線性方程組。“方程術”解線性方程組的方法是世界上最早的完整的線性方程組解法。現(xiàn)今矩陣變換中的一些性質：對方程組的增廣矩陣進行初等變換不改變方程組的解，對矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩等，在方程術及劉徽注中都有其理論依據(jù)。

劉徽對“方程”的注釋為：“程，課程也.群物總雜，各列有數(shù)，總言其實，令每行為率.二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.行之左右無所同存，且為有所據(jù)而耳.”這段文字是劉徽對“方程”概念的精辟解說。在《九章算術》第八章方程中共計18 個題，二元的8 題，三元的6 題，四元、五元的各2 題。在題中涉及方程的矩陣表示和直除法消元每一題都是借助于算籌進行“遍乘直除”。所謂“遍乘”就是用常數(shù)乘某一行中各數(shù)；所謂“直除”就是要消去乙行某未知數(shù)系數(shù)，使用甲行同一未知數(shù)的系數(shù)乘乙行所有的數(shù)，然后用甲行一次次對減乙行，直至乙行該系數(shù)為零。其實這里的“遍乘直除”基本想法和后面的矩陣解線性方程組想法是一致的。

“遍乘直除”法是把此“方程”前三行轉化成只有反對角線上有非零元，從而求得解答。如果將方程組系數(shù)的方陣橫著寫，就是現(xiàn)行教材中線性方程組系數(shù)的增廣矩陣，籌算過程就是現(xiàn)行矩陣的行初等變換。然而由于當時籌算過程的程式化與機械化，需要多次反復的演算，使得籌算過程相當繁瑣，并且又由于受到直除是以少行減多行的限制，常常使變換無法施行。但正是基于這種程序化的演算，才出現(xiàn)了小數(shù)“直除”大數(shù)的情形，從而促進了負數(shù)的產(chǎn)生和正負數(shù)加減法法則的形成，隨之變換過程得以施行且越來越簡捷。

2.2 《九章算術》中“方程模型”理論的意義

以特定的數(shù)學模式代替各種數(shù)學關系的分析，這種思想與方法在我國古代數(shù)學中有著非常深遠的影響。“方程”這一數(shù)學模型，便是這一思想發(fā)展的產(chǎn)物 。“方程術”以及由此所進一步發(fā)展的演算程序化，使我國古代解方程組法達到了相當完善的領先水平。

在對“方程”施行直除變換時，要求是以少行減多行，而這個限制常常使得方程術無法暢行。正是由于這種“并減之勢不得廣通”，與“方程”解答程序相矛盾，導致了正、負數(shù)的產(chǎn)生，從而又推動了方程術的發(fā)展和完善。《九章算術》中正負術曰：“同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入負之，負無入正之。”前一半給出了正、負數(shù)的“減法法則”，后一半給出了正、負數(shù)的“加法法則”。

《九章算術》關于負數(shù)的記錄在世界上也是首創(chuàng)的，因為在外國，印度在七世紀、歐洲人在十三世紀才開始認識負數(shù)。

3 總結與反思

本文通過對《九章算術》中模型化思想的研究，重點分析了卷第八方程中的數(shù)學模型思想的應用，從《九章算術》可以看得出，中國數(shù)學文化起源于人的實際需要，比如丈量土地、測量容積等。它以社會生活與生產(chǎn)實際為研究對象，以解決實際問題為目標，圍繞建立算法與提高計算技術而展開，強調在觀察、實驗基礎上進行分析、歸納得出結果，寓理于算，把數(shù)學建立在實際直觀模型的基礎上。在九個章節(jié)中后三個是數(shù)學模型，本文挑選出方程模型作為例子，是因為方程定理是中國幾何的根源.由此看來，劉徽定義的“方程”相當于現(xiàn)在的方程組。由于本人精力和水平的有限，對分類的認識可能不夠到位，匯總也不能十分完全，而且對于“盈不足”模型和“勾股”模型并沒有具體分析，這些還可以作進一步的改進。