基于協方差矩陣重構的穩健波束形成算法

郭業才， 陳 晨， 胡國樂

（1.南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京210044；2.江蘇省大氣環境與裝備技術協同創新中心，南京210044；3.安徽大學電氣工程與自動化學院，合肥230601）

0 引 言

波束形成作為陣列信號處理中的一個主要方面，廣泛應用于雷達、聲納、通信系統以及醫學影像等領域［1-2］，其實質是根據陣列接收信號對各個陣元加權并進行空域濾波，增強期望信號，抑制干擾信號。標準Capon波束形成器是最為經典的波束形成算法，但在實際應用中，由于陣列接收協方差矩陣中包含期望信號，算法對導向矢量失配等非常敏感，抗干擾性能受到很大的影響［3］。

近年來，出現了很多穩健的波束形成算法。主要有：對角加載算法［4-7］，實現起來較為簡單，但對于不同環境下最優加載量的選擇沒有一個明確的標準；特征空間法［8-10］，利用期望信號導向矢量在信號子空間上的投影來代替期望信號的導向矢量，能減少信號自消現象的出現，但在低信噪比時，由于子空間纏繞（信號子空間與噪聲子空間不滿足正交性），導致性能嚴重下降；最壞性能優化法［11-15］，通過經驗將期望信號的導向矢量約束在一個不確定集合中，繼而使干擾加噪聲的輸出功率最小化，但在實際應用時，不確定集合的約束參數往往難以確定，影響算法的性能。之后，文獻［16］中給出了干擾加噪聲協方差矩陣重構法，該方法通過對期望信號方向以外的范圍空間譜積分以重構干擾加噪聲協方差矩陣，去除期望信號，從而提高了魯棒性，但該方法計算量較大。文獻［17-18］中通過迭代法獲得空間譜以重構協方差矩陣，避免了積分計算和凸優化問題求解，提高了導向矢量失配時的輸出性能，但仍然計算量較大。文獻［19-21］中用干擾來波方向的大致范圍代替期望信號方向以外的范圍，并用求和代替積分，大大減少了計算量，但低信噪比時，性能會出現一定程度的下降。

本文提出了一種基于協方差矩陣重構的穩健波束形成算法。該算法首先利用空間譜估計以及陣列接收信號的稀疏性，對期望信號和干擾的大致方位區間積分估計出導向矢量，然后利用主模式抑制去除信號間由于低快拍數產生的多余相關性，以得到新的協方差矩陣，最后利用新的導向矢量以及重構的協方差矩陣代入標準Capon波束形成器得到最優權值。與其他方法相比，在沒有引入復雜計算量的情況下，在低快拍數與低信噪比時，本文的方法能取得一定的性能提升。

1 陣列信號模型

考慮一個陣元間距為d 的N 陣元均勻線陣（ULA），假設一個角度為θ0的期望信號和P -1 個角度分別θi（i ＝1，2，…，P -1）的干擾信號入射到線陣上，各信號均為窄帶信號，陣元噪聲為理想的平穩高斯白噪聲。為了確保不過載，信源數P需小于陣元數N。經采樣，第k個快拍時的陣列接收信號表示為

式中：a（θ0）表示期望信號的導向矢量；a（θi）表示干擾信號的導向矢量；s0（k）和si（k）分別表示第k 個快拍時期望信號與干擾信號的復包絡；L表示快拍數；n（k）表示加性噪聲。

陣列接收信號的協方差矩陣為

式中：Rs表示期望信號加干擾的協方差矩陣；σ2n表示噪聲功率；陣列流形a（θP-1）］；陣列接收數據表示矩陣轉置運算；（·）H表示矩陣共軛轉置運算。

陣列接收信號的協方差矩陣可用有限次快拍數的采樣數據協方差矩陣來近似，即

波束形成器的輸出為

標準Capon波束形成器又稱最小方差無畸變響應（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR），該方法在已知陣列結構的前提下先估計期望信號的導向矢量（θ0），然后利用最大信干噪比準則得到最優權值，

在實際應用中，由于快拍數不足，陣列協方差矩陣中包括期望信號以及期望信號導向矢量估計不準確等問題的影響，Capon 波束形成器的抗干擾性能會急劇下降，波束方向圖會發生畸變。

2 基于協方差矩陣重構的波束形成算法

2.1 導向矢量估計

式中：a（θ）是角度為θ 的導向矢量。為了計算出期望信號以及干擾信號的導向矢量，預先使用一些低復雜度的方法。例如，由MUSIC算法等獲得期望信號以及干擾信號來波的大致方向，必然會存在角度誤差，但足以推斷出來波方向的范圍。

假設Θi表示估計的第i 個信源的來波方向范圍（i ＝0，1，…P-1）。由于陣列接收信號在空間范圍內具有稀疏性，第i 個信源的空間譜主要分布在其估計方向的鄰域中，在其他方向幾乎沒有，所以第i個信源的協方差矩陣估計為

式中的積分結果難以直接獲得。為了減少計算量，將積分轉化為求和。將積分區域Θi等間隔劃分為K點，則求和式為

對協方差矩陣進行特征分解，得：

式中：λij代表Ci分解后的特征值，按從大到小的順序排列；uij代表與之對應的特征矢量。根據子空間理論，協方差矩陣特征分解后，大特征值對應的特征矢量張成的信號子空間包含了信號的導向矢量。所以取Ci特征分解后最大特征值對應的特征矢量作為導向矢量，同時結合理想情況下導向矢量的范數限制則第i個信源的導向矢量估計為

顯然，在Θi范圍內包含來波方向的前提下，當Θi的范圍越小時，冗余信息越少，得到的協方差矩陣誤差越小。

2.2 干擾加噪聲協方差矩陣重構

在重構干擾加噪聲協方差矩陣之前，利用主模式抑制去除信號間由于快拍數不足所產生的相關性［22］，由式（2）得：

式（11）為超定方程組，Rs為未知量，利用偽逆求得其最小二乘解為

式中：A的偽逆為A＋＝（AHA）-1AH；Rs為期望信號加干擾的協方差矩陣，當信號間沒有相關性時，Rs應當只有主對角線上有元素，這些元素代表著信號功率。但是，由于快拍數限制，信號間可能會產生多余的相關性，這些因素都會導致波束形成器的抗干擾性能下降。舍棄Rs主對角線以外的元素得到新的對角陣Rd即可去除信號間的相干性。

3 仿真與性能分析

為了驗證本文算法的性能，進行仿真實驗研究，并與對角加載算法、最差性能最優法、文獻［16］以及文獻［19］的算法進行比較。每次實驗進行100 次蒙特卡羅仿真?？紤]一個陣元數為10 的均勻線陣，陣元間距為半波長。遠場窄帶信號源包括一個期望信號和兩個干擾信號，期望信號與干擾之間統計無關，陣元噪聲為復高斯白噪聲。期望信號的真實來波方向為3°，估計來波方向為0，角度區域Θ0＝［0-5°，0＋5°］；兩個干擾信號的真實來波方向分別為-20°和40°；估計來波方向為1和2，角度區域分別為：Θ1＝［1-5°，角度區域的采樣點數K根據區間內每0.1°劃分一個采樣點來設置。兩個干擾信號的干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）均為30 dB。其中，對角加載算法的加載量取噪聲功率的10 倍，最差性能最優法的參數設置參見文獻［10］。

3.1 無誤時性能仿真

考慮無導向矢量失配以及陣列結構都準確已知，即信號真實來波方向與估計來波方向一致時，本文算法的輸出性能。圖1（a）為快拍數L ＝30 時，算法輸出信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）隨輸入信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）的變化曲線。圖1（b）為輸入SNR ＝20 dB 時，算法輸出SINR隨快拍數L的變化曲線。

圖1 無誤差時性能

圖1 表明，在不存在誤差時，本文算法與文獻［19］中理論最優值幾乎完全一致，對角加載與最差性能最優法在高SNR時性能都會有所下降，但隨著快拍數增加，會有一定程度的提升，而在動態調節各種SNR 情況下的對角加載量仍然可以獲得較好的輸出性能。但是在低快拍數時，對角加載與最差性能最優法的性能嚴重下降，這是由于小特征值擾動以及信號之間會產生多余的相關性引起的。

3.2 存在導向矢量失配時穩健性能仿真

考慮在導向矢量分別出現小角度（3°）和大角度（8°）失配誤差時，本文算法的輸出性能。導向矢量出現3°誤差時，期望信號的估計來波方向0設定為6°，干擾的估計來波方向1和2設定為-23°和43°。圖2（a）和圖2（b）分別為出現3°失配時，算法輸出SINR隨輸入SNR和快拍數L 的變化曲線。導向矢量出現8°誤差時，期望信號的估計來波方向θ＾0設定為11°，角度區域Θ0改為［0-10°，0＋10°］。圖3（a）和圖3（b）分別為出現8°失配時，算法輸出SINR隨輸入SNR和快拍數L的變化曲線。

圖2 和圖3 表明，隨著導向矢量失配程度的增大，各算法的輸出性能都會有不同程度的下降。由于文獻［16、19］中的算法使用了協方差矩陣重構法去除了陣列接收協方差矩陣中的期望信號，所以在高信噪比時不會受到太大的影響。在低信噪比時，本文算法輸出SINR與文獻［16］接近，都優于其他算法。在高信噪比時，本文算法性能又比文獻［16］好。總體而言，本文算法在出現導向矢量失配時優于其他算法。

圖2 導向矢量3°失配時穩健性能

圖3 導向矢量8°失配時穩健性能

3.3 同時存在導向矢量失配和相干局部散射時穩健性能仿真

考慮同時出現導向矢量3°失配誤差和相干局部散射時，本文算法的輸出性能，假設出現相干局部散射時的導向矢量表示為

其中：a0為直達信號的導向矢量；a（θn）表示從θn方向入射的相干散射信號；φn是直達信號與相干散射信號之間相位差。相干散射信號的入射方向服從均值為0°，標準差為2°的高斯隨機分布，相位差φn服從［0，2π］間的均勻分布。圖4（a）和圖4（b）分別為同時存在導向矢量失配和相干局部散射時時，算法輸出SINR隨輸入SNR和快拍數L的變化曲線。

圖4 表明，基于協方差矩陣重構算法的性能仍然優于其他算法，本文的算法性能總體仍是最優的，此時對角加載算法的性能也獲得了提升，應該是對角加載量剛好符合要求。此外，在低快拍數時，本文算法由于去除了信號間多余的相干性，輸出SINR 高于其他算法，進一步提高了算法的穩健性能。

4 結 語

本文提出了一種基于干擾加噪聲協方差矩陣重構的穩健波束形成算法。該算法利用空間譜積分估計出期望信號以及干擾的導向矢量，通過主模式抑制去除了信號間多余的相干性，并對協方差矩陣進行重構，最終得到自適應波束形成的最優權值。仿真實驗表明，在存在期望信號導向矢量失配誤差和局部相干散射時，本算法都具有更好的穩健性，在不同輸入SNR、不同快拍數時，輸出SINR更接近理論最優值。

圖4 同時存在失配和非相干局部散射時穩健性能