柔性機器人動力學跟蹤變阻抗控制

張 剛， 布 挺， 焦文潭， 王 波

（1.洛陽理工學院電氣工程與自動化學院，河南洛陽471000；2.河南省嵌入式技術應用工程技術研究中心，河南洛陽471003；3.河南省嵌入式技術應用工程研究中心，河南洛陽471000）

0 引 言

隨著機器人行業發展，機器人逐漸由簡單的搬運、碼垛等行業轉換為更高精度，與人協作的應用場景滲透。為適應機器人與交互的環境，越來越多的廠商專注于將機器人輕量化、小型化。醫療、教育、娛樂等領域使用機器人需要機器人具有更輕的質量，更加健全的安全保護措施，隨之而來的是手臂必須通過交叉部件進行物理連接，由于機構減速較小，本體剛度不夠等問題，導致頻繁的機械振動［1］。機構的柔性主要分為桿件柔性及關節柔性，相當于為整個機器人控制系統引入了新的自由度，機械臂的控制更加復雜，難以整定；同時，柔性機器人具有功重比高的特性，能耗遠小于傳統機器人［2］，響應速度快和操作空間大，更適應當前機器人研究界重視人機協作的大環境［3］。

在打磨等具有環境力感知的應用中，同時進入到與人接觸或協作的場合中，機器人的力控制或柔順控制是核心的技術問題［4］。阻抗控制是一種間接的力控制方法，其不直接對期望的位置和力進行控制，而是通過調節機器人末端的阻抗來實現機器人的柔順控制［5-6］。常用的阻抗關系為剛度、阻尼和慣量系統。阻抗控制與力/位置混合控制相比具有離線任務規劃量小，不需要控制模式切換、穩定性更高等優點，因而得到了廣泛的應用。

本文依靠動力學的控制策略，通過調整目標阻抗參數使機器人適應環境，規劃機器人末端的運行軌跡，使得機器人末端軌跡跟蹤過程更加平順，在不犧牲速度的同時可使得機構的沖擊磨損更小，更加適用于柔性多關節機器人。

1 動力學建模

圖1 所示為本文研究的柔性機器人本體，由于機器人作業任務的描述往往在笛卡爾空間，將機器人動力學方程轉換到笛卡爾空間并設計阻抗控制器，其主要特點是機器人可以快速、準確地移動到指定位置，控制精度高［7］。

圖1 柔性機器人本體

機器人本體的動力學分析主流的方法有拉格朗日法、牛頓-歐拉法、高斯法、凱恩法、旋量（偶數）法和羅伯遜維滕貝格法［8］。

1.1 牛頓歐拉法建模

牛頓歐拉方程是遞推的形式，計算過程如下：

其中：iωi為第i個連桿的角速度在坐標系｛i｝中的表示·i表示第i個關節的旋轉引起的角速度，對于串聯機器人，iωi是θ·i和上一個關節速速iωi-1的合成；i＋1iR是3 ×3 維的姿態陣，是坐標系｛i｝相對坐標系｛i ＋1｝的姿態矩陣；i＋1˙vi＋1是坐標系｛i ＋1｝的原點加速度在坐標系｛i ＋1｝的表示；i＋1˙vCi＋1是第i ＋1 個連桿質心的加速度在坐標系｛i ＋1｝的表示；i＋1Fi＋1是第i ＋1 個連桿質心處由加速度引起的力在坐標系｛i ＋1｝的表示；mi＋1表示第i ＋1 個連桿的質量；Ci＋1Ii＋1是第i ＋1 個連桿相對于第i ＋1 質心坐標系的慣量矩陣；ifi是第i 個質心處受力，是加速度產生的力和后一個連桿傳遞力的合成；ini表示坐標系｛i｝原點處的扭矩，是3 ×1 維的扭矩；τi是ini在Z 軸方向的分量，也是關節i 處所需的扭矩值。

1.2 慣性力項

系統的速度傳遞雅可比矩陣可表示為：

系統動能表達式為：

由此可得質量陣：

其中：J（Li）、J（Ai）分別為質心雅可比矩陣的線速度和角速度對應項。

1.3 重力項、離心力和哥氏力項

機械手總的重力勢能為：

其中：g是機器人基坐標系的重力向量；V（q）與關節變量q相關，而與關節速度˙q無關。重力項：

按Chiristoffell符號法，離心力和哥氏力項的C矩陣可由M矩陣求得：

故在求出M后代入Chiristoffell公式，可得C矩陣。

1.4 摩擦模型

由于摩擦對柔性關節機器人的低速和低剛度阻抗控制性能影響很大，構建了一種基本的摩擦力模型來提高機器人動力學特性［9］。動態摩擦補償不僅提高了位置和力跟蹤性能，還保證了系統的穩定性。加入摩擦力模型的動力學建模下的位置控制明顯改善了柔性關節系統的位置精度和扭矩振動［10-12］。此外，通過摩擦補償也提高了阻抗控制的力跟蹤能力。完整的動力學模型表達式為：

其中：Fv∈Rn×n和Fs∈Rn×n為黏性摩擦和靜摩擦系數對角矩陣；向量sgn（˙q）∈Rn×1為關節速度的符號函數。機器人的聯合傳動摩擦模型由黏性摩擦力和恒定的干滑動摩擦力組成。然而，根據庫侖定律，干摩擦力線性地取決于由變速器驅動的負載，對于在有效載荷的大變化或慣性力和重力下工作的機器人，必須考慮到這一點。此外，對于低速啟動的機器人，必須考慮Stribeck效應。第1 步，為每個關節識別摩擦模型參數，一次移動一個關節（該步驟已經過驗證）；第2 步，這些值在動態模型中固定，用于識別所有機器人慣性和重力參數。對于這兩個步驟，識別連接在機器人跟蹤具有不同有效載荷的軌跡時收集的所有聯合數據，以獲得慣性和新摩擦參數的全局最小二乘估計。

2 阻抗控制

基于模型的控制：①力矩傳感器；②Series Elastic Actuator（SEA）；③電流估計。若有基于電流估計力矩或是有力矩傳感器用第1 個；若是基于六維力傳感器，用第2 個。

2.1 笛卡爾空間阻抗控制

2.1.1 操作空間動力學方程

阻抗控制的目的是在機器人運動和外部轉矩之間實現一種特殊的期望動力學關系［13］。為了研究機器人末端點的阻抗控制，假設施加于機器人末端點的外力為Fext，關節空間機器人的動力學方程為：

首先，兩面都乘以雅可比矩陣轉置的逆，得到：

其次，求關節空間和笛卡爾空間加速度之間的關系。

由雅克比矩陣的定義可得：

求導得到：

由解出關節空間的加速度得到：

代入得：

該方程可以被重寫為：

其中：各項分別為：

重力項和關節轉矩項可以分別寫為Fg（x）和FT，則系統方程可以寫為：

2.1.2 笛卡爾空間經典阻抗控制

為實現期待的阻抗特性，當前位置點與目標位置點的偏差被引入：

其中：xd為虛擬平衡位置點。

阻抗控制律被設計成質量-彈簧-阻尼系統形式：

其中：Kd、Dd、Λd分別為剛性、阻尼、慣量的正定矩陣。在大部分機器人應用中，該控制律形式足以描述機器人的阻抗控制特性。當期待剛性、阻尼、慣量矩陣都是正定矩陣時，系統具有漸進穩定性。

經典的阻抗控制律可以由方程直接計算得到，可以得到構成期待閉環系統的控制輸入為：

笛卡爾空間阻抗控制器實際通過關節轉矩τ 實現，代入τ ＝J（q）TFT變換，得到關節轉矩為：

可以看出，阻抗控制的輸入中包含外力Fext，Fext通常由安裝在末端執行器的力／力矩傳感器測量得到，當不安裝末端力／力矩傳感器時可以通過關節轉矩傳感等方式間接測量Fext，但計算比較復雜且準確的不高。當期待慣量矩陣Λd與機器人的慣量矩陣Λ（x）相等時，外力反饋可以被避免：

此時滿足系統正則條件下的無源性條件，笛卡爾空間阻抗控制成為：

同樣，當Λd＝Λ（x）時，反饋控制中的Fext項將被消掉，此時關節空間阻抗控制成為：

笛卡爾空間阻抗控制采用笛卡爾空間基于力的阻抗控制結構實現，采用關節轉矩反饋的控制結構如圖2 所示。其中外環的位置閉環與目標阻抗特性結合得到力控制量，內環為力閉環，該力閉環在關節空間實現時需要經過雅可比矩陣的變換。

圖2 笛卡爾空間基于力的阻抗控制結構圖

2.2 基于無源性理論的機器人阻抗控制

如果柔性關節機器人以阻抗控制律作用于外部環境，那么機器人的動力學特性將受電動機轉動慣量和機器人關節剛度的影響［14］。分析可知，電動機轉子慣量越小，或者關節剛度越大，實際系統的動力學誤差將越小。在機器人的控制中，通過關節轉矩的反饋可以減小電動機轉子的有效慣量，相應地實際系統的動力學誤差將減小，系統的期望動力學行為也會更好［15］。

考慮電動機轉子慣量時，機器人系統與電動機系統動力學模型為：

將電動機角度轉換到關節，代入θm＝Nθ，變換為：

引入關節轉矩反饋：

其中：u是新引入的電機控制量。通過上述反饋，得到新的系統動力學方程為：

顯然，和具有相同的形式，通過關節轉矩反饋，電動機的有效慣量由Jm變為Jθ，關節轉矩反饋的采用相當于引入了電機慣量的調整量，更小的Jθ可以得到更好的動力學跟蹤性能。

根據阻抗控制的需求，新的控制輸入變量u 可以被分解為兩部分，一部分是應用于阻抗控制的剛度和阻尼項；另一部分作為重力補償項，即：

根據阻抗控制原理，阻抗控制項可以被設計成PD控制律：

其中：Kθ為剛度矩陣；Dθ為阻尼矩陣；Qd為虛擬的期望平衡位置。而重力項可以通過動力學計算得到：

代入阻抗控制項和重力項，并考慮到關節的轉矩傳遞關系，得到閉環系統方程為：

3 實際驗證

如圖3 所示，阻抗控制的效果可以從4 個測試中體現。包括：基于阻抗模型的牽引測試、基于阻抗模型的阻抗測試、基于阻抗模型的斜面力跟蹤和基于自適應阻抗的力跟蹤。

圖3 直線軌跡擬合結果

3.1 基于阻抗模型的牽引測試

在人機系統中，阻抗控制和導納控制方法得到了廣泛的應用。阻抗控制是運動到力的動態映射，導納控制是力到運動的動態映射。力控制流程：檢測力，利用阻抗公式，然后計算出增量，發給機器人。本文實現了一種阻抗控制方案來體現阻抗模型的牽引示教，機器人與操作人員可以進行手把手的直接交互。

圖4 所示為基于阻抗模型的牽引測試效果，通過實驗驗證了該算法的有效性。

圖4 基于阻抗模型的牽引測試

3.2 基于阻抗模型的阻抗測試

利用李雅普諾夫穩定性定理，保證了柔性機器人的阻抗角結果與實際角之間的誤差收斂于零。為了適應非結構化環境下的人機交互，建立了基于位置的阻抗控制系統。

圖5 所示為基于阻抗模型的阻抗測試效果。針對機器人加工過程中位置的不確定性，提出了一種基于力估計模型的位置阻抗控制器。該控制策略采用模糊邏輯控制器調節阻抗參數，減少約束運動中的干擾，提高力控制效果。該模型根據末端執行器的反饋位置調整阻抗控制器的基準力，得到光滑的表面。

圖5 基于阻抗模型的阻抗測試

3.3 力和位置跟蹤

本文對機器人阻抗控制進行了力和位置跟蹤測試，來驗證算法的有效性。如圖6 所示，對機器人的關節力矩進行采集，對機器人的關節位置進行采集，如圖7 所示。實驗證明，如果進行有效的參數調試，可以很好地利用阻抗控制進行力和位置的跟蹤。本文提出的簡單穩定的力跟蹤阻抗控制方案，能夠跟蹤指定的期望力，并能補償環境位置、剛度以及機器人動態模型中的不確定性。采用魯棒位置控制算法對機器人動力學中的不確定性進行補償。接觸后，在力可控制的方向上，根據所要求的力、環境剛度和位置誤差實現新的阻抗函數。新的阻抗函數簡單穩定。分析了不同阻抗參數下的穩定性和收斂性，實現了穩定的力和位置的跟蹤執行。

圖6 阻抗控制下力跟蹤實驗數據

圖7 阻抗控制下為位置跟蹤實驗數據

4 結 語

本文試圖定義一種統一的操作方法，該種方法足夠通用，可以在這種情況下控制操作。操縱控制的難點之一在于，雖然現有的控制理論大多適用于線性系統，但操縱本質上是一個非線性問題。阻抗和導納的概念常被應用于線性系統中，并被人們所重視作為等價的和可互換的。機器人的控制需要在關節空間實現，基于關節轉矩反饋的阻抗控制是近年來理論研究的熱點。對關節空間轉矩反饋的阻抗控制進行設計，要建立Lyapunov 函數進行穩定性分析。首先建立柔性機器人動力學模型，然后對慣性力、重力項、離心力、哥氏力和摩擦力進行詳細的分析，再次對柔性機器人進行阻抗控制模型建立討論了笛卡爾空間下的阻抗控制的實現。最后，進行了自由空間阻抗控制和位置阻抗控制等實驗，驗證所設計方法的有效性。