基于積分法和濃度矩法縱向離散系數的推導及比較

鄭文言，鄭曉亭，沈良朵

(浙江海洋大學港航與交通運輸工程學院，浙江舟山 316022)

輸移擴散是物質在液體中傳播的一個顯著特征，包含多種方式，如隨流擴散、紊動擴散、剪切離散等。TAYLOR[1]提出水流的紊動擴散理論后，人們對擴散的認識和研究逐漸深入。相對隨流擴散和紊動擴散而言，由于斷面時均流速分布不均勻而產生的剪切離散在實際明渠流的擴散中占了主要部分。對于離散的研究，TAYLOR[2]提出并求解了圓管紊流的縱向離散問題；ELDER[3]采用類似Taylor 的方法得到二維明渠流情況下的離散系數；FISCHER[4]把Taylor 的方法推廣到了天然河渠中得到了適合天然河流情況下的離散系數。周克釗等[5]改良了天然河流中示蹤實驗測量離散系數的方法，提出了較長河段縱向離散系數的加權平均計算方法。郭建青和溫季[6]基于一維水團示蹤試驗的解析表達式提出了天然河流縱向離散系數的直線圖解法。李玉梁等[7]基于濃度矩法獲得了潮汐流離散系數隨時間的變化過程，并對潮流離散系數的特征以及負離散問題進行了分析。龍炳清等[8]提出了天然河流縱向離散系數的最優化計算方法。李成光等[9]對彎曲河道的離散特性進行了研究，得到了彎曲河段離散系數的分布規律。張文俊等[10]基于對底部阻力局部線性化假設,得到了縱向離散系數的半解析方法。本文在上述研究的基礎上，基于積分公式法和濃度矩法，推導了沿水深為對數、線性和拋物線型流速分布下的縱向離散系數并對結果進行比較分析；采用了濃度矩法進一步推導了隨時間變化的對數流速分布情況下的縱向離散系數并對結果進行了詳細分析，指出非恒定流情況下縱向離散系數不同于恒定流情況下的特征。

1 縱向離散系數

1.1 積分法

二維隨流擴散方程為:

對上式做斷面平均運算得:

(2)～(3)可得:

由(5)積分可得:

由離散系數的定義得:

1.2 濃度矩法

由質量守恒定律得一維縱向離散方程為:

式中，K 為綜合擴散系數，在紊流中，為紊動擴散系數與縱向離散系數之和；在層流中分子擴散系數和縱向離散系數。一般情況下隨流擴散作用遠大于紊動擴散作用和剪切離散作用，因而可以令K≈D。

根據ARIS[12]的描述p 階濃度矩形濃度矩為:

p 為大于等于0 的正整數。

對方程(8)取一階矩與二階矩相減可得:

對(1)式取1、2、3 階矩得:

由于明渠邊壁與表面的物質擴散通量為0，等式中的邊界條件和初始條件為:

式中，c0為x=0 斷面瞬時投放的物質總量，為方便求解，令εz只為關于時間t 的函數，流速u(z,t)可表示為：

式中，U 為常數，ηi(z)為與z 相關的函數，λi(t)為與t 相關的函數。通過(12)對M1進行求解，仿照沖量定理，M1可表示為:

Φ=(z,t;τ)dτ 表示為τ 時刻dτ 時間段內擴散質對M1(z,t)的影響。

把(17)帶入(12)得:

由(12)、(14)、(15)、(16)、(17)可得(18)的初始條件為:

解(18)式得:

式中，

將(21)帶入(17)得

式中，

同理可得:

式中，

將(23)、(25)帶入(10)，且對式(16)取k=1，不考慮系數εz隨時間的變化，得離散系數為:

為便于計算對該式進行簡化認為流速v 僅為z 的函數v(z)，由(16)可得U=1，λ1(t)=1，η(z)=v(z)。將λ1(t)帶入(24)積分可得:

將(22)與(30)帶入(28)得:

2 多種流速下的離散系數計算和比較

上一小節分別采用積分法和濃度矩得到縱向離散系數的表達式。本節將應用上述結果計算3 種典型流速分布情況下的離散系數，并對2 種方法得到的結果進行比較。在計算中統一取垂向紊動擴散系數為拋物線型，同時為了簡化計算取其水深平均值得ku*h/6。其中，k 為卡門常數，u*為摩阻流速。

(1)取對數型流速分布[13]，令流速形式為:

式中，z 為水深，z0為底面粗糙高度，u 為水深為z 時的流速。

a)采用積分法計算

由式(7)，可得:

b) 采用濃度矩法行計算

由式(31)，取前100 項，得:

經(33)和(34)比較濃度矩法和積分法求得的離散系數非常接近。

(2)取線性流速分布，令流速形式為:

式中，u0為水深z=0 時的流速，um為水深z=h 時的流速與u0的差值。

a) 采用積分法進行計算

由式(7)，得:

b) 采用濃度矩法進行計算

由式(31)，取前100 項，得:

經(36)和(37)比較，濃度矩法和積分法求得的離散系數非常接近。

(3)取拋物型流速分布，令流速形式為:

式中，um為0～h 上的最大流速，α 為常系數

a) 采用積分法進行計算

由式(7)，得:

b) 采用濃度矩法進行計算

由式(31)，取前100 項，得:

經(39)和(40)比較，濃度矩法和積分法求得的離散系數非常接近。

3 非恒定流的縱向離散系數特征

上述計算都是沿水深變化的流速的離散系數，因而無法對離散系數隨時間的變化關系進行研究。在非恒定流情況下，由于積分法公式中時間項被忽略無法進行計算，下面將對隨時間變化的對數流速形式的縱向離散系數，采用濃度矩法進行處理。取對數型流速分布，令流速形式為：

式中，N=（mπ/h）2，εz=（mπ）2/Ta，Ta=h2/εz，Ta為斷面混合特征時間。

將(42)帶入(28)并忽略物質投放的初始影響項exp (-N t)可得:

式中，流速周期為T=2π/ω，Tr=T/Ta

式中，z*=z/h。

取h=1，z0=0.002 m，ω=2π，則當Tr=10,1,0.001 時，離散系數D*(t)隨時間的變化的過程線如圖1 所示。

圖1 對數型流速分布下縱向離散系數的過程線Fig.1 Process line of longitudinal dispersion coefficient under logarithmic velocity distribution

圖1 給出了縱向離散系數隨時間的變化關系，由圖可知，非恒定流縱向離散系數有如下特點：

(1)非恒定流的離散系數與其流速一樣隨時間發生變化，且變化的頻率大于非恒定流的流速變化的頻率。離散系數的極值出現在極值流速和零流速的前后。

(2)當Tr=10 時離散系數都為正數，當Tr=1,0.001 均出現負離散系數。負離散反映了波峰時污染物收縮濃度增大的物理現象[14]。當Tr=0.001 時較Tr=1 時，負離散系數存在的時間區域增加。

4 小結

本文分別基于積分公式法和濃度矩法，推導了沿水深為對數、線性和拋物線型恒定流流速分布下的縱向離散系數以及對數非恒定流情況下的縱向離散系數，結果表明：

(1)對于恒定流流速分布情況下的離散系數，采用積分法和濃度矩法所得結果是一致的，但積分法在使用過程中更為方便；對于非恒定流，積分法忽略了濃度對時間的變化項，因而在非恒定流中只能依靠濃度矩法進行計算，所以濃度矩法的適用范圍更廣。

(2)對于非恒定流，縱向離散系數系數隨著時間的變化而變化，其變化頻率大于流速的變化頻率。對比恒定流中縱向離散系數，由于負離散系數的存在，可以看出兩者有較大的差異。因而在非恒定流情況下，如不考慮離散系數隨時間的變化計算結果的準確性將會大大降。負離散還反映了波峰時污染物收縮濃度增大的物理現象。