基于Gross方程的飽和砂土液化后流動特性模型

吳海清

摘要：將液化后的飽和砂土視為一種流體，其流動特性表現出類似剪切稀化非牛頓流體的特性。根據非牛頓流體力學理論分析液化后飽和砂土的流動特性發現，當處于零有效應力狀態時，可以用純粘性流動本構模型較好地描述砂土的剪應變率表觀黏度關系。通過擬合動扭剪試驗結果的流變曲線，對比分析了幾種常用的純粘性流動本構模型，發現Gross模型可以較好且較簡潔地描述液化后砂土零有效應力狀態時的流動特性。通過對擬合參數的分析，建立了基于Gross模型的液化后飽和砂土零有效應力狀態的流動本構模型，得到時間量綱下的參數K以及零剪切表觀黏度η0和極限剪切表觀黏度η∞的函數關系。考慮相對密實度、固結應力和應力歷史對模型參數的影響，闡釋了模型參數的函數關系以及物理意義。

關鍵詞：飽和砂土;剪切稀化;零有效應力;流動本構模型;剪應變率表觀黏度

中圖分類號：TU447 文獻標志碼：A 文章編號：20966717（2020）03003208

Abstract：

When the liquefied watersaturated sand is regarded as a fluid， it can be idealized as a kind of shear thinning nonNewtonian fluid. Based on nonNewtonian fluid mechanics， the theoretical analysis was conducted on the liquefied watersaturated sand. According to this， the relationship between the shear strain rate and the viscosity under zero effective stress state can be properly described by pure viscous flow constitutive model. The Gross model of liquefied watersaturated sand is established by fitting the flow curve of the dynamic torsional shear test results on the basis of predictions obtained from several commonly used pure viscous flow constitutive models. The representative model parameters include the relative density， the consolidation stress and the impact of stress history. The functional relationships among time dimension K， zero shear apparent viscosity η0 and limit shear apparent viscosity η∞ are fitted based on the dynamic torsional shear test results， and the physical meanings of the parameters are introduced in the composed function. The research landmarks a theoretical foundation for further analysis of large deformation of liquefied flows based on fluid mechanics theory.

Keywords：watersaturated sand; shear thinning; zero effective stress; flow constitutive model; shear strain rateapparent viscosity

地震是人類面臨的主要自然災害之一。近年來，世界范圍內地震活動頻繁，如2008年中國“5·12”汶川大地震（里氏震級M=8.0）[1]，2010年智利“2·27”大地震（里氏震級M=8.8）以及2011年日本“3·11”本州島海域大地震（里氏震級M=9.0）[2]，2018年印尼“9·28”大地震（里氏震級M=7.4）等，這些大地震中均存在因飽和砂土液化而引起的震害，因此，地震液化問題的研究仍然是土動力學與巖土地震工程領域重要的課題之一。

Seed等[3]把不排水循環剪切試驗中有效應力第一次為0的狀態稱為“初始液化”，從而將液化過程分為“液化前（初始液化前）”和“液化后（初始液化后）”兩個階段。已有的震害調查發現，砂土層“液化后”引起的地基大變形是導致強震區各種基礎設施和生命線工程遭到破壞的主要原因，因此，隨著液化研究的深入，學者們越來越關注“液化后”砂土層應力應變的響應以及“液化后”地基大變形產生的機理。

根據力學理論的不同，目前對砂土液化后大變形本構模型的研究主要有兩類：一類基于固體力學理論，如Shamoto等[4]提出描述砂土液化后不排水剪單調剪切大變形的本構模型;另一類將“液化后”的砂土層視為一種流體，基于流體力學的理論研究大變形的問題[5]。

將液化后砂土視為一種流體是一種較新的研究思路。Sasaki等[6]利用振動臺試驗研究砂土液化變形問題時發現，液化砂土具有非常類似于流體的性質;Miyajima等[7]采用拖球及落球試驗，根據流體力學中的公式獲得液化后砂土的表觀黏度。Tamate等[8]在拖管試驗中，根據鋼管受到的拖拽力和相似性，研究液化后砂土的流動特性。Hadush等[9]總結了幾組由不同測量方法獲得的表觀黏度與剪應變率關系后，發現液化后砂土的表觀黏度隨剪應變率的增大而減小的特性。Hwang等[10]等通過沉球試驗及拖管試驗研究液化后地表流對樁基的影響時，同樣發現液化砂土的這種特性。陳育民等[5， 1112]通過動扭剪試驗和振動臺拖球試驗，王志華等[13]通過自由場地基振動臺試驗，其他一些學者[1420]通過空心扭剪實驗、離心機振動臺實驗等方法，研究液化后砂土流動特性時，也獲得了同樣的結果，即液化后砂土是一種“剪切稀化非牛頓流體”。由于對于液化后砂土流體動力學特性的研究起步較晚，理論研究相對缺乏，在流動本構模型方面的研究尚處于初步探索階段[14]。

筆者采用流體力學理論進一步解釋砂土液化后大變形的機理，通過對動扭剪試驗結果的分析，探討可以描述液化后砂土零有效應力狀態的流動本構模型。

1流體力學方法分析液化后砂土流動特性的理論基礎

1687年，牛頓在其所著的《自然哲學的數學原理》中提出牛頓內摩擦定律

式中：μ為比例系數，稱為動力黏度（簡稱黏度），單位是Pa·S，該系數即反映了流體的粘稠性。dudy為流速在流層法線方向的變化率，稱為流速梯度。

由于液化砂土的流速梯度很難獲得，因此，需要進一步說明該項的物理意義。如圖1所示，在厚度為dy的上、下兩流層間取矩形流體微團。因上、下層的流速相差du，經過時間dt后，微團除位移外，還有剪切應變dγ，即

陳育民等[5]通過不同試驗發現，液化后砂土的流動特性表現為“非牛頓流體”的性質。而只有牛頓流體才具有一種嚴格意義的黏度概念，即μ。非牛頓流體則需要兩個或兩個以上的參數來描述其黏稠特性。但為了方便起見，引入動力表觀黏度（簡稱表觀黏度）η來近似描述非牛頓流體的黏稠特性，即η=f（γ·）（γ·=dγdt），為方便起見，采用γ·代替dγdt）。于是式（4）可改寫為

由于液化后砂土的表觀黏度η隨剪應變率γ·的增大而減小，即表現為一種“剪切稀化”的特性。剪切稀化非牛頓流體材料表現為：在低剪應變率γ·0下，表觀黏度為常數或趨向于一個常數，該常數η0稱為“零剪切表觀黏度”;與此同時，在高剪應變率γ·∞下，表觀黏度再次為常數或趨向于一個常數（且η∞<η0），該常數η∞稱為“極限剪切表觀黏度”[22]。

可以推斷，砂土液化后處于零有效應力狀態時，顆粒間失去土骨架結構，處于類似“懸浮”的狀態，當沒有受到剪應力作用時，顆粒在溶液中處于靜止狀態，由于顆粒本身在液化過程中受到動荷載的作用，處于雜亂無章的分布狀態，一旦受到剪應力的作用，隨著流動的進行，它們將沿著流動方向開始有序地排列起來，此時剪應變率開始增大，這種定向排列將隨著流動的進行，越來越整齊，流動的阻力就越來越小，即其表觀黏度將越來越小，這就反映出一種剪切稀化的趨勢。當剪應變率較小時，不足以破壞原有的結構，即不能夠使排列得雜亂無章的顆粒定向排列，此時表觀黏度為常數η0且與剪應變率無關，而當剪應變率很大時，已經最大限度地使顆粒定向排列，從而顆粒已經處于有序整齊的狀態，此時再增大剪應變率，表觀黏度也無法再小了，即趨向于一個常數η∞，且η∞<η0。

2非牛頓流體的流動本構模型

描述流體剪切應力和剪應變率之間關系的方程，稱為流動本構模型。當研究非牛頓流體時，流動本構模型即式（5），由于表觀黏度η受到非牛頓流體類型以及環境等眾多因素的影響，表現為關于剪應變率γ·的非線性函數。

由于目前還沒有一個普適的流動本構模型可以統一描述非牛頓流體的流動特性。因此，在研究非牛頓流體剪應變率表觀黏度之間的關系時，存在著許多流動本構模型。歸納起來可以分為兩大類：一類是純粘性流動本構模型，即在撤除剪切應力后，它們在受剪切應力作用期間的任何形變都不會恢復;另一類是粘彈性流動本構模型，即在撤除剪切應力后，它們在受剪切應力作用期間所產生的形變會完全或部分得到恢復。

張建民等[23]在研究砂土不排水循環扭剪試驗時發現：初始液化后零有效應力狀態時產生的剪應變分量γ0的變化特點為：γ0只在液化后有效應力過零點時產生;γ0的大小與當前的剪應力大小無關，只依賴于應力應變歷史。由于筆者研究的對象為液化后處于零有效應力狀態的砂土，只需要考慮剪應變分量γ0，即在此狀態下，砂土不存在土骨架的概念，因此，該研究對象屬于純粘性流體。

由于液化后砂土的流動特性比較接近側黏流動，即在流動過程中只需要考慮平移和轉動，不需要考慮拉伸等其他因素。因此Π=γ·，即描述液化后砂土流動特性的流動本構模型可以寫成η=η（γ·）的形式，流動本構模型的書寫將采用這種統一的形式。

3基于動扭剪試驗結果分析液化后砂土的流動本構模型

3.1試驗方法

試驗采用河海大學巖土所和日本圓井株式會社共同研制的靜動多功能三軸試驗儀。采用的砂樣為重塑試樣（顆粒比重G1為2.56，有效粒徑d10=0.16 mm，限制粒徑d60為0.42 mm，最大孔隙比emax為0.974，最小孔隙比emin為0.568，不均勻系數Cu為2.63，曲率系數Cc為1.17，粘粒含量為0%），試樣采用空中砂雨法制備。試驗中，采用先通CO2氣體排除試樣中空氣，再通脫氣水，然后再施加反壓的方法進行飽和，確保飽和度B≥0.97。試樣完成固結操作后，在不排水條件下以一定的動剪應力比給試樣施加動扭剪應力，當試樣發生初始液化后，繼續施加動扭剪應力，以此來模擬液化后砂土的流動特性。試驗中考慮了不同初始相對密實度和前期固結應力對流動特性的影響，具體方案如表2所示。

3.2分析方法

根據流體力學中常用的建立流動本構模型的方法，即采用實驗數據建立流變曲線進行參數擬合。為了確定描述液化后砂土非零有效應力狀態的流動本構模型，將根據動扭剪試驗結果繪制成的流變曲線作為研究對象。根據所采用流動本構模型的形式，流變曲線采用剪應變率表觀黏度之間的關系曲線。剪應變率和表觀黏度均由試驗數據計算獲得，公式為[11]

液化后動加載時，每一個荷載周期包括兩次加載和兩次卸載過程，根據以往學者的研究，只有在加載階段超孔壓比FLFL=Δuσ3c′接近1.0時，液化后砂土才會在極低的剪應力作用下使得剪應變迅速增長，即表現出近似粘性流體的特性。此外，文本選擇的研究對象為液化后零有效應力狀態下的砂土也滿足了這一特性。因此，將每組試驗中超孔壓比接近1.0（這里取大于0.99）時的數據點篩選出來，并借鑒陳育民等[11]的觀點，將1個周期的兩次加載過程分為“第一半周加載”和“第二半周加載”，具體的數據組如表3所示。

3.3剪應變率表觀黏度曲線擬合

將試驗結果中超孔壓比接近1.0的液化后砂土剪應變率表觀黏度的關系采用不同的流動本構模型進行曲線擬合，繪出流變曲線。采用的數據組為No.9、No.10、No.13、No.14、No.25和No.26。

圖2為采用不同流動本構模型進行曲線擬合的結果，從圖2可以發現，Carreau方程和Gross方程能較好地擬合出試驗結果。盡管兩個方程均為4參數方程，但Carreau方程在形式上比Gross方程更加復雜，因此，考慮在工程上本構模型越簡單越方便應用的原則，選擇Gross方程作為液化后砂土零有效應力狀態的流動本構模型。

3.4Gross方程曲線擬合的結果分析

采用Gross方程進行曲線擬合，擬合的方式為最小二乘法。調整相關度后，擬合度均達到了0.99，說明擬合出來的曲線和實驗數據點之間具有良好的相關度。

圖3為不同相對密實度下Gross方程的擬合結果，從圖中可知，在同一個周期的兩次加載過程中，“第一半周加載”和“第二半周加載”為兩個獨立的加載過程，剪應變率表觀黏度關系不一致。主要原因是，兩個加載過程的方向相反，應力應變歷史不一致，因此，有必要把兩個加載過程分開分析。

從圖3（a）中擬合曲線可知，當剪應變率相同時，相對密實度不同的液化后砂土，其表觀黏度不同，其中，相對密實度為40%的液化后砂土表觀黏度大于相對密實度為30%的液化后砂土，反映了松砂的表觀黏度隨相對密實度的提高而增加，即提高相對密實度可以增強疏松砂層液化后抵抗變形的能力。產生這一現象的原因是：松砂在振動受剪時，顆粒可以滾落到平衡位置，使得排列更加緊密，表現出剪縮性，當液化后砂土流動時，砂顆粒會重新排列，趨于整齊，砂顆粒越緊密，趨于整齊的過程中受到的流動阻力就越大。相對密實度為50%的液化后砂土，其表觀黏度與相對密實度的關系沒有反映出松砂的特性，產生這一現象的原因是：緊砂在液化后大變形的過程中，主要體現了剪脹性，即緊砂在振動受剪時，顆粒只能通過抬高或者錯位來離開原有位置，表現為剪脹性，當液化后砂土流動時，砂顆粒同樣會重新排列，趨于整齊，趨于整齊的過程中受到的流動阻力隨著砂顆粒的齊整程度而減小。圖3（b）中也存在類似的情況。

由圖3（c）中擬合曲線的走勢可知，在相對密實度和固結應力相同時，同一剪應變率對應的表觀黏度隨著循環周期的增長而增長，圖3（d）中也存在類似的情況。產生這一現象的原因是：液化后零有效應力狀態下砂土的流動過程即是砂顆粒重新排列整齊的過程，進行這一過程前，就已經存在過一次砂顆粒排列整齊后再被打亂的循環，本次重新排列過程勢必受到上一次的影響，并且這樣的影響是一種累加的過程，即建立在前一次循環基礎上的后一次重新排列過程要更困難，張建民等[17]的研究也發現，液化后零有效應力狀態時，砂土經歷的前期最大剪應變越大，此后發生的剪應變也越大。此外，從圖中相同條件下不同循環周期的擬合曲線分布較密可知，這種應力應變歷史導致表觀黏度的增長幅度不大。

圖4為不同固結應力下Gross方程的擬合結果，從擬合曲線的走勢可知，在剪應變率相同時，同一相對密實度的液化后砂土表觀黏度在固結應力為100 kPa時比在固結應力為50 kPa時大，即相同條件下，固結應力越大，液化后砂土流動時受到的阻力越大，產生這一現象的原因是：前期固結應力越大，砂顆粒之間越密實，當液化后砂土開始流動，砂顆粒開始重新排列整齊時，如果砂顆粒之間接觸得越緊密，則這種重新排列的過程越困難，從而流動阻力增大。

3.5液化后砂土基于Gross方程的本構模型探討

由式（12）可知，Gross方程中包含4個參數：零剪切表觀黏度η0，極限剪切表觀黏度η∞，時間量綱下的參數K和無量綱參數m。這些參數在描述液化后砂土零有效應力狀態下的流動特性時，具體表現為：

1）無量綱參數m不受初始相對密實度、前期固結應力、同一荷載周期內加載方向以及循環荷載周期的影響。

2）時間量綱下的參數K，單位為s，受初始相對密實度、前期固結應力以及同一荷載周期內加載方向的影響，但與循環荷載周期無關。在試驗結果中，當處于“第一半周加載”時，參數K隨前期固結應力單調遞減，初始相對密實度越高，參數K越小;當處于“第二半周加載”時，參數K隨前期固結應力單調遞減，初始相對密實度越高，參數K越大。參數K的表達式可以寫為

3）零剪切表觀黏度η0和極限剪切表觀黏度η∞，單位為kPa·s，受初始相對密實度、前期固結應力、同一荷載周期內加載方向以及循環荷載周期的影響，在試驗結果中，當處于“第一半周加載”時，η0和η∞隨循環荷載周期單調遞增;η0和η∞隨固結應力單調遞增;η0和η∞隨相對密實度單調遞增。當處于“第二半周加載”，η0和η∞隨循環荷載周期的增加在低固結應力時單調遞增，在高固結應力時單調遞減（由于遞減的幅度很小而且數據組數量有限，這里考慮到試驗精度以及物理性質的統一性，函數關系依然采用遞增關系）;η0和η∞隨固結應力單調遞增;η0和η∞隨相對密實度單調遞增。η0和η∞的表達式可以寫為

由于篩選出的試驗組數量有限，式（17）和式（18）具體的形式還有待更多的試驗數據來進行擬合推導。

4結論

開展了液化后砂土零有效應力狀態的流動本構模型研究，得出以下主要結論：

1）液化后砂土在零有效應力狀態時，表現為一種固液混合流體，其流動特性可以歸屬于混合粘性流體的研究范疇，這種混合流體結構導致其剪應變率表觀黏度的流動曲線上出現了“零剪切表觀黏度”η0和“極限剪切表觀黏度”η∞。

2）對動扭剪試驗結果的分析表明：液化后砂土在零有效應力狀態下，相對密實度較低時，即松砂相對密實度越高，液化后砂土流動時表觀黏度越大，相對密實度較高時，則反映了緊砂的剪脹性;液化后砂土流動過程中受到的阻力隨著受剪循環周期的增加而增加;前期固結應力越高，液化后砂土流動過程中受到的阻力越大。

3）對動扭剪試驗結果的擬合表明，Gross方程可以較好且相對比較簡潔地描述液化后砂土零有效應力狀態時的流動特性，其方程中的參數在加載過程的“第一半周加載”和“第二半周加載”是相互獨立的，并且通過對擬合參數的分析，得到了時間量綱下的參數K以及零剪切表觀黏度η0和極限剪切表觀黏度η∞的函數關系。

動扭剪試驗獲得的有效數據數量有限，為獲得液化后砂土零有效應力狀態的流動本構模型的具體形式，還需要開展更多的室內試驗進行驗證和校正。參考文獻：

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（編輯王秀玲）