變式引導，提出問題

賴啟茂

關鍵詞：變式;提出問題;最短路徑

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B? ? 文章編號：1009-010X（2020）11-0062-03

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步”。筆者在一次縣級教研活動中專門開設“以最短路徑為例，適時導引，提出問題”的公開課，整堂課圍繞讓學生能提出問題展開教學，獲得多數教師的好評，也有教師反映這種模式很難操作。現把教學實錄呈現給大家，歡迎同仁們商榷指正。

一、教學實錄

師：同學們，平常上課，一般都是老師展示題目，同學們解答。如解答錯誤，老師再講評。這種方式，同學們只能學會解決現有的問題。但是，現代社會迫切需要創新意識和創新能力的人才。這就需要同學們在日常學習中學會提出問題，提出與別人不一樣的問題，提出有思考價值的問題。這節課，我們就嘗試一下，以最短路徑為例，只提出問題，先不解答。

師：一說到最短，同學們能想到什么？

生眾：兩點之間，線段最短。垂線段最短。

師：對，這是說，點與點之間，線段最短;點與直線間，垂線段最短。

師：今天，就以這兩個知識點為基礎，不斷變式，提出新問題。

情景1：如圖1，A、B表示兩個村莊，l表示一公路，現欲在公路上修建一個加油站，從路徑的角度，你能提出什么問題？

生1：在公路l上哪一點建，到兩個村莊的距離相等？

師：好，你是從公平公正的角度提出問題的。

生2：在公路l上哪一點建，到兩個村莊的路徑之和最短？

師：不錯，生2是從最短路徑的角度提出問題。

師：接下來，同學們思考，對圖1進行適當變化，又可以提出什么問題？

生3：剛才，A、B在l的異側。如果A、B在直線l的同一側，如圖2

那么，①直線l哪一點到A、B的距離相等？

②在直線l上哪一點到A、B的路徑之和最短？

師：生3的數學思維不錯，能從A、B在l的異側想到A、B在l同側，然后提出兩個很有思考性的問題。

就圖2的情況，還能提出什么問題嗎？

（生眾沉默）

師：剛才生3提出，在直線l上哪一點到A、B的路徑之和最短，你可以改變其中的某個因素，從而可以提出不同的問題？

生4：想到了，想到了，可以問：

①在直線l上哪一點到A、B的路徑之和最長？

②在直線l上哪一點到A、B的路徑之差最長？

師：很好！看得出我們的同學更能提出問題了。生4怎么提問的呢？由“和”想到“差”，由“短”想到“長”。這叫逆向思維，即朝相反的方向去考慮，可提出新的問題。這里要提醒的是，生4提出的①中“路徑之和最長”，同學們想想，現實生活中，有沒有選擇更長的路徑去走的？這好象不太合乎常理，通常人們考慮的是怎樣走最短。因此，從思考的角度而言，可以在各方面去提出問題，但是提出的問題要有現實意義的為好，這樣的問題更有思考和應用的價值。現在來說說生4提出的問題②中，“路徑之差最長”，這問題耐人尋思，思維含金量很高。同學們課后好好研究研究。

生5（急不可耐的樣子）：還可以問：在直線l 上哪一點到A、B的路徑之差最短？

生4（迅速回答）：那不是0嘛，顯而已見。

師：生5能從“路徑之差最長”想到“路徑之差最短”也了不起！好，情景1就先提問到這里。

現在，把圖1進行變式，一條直線變成二條直線。

情景2：如圖3，l1、l2 之間表示一條河，A、B兩個村莊分別在河兩岸，現在想在河上建一座橋。

同學們想想，可提出什么問題？

生6：在哪里建橋，才能使得A到B的路徑最短？

師：很有道理，人們關心的是哪里建橋，A、B兩地的人們互相往來的路徑更短。

在圖3中還能提出新問題嗎？

（生眾沉默）

師：這里，A與B之間有一條河，你能想到什么？

生7：如果有兩條河呢？如圖4兩條河上分別在哪里建橋，才能使A到B的路徑之和最短？

師：幫生7補充一下，假定這兩條河是平行的，那么生7的問題是個好問題，很有思考性。

生8：我也補充一下，假定兩條河不平行，如圖5，那么在兩條河上哪里建橋，才能使A到B的路徑之和最短？

師：對，由“平行”想到“不平行”又提出一個新穎且有難度的問題，對我們的大腦很有挑戰性。接著我們把圖1，再次變式，直線變成折線。

情景3，如圖6，OA，OB表示某地的兩條街道，點P是郵局，現在想在OA、OB分別建一個報刊投遞點。就郵遞員的路徑可提出什么問題？

生9：分別在OA、OB上哪一點作報刊投遞點，才能使郵遞員從郵局出發到OA中的投遞點M，然后到OB中的投遞點N，再回到郵局P所走的路徑之和最短？

師：好樣的，提出一個三線段之和最短的問題。從情景3中抽象出幾何問題是：點P在∠AOB內，在∠AOB兩邊上如何分別確定點M、點N，使△PMN的周長最短，很有思考性的問題。在此基礎上，還能提出怎樣的問題？

生10：可否提出一個四邊形周長之和最短的問題？

師：行呀，怎樣表達呢？大家想想。

生10：四邊形應有四個頂點，OA上一點，OB上一點，還有P點，說明∠AOB內還需一個點。這樣就可提出一個問題：已知如圖7∠AOB，和∠AOB內的兩點P、Q，在OA、OB上分別確定點M、N，使四邊形PMNQ的周長最短。

師：精彩！又一個典型的問題。最后，把圖6進行變式，把角的開口封閉，∠AOB變式為△ABC.

如圖8，△ABC內找一個點P，路徑的角度，可提出什么問題？

生11：如何確定點P，使它到三個頂點的距離相等。

生12：（忽有所悟）：如何確定點P，使它到三邊的距離相等。

師：很棒，兩個很有意義的問題。類比前面的幾個問題，還可提出什么問題？

生13：①如何確定點P，使PA+PB+PC最短。

②如何確定點P，使它到三邊距離之和最短。

師：問得好！今天的提出問題就到這里。同學們提出的各種問題，就作為今天的作業回去思考，下節課再來交流。現在一起回顧一下，這節課，我們是怎樣不斷變式提出問題的？

生：（略）

二、教學反思

（一）設置情景，催生學生的提問欲望

所有問題的提出，都有其特定的背景，因此，希望學生提出問題，教師得先圍繞某個主題，設置相應情景。比如情景1，公路兩旁分別有一個村莊，公路上要建加油站，從路徑角度提出問題。此情景一出現，絕大部分學生都能“觸景生情”提出問題。后面情景2，情景3、情景4都是學生身邊的事例，如果學生用數學的眼光去觀察、思考，不難產生提問的欲望。

設置情景的原則：①應在學生的生活經驗和認知水平范圍內設置情景，學生才可能有“感”而“問”;②情景中出現的各個要素應恰當，過少或過多都不利于學生提出問題，如果過少，比如情景1中，缺少從“路徑角度”，學生要么茫然，要么胡思亂問，如果過多，比如情景1中，改為“從距離相等的角度提問”，整個情景無問題可提了。

（二）變式導引，積累學生的提問方法

怎樣才能提出問題，與學生的原有的知識結構、思維品質、提問方法等多方面因素有關系。作為教師，普遍十分重視幫學生夯實基礎知識，努力提升學生思維品質。然僅此而已，學生還不會提出問題。因此在日常教學中，教師要樹立培養學生問題意識的意識，引導學生經歷、感悟提出問題的過程與方法。當然，提出問題有很多方法，教師應循序漸進地滲透。可從“變式提問”入手，讓學生充分感知如何面對情景或數學現實提出問題。本節課，情景1中，A、B兩點從異側變同側;情景2中，一條河變兩條河;兩條河平行變不平行;情景3中，三角形變四邊形;情景4中，開放變封閉。諸如此類的變式，都是在導引學生怎樣改變角度，提出問題。長此以往，學生的問題意識越來越強烈，逐漸地把提出問題內化為自己主動學習的一種習慣。

（三）賞識鼓勵，增強學生的提問自信

我們中國的學生，大多數習慣于解題。如果讓他們“無中生有”提出問題，普遍感到很困難。因為提出問題與解題是不同角度、不同層次的思考，是屬于更高階思維的體現。開始時學生對提出問題都很畏懼。因此，教學中除了設置學生熟悉的低起點便于學生發問的情景外，教師還需特別注重賞識鼓勵學生。學生提問時可能出現多種現象，如：①提不出問題;②提出的問題可能沒意義;③表達不清楚等等，每個細節教師都要從學生的心理感受方面著想，輔之以合適的鼓勵，掃清學生提問路時的心理障礙。逐步使學生增強提出問題的自信，從敢于提問向善于提問邁進。

參考文獻：

[1]劉湘萍.論數學課堂中提問的方式與技巧[J].中學數學，2019，（6）.

[2]溫建紅.論數學課堂預設提問的策略[J].數學教育學報，2011，（3）.