非多重集群音程循環算法與有限移位模式的拆分

非多重集群音程循環與梅西安有限移位模式具有同構關系，本人在《非多重集群音程循環算法與有限移位模式拓展》一文中 已經計算出了相關運算數據，并引申出5種新的具有非多重集群音程循環特點的有限移位模式以及相關運算公式即 ：

Ord.PCI（1，3）-Cycle ?SUM=4 d=4 L=6 四次移位，音數6; （六聲音階）

Ord.PCI（1，2，3）-Cycle 0 1 3 6 7 9 0 SUM=6 d=6 L=6 ;六次移位，音數6，

Ord.PCI（1，3，2）-cycle 0 1 4 6 7 10 0 SUM=6 d=6 L=6，六次移位，音數6，

Ord.PCI（1，5）-Cycle 0 1 6 7 0 SUM=6 d=6 L=4，6次移位，音數4。

下文筆者通過拆分運算模型對相同的有限移位模式進行了不同可能性的音列拆分并總結運算過程。

一、相同有限移位模式拆分不同非多重集群音程循環的可能

以音程循環的方式去看待有限移位模式時，便會發現同一有限移位模式可以拆分為不同的非多重集群音程循環的可能，如以：（4，5）-cycle，為循環該循環產生一個八聲音階，即04916T37，同時 Ord.PCI（1，2）也能產生一個相同的八聲音階，即0134679T0，經驗證兩者是完全相同的音階結構。

那么我們便可以發現這兩個循環的SUM值9與3，在模12空間內為互補關系，即它們與12的最大公約數相同。因此依據愛德華所提供的雙音程混合循環音數長度計算公式：

“L=2（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y（mod12）”則它們的音數必然是相同的，即d值不變的情況下，L是等值的。

因此我們便可以在音數不變的情況下，只需確保新的循環中每次循環的音高級結果僅一次出現在原始的有限移位模式中，便可將所有有限移位模式盡數拆分。筆者在計算出除梅西安第一有限移位模式單音程循環外的其他六種具有非多重集群循環特性的有限移位模式，以及新生成的五種有限移位模式的所有可用混合音程循環拆分結果。結果中僅列出拆分后的原始排列，其轉位形式可以通過順次將第一個有序音級音程移至最后來求得。如（1，8）cycle其轉位包括（8，1）。 （2，1，5）cycle其轉位包括（1，5，2）（5，2，1）。

二、相同有限移位模式拆分不同非多重集群音程循環的運算方式

（1）雙音程循環的有限移位模式拆分步驟

設：SUM=x+12n（n為自然數），雙音程循環為（a，b）-cycle.

a+b=SUM=x+12n，則b=x+12n-a

為確保音程循環所生成的音高級僅出現一次則，

a+b+a≠12n，且b+a+b≠12n，

則a+b+a=a+x+12n-a+a=x+12n+a≠12n，;

b+a+b=2x+24n-2a+a=2x+24n-a≠12n

則確定所要拆分的模式原型，并列出音列，確定SUM值x，帶入公式上一步公式中，確定a的值≠多少，并順次帶入音列中音高與0的音程差，求得所有可能。如（1，5）cycle模式展開為0 1 6 7 0;SUM=6，帶入x+12m+a=6+12n+a≠12n，則a≠6，帶入2x+24n-a=12+24n-a≠12n，則a≠0，則相對于該模式a只能等于1或7，并算出相應的b值，可得循環（1，5）;（7，11）.

（2）三音程循環的有限移位模式拆分步驟

三音程循環的有限移位模式拆分需先將SUM拆分為兩個音程的循環，方法見雙音程循環有限移位模式的拆分。則在拆分為雙音程的基礎上（a，b）cycle，將b拆分為c、d.便可得到三音程循環（a，c，d）-cycle，則為了確保該三音程循環所產生的音高級僅出現一次，則a+c≠12n，d+a≠12n. a=SUM-c-d，帶入可得SUM-c-d+c≠12n，則SUM-d≠12n，SUM-c-d+d≠12n，則SUM-c≠12n，順次帶入所要拆分的有限移位模式中的音高級差值，得出所有結果。如，模式五（1，4，1）cycle展開為0 1 5 6 7 11 0，則依據雙音程循環的拆分法可以得到a≠6，且a≠0.將SUM值6帶入三音程循環拆分的兩個范圍公式可得6-d≠12n;6-c≠12n;則d，c均不等于6.第一步拆分為（1，5）（5，1）（7，11）（11，7）第二步拆分為，（1，4，1）（1，10，7）（5，2，11）（5，8，5）（7，4，7）（7，10，1）（11，2，5）（11，8，11）

（3）四音程循環的有限移位模式拆分步驟

四音程循環的有限移位模式拆分，需先將有限移位模式拆分成三音程循環的有限移位模式，方法見三音程循環的有限移位模式拆分。將（a，c，d）-cycle拆分成（a，c，e，f）-cycle，則為了確保該四音程循環所產生的音高級僅出現一次，則c+e≠12n;f+a≠12n，SUM-e或f不等于12n，順次帶入所有音程差，求得所有可能。如我們以模式四（1，1，3，1）-cycle為例，先將其拆分成三個音程的循環，我們以其中一個（5，2，11）則e≠10 f≠7 e或f不等于6，則順次帶入所有音高級差可得（5，2，1，10）（5，2，7，4）

（4）五音程循環有限移位模式的拆分步驟

五音程循環的有限移位模式的拆分，需先將有限移位模式拆分成四音循環的有限移位模式，方法見四音程循環的有限移位模式的拆分。將（a，c，e，f）-cycle拆分成（a，c，e，g，h）-cycle，則為了確保該四音程循環所產生的音高級僅出現一次，則h+a≠12n，g+e≠12n，c+e+g≠12n，h+a+c≠12n，SUM-h或g≠12n.順次帶入音列中的音高級差，求得所有可能。如以模式七（1，1，1，2，1）-cycle為例先將其拆分為四音循環模式，我們以其中一個（11，4，5，10）為例，則g不等于7或3，h不等于1或9，g與h均不等于6，順次帶入音高級差，可得（11，4，5，5，5）（11，4，5，11，11）兩種可能。

三、有限移位模式拆分不同非多重集群音程循環的結果列表

在對相同有限移位模式拆分成不同非多重集群音程循環的實驗中，得到了對11種有限移位模式拆分為不同非多重集群循環的列表，并總結出算法過程。該表中的數據可以應用于創作與分析研究，同時該分類表具有對艾倫福特音集集合理論應用在音程循環方面的解讀，筆者將另作文章進行研究論述。

課題項目：周口師范學院校本項目ZKNVB32 01808

參考文獻：

[1]張晨明：《淺談愛德華格林音程循環參數算法理論》《音樂生活》，2019年第9期。

[2] 2007. “Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

張晨明 周口師范學院音樂舞蹈學院助教