基于響應面法和蒙特卡洛法的公路路塹邊坡穩定性可靠度分析

閆強 廉向東

摘要：為了研究公路路塹邊坡穩定性，分析邊坡的穩定狀態，文章以某路塹邊坡為例，基于可靠度理論，采用響應面法和蒙特卡洛法，對邊坡穩定性敏感因素中的粘聚力和內摩擦角兩個巖土參數進行了分析。分析結果表明：響應面法和蒙特卡洛法所得可靠度指標存在一定誤差，其計算值分別為2.966 4和3.252 6;粘聚力及內摩擦角均值與可靠度指標呈正相關，兩者變異系數、相關系數與可靠度指標呈負相關。

關鍵詞：公路路塹;響應面法;穩定性;蒙特卡洛法;可靠度

0 引言

公路路塹邊坡的穩定性問題一直備受關注，眾多工程研究人員對邊坡穩定狀態也進行了持續的分析研究，但未能有效解決。陳沛等提出了基于隨機響應面法的風化巖質邊坡穩定可靠度分析方法[1];鄧志平等研究了考慮地層變異性和土體參數空間變異性的邊坡可靠度全概率設計方法[2]。這些基于可靠度理論的邊坡穩定性分析研究，為邊坡穩定狀態的判斷提供了理論基礎，但也存在一定的應用局限性和缺乏足夠的實踐驗證性。

本文以廣西某擴建高速公路路塹邊坡為工程實例，基于可靠度理論，采用響應面法和蒙特卡洛法分析了邊坡的可靠性，提出了邊坡的可靠度指標，并研究了相關系數與可靠度之間的關系，為邊坡的開挖、施工提供了一定的依據。

1 可靠度分析理論

不確定性存在三種情況：（1）隨機性：指因發生條件的不充分、控制條件的不同和發生要素的差異，導致同樣過程的不同結果，這類情況一般采用概率論、數理統計或隨機過程等理論進行分析;（2）模糊性：指的是未能清晰界定邊界的事物，或因評定標準的不明確而導致的不確定性，這類問題可以利用Zadeh的模糊性數學進行分析;（3）知識的不完備性：這類問題尚無成熟的數學方法進行研究，而針對巖土結構的可靠性分析是基于設定的時間里、設定的參數條件下結構所完成的功能特征，采用可靠度進行表征。結構隨機變量采用X表示，其功能函數用g（X）表示，其工作狀態表達式如下：

隨機變量分析和失效概率計算是可靠度分析中的兩個關鍵分析要素。通常情況下，隨機變量是影響邊坡穩定性的主要因素，因此對邊坡的失穩研究可以利用基于隨機變量的可靠度分析方法，如響應面法、蒙特卡洛法或FORM法[3-5]。

2 可靠度分析方法

2.1 響應面法

在巖土工程實踐中，由于許多大型巖土結構的構造通常均非常龐雜，因此若想獲取具有明確表達的函數關系式通常較為困難。而響應面法是將隱式函數用顯示函數代替，結構可靠度分析的過程，即利用較少的確定性測試擬合響應面，然后將實際條件下的極限狀態曲面用該響應面替換，最后再利用其他方法進行結構的可靠性分析[6-7]。

采用響應面法是將隨機變量均值作為初始迭代點，繼而計算函數以計算（2n+1）個點估計值，之后再使用這些點來求解方程式（2）中未確定的系數，從而獲得極限狀態方程。利用傳統的可靠性分析方法求解驗證點X*（k）和可靠性指數β（k），其中k是迭代次數，再通過設定精度α以檢驗計算結果，將驗算點作為平衡點重新迭代直至滿足條件，最后計算失效概率。

2.2 蒙特卡洛法

Monte Carlo法簡稱MC，該方法也稱為統計檢驗方法或隨機模擬方法。這種方法精度相對較高，但是計算量大，宜應用于比較繁冗復雜的可靠度分析。蒙特卡洛法的計算過程為：第一步確定函數的失效條件或結構的失效模式，第二步對隨機變量進行n次采樣，第三步計算函數值。假設小于0的函數值的數量是L，則將失效概率以L/n計[8-9]。

基于伯努利在數學統計中的大數定理，當n足夠大時，隨機事件出現的頻率f在概率p處收斂。鑒于小概率事件其功能函數小于0的概率極其微小這一因素，故當n的值恒定時計算精度不高。為了獲得更高的可靠性指標，n的取值必須很大。因此需要統計計算n個樣本得到函數值，從而得出功能函數的特征參數和函數分布特征，最后再就可靠度問題對所得功能函數進行分析。通過隨機抽樣方式，獲取兩個隨機變量的樣本值，此樣本值服從標準正態分布，具體如下：

其中：r1、r2——服從均勻分布的兩個隨機數;

R1、R2——兩個隨機樣本值，符合標準正態分布。

文獻表明[10]：邊坡巖土的粘聚力c和內摩擦角φ對邊坡穩定性影響較大，粘聚力和內摩擦角的抽樣公式為：

3 邊坡穩定性可靠度分析

本節以廣西某擴建高速公路路塹邊坡為例，針對主要影響邊坡穩定性的粘聚力c及內摩擦角φ兩個參數，采用響應面法和蒙特卡洛法對影響邊坡穩定性的因素進行可靠性分析。具體流程詳見圖1。

3.1 響應面法分析

本小節利用響應面法就邊坡穩定性可靠度進行了詳細的計算分析，相關邊坡巖體參數取值詳見表1。

計算結果詳見表2。結果表明：使用響應面法計算所需的可靠性指數僅需迭代3～4次。

3.2 蒙特卡洛法分析

計算與不同采樣數量對應的可靠指標，并將其繪制在圖2中。由圖2可知：采樣數<6 200次其可靠性指標分布浮動較大，而當采樣數>6 200次后其可靠性指標分布趨向穩定。

樣本數n處于6 200次時所測得的安全系數概率分布曲線和概率密度曲線結果分別如圖3和圖4所示。測試結果表明，安全系數曲線與正態分布曲線吻合良好，服從正態分布。

基于計算結果發現，響應面法和蒙特卡洛法計算的可靠性指標分別為2.966 4和3.252 6，兩種計算方法存在誤差。這是因為兩種計算方法的準確性取決于隨機變量的函數分布，函數的非線性程度越高，其所得可靠性指標的差異越大。

3.3 影響因素分析

本文為分析粘聚力c和內摩擦角φ兩因素對邊坡穩定性可靠度的影響，計算樣本數n為6 200次時兩者的均值、變異系數等參數。圖5～8為各參數計算結果變化趨勢曲線。

由圖示結果可知：粘聚力均值和內摩擦角均值與可靠度指標呈正相關，兩者對應的變異系數和相關系數與可靠性指標呈反相關，兩者之間的變異系數對可靠性指標的影響最大，內摩擦角均值對可靠性指標的影響大于粘聚力均值，兩者之間的相關系數對可靠性指標的影響最小，一般情況下可以忽略不計。

4 結語

（1）采用響應面法計算所得可靠度指標值為2.966 4，而采用蒙特卡洛法計算可靠度指標值為3.252 6，兩者存在一定的誤差。計算的準確性在很大程度上受隨機變量分布函數的影響。

（2）粘聚力和內摩擦角的平均值與可靠性指標呈正相關，粘聚力和內摩擦角的變異系數和相關系數與可靠性指標呈反相關。兩者之間的變異系數對可靠性指標的影響最大，內摩擦角均值對可靠性指標的影響大于粘聚力均值，兩者之間的相關系數影響最小，一般可以忽略。

參考文獻：

[1]陳 沛，苗作華，董 舒，等.基于隨機響應面法的風化巖質邊坡穩定可靠度分析[J].礦業研究與開發，2018，38（11）：51-56.

[2]鄧志平，牛景太，潘 敏，等.考慮地層變異性和土體參數空間變異性的邊坡可靠度全概率設計方法[J].巖土工程學報，2019，41（6）：1 083-1 090.

[3]張 海，李 帆，陽 芳.土層參數隨機性對多層土模型傳遞函數的影響[J].山東農業大學學報（自然科學版），2011（4）：555-560.

[4]陳榮江，張萬琴.概率論與數理統計[M].北京：北京大學出版社，2006.

[5]秦 權，林道錦，梅 剛.結構可靠度隨機有限元-理論及工程應用[M].北京：清華大學出版社，2006.

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[7]楊成永，張 彌，白小亮.用于結構可靠度分析的多響應面法[J].北方交通大學學報，2001（1）：1-4.

[8]張光鵬.基于蒙特卡羅法的黃土滑坡穩定性研究[D].蘭州：蘭州大學，2013.

[9]褚雪松，李 亮.偽蒙特卡羅法及其在邊坡可靠度分析中的應用[J].土木建筑與環境工程，2013（6）：33-39.

[10]閆 強.高速公路改擴建工程高邊坡開挖過程穩定性研究[D].西安：長安大學公路學院，2015.

作者簡介：閆 強（1982—），高級工程師，主要從事道路工程建設管理工作。

基金項目：中國博士后科學基金（2019M663872XB）