借助圖形活動發展理性思維

朱衛崢

《數學課程標準（2011年版）》明確指出：數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種教學活動過程的結果。數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中不斷積淀，是在數學學習過程中不斷積累的。

一、經歷操作，形成有條理的探究經驗

小學生的思維特征決定他們側重于親身經歷所得到的感受，動手操作能把抽象的知識轉化為形象化、直觀化。教師應精心設計和組織學生經歷實驗操作，在活動過程中獲得多樣的學習感受和多方面的體驗信息。

1.呈現豎著/橫著劃分的規律

師：我們先請這個同學介紹他的發現。

生：我發現橫著是4個點，有這樣的4行，算式就是4×4。

師：同樣是表示4個4，還可以怎樣分？

生：現在是豎著看的，一列有4個點，有這樣的4列，也是4個4。

2.呈現斜著劃分的規律

師：我們再看看這個同學發現的規律，哦，斜著也有規律的嗎？規律是什么？誰看明白了？

生：斜著分，從1個點開始，一個一個點增加，加到對角線時，再又一個一個點減少，直到一個點為止。

師：誰聽明白他的意思了？（一生重復）

師：恩，這個算式蠻有意思，誰能解釋？（結合點陣圖將式子1+2+3+4+3+2+1中的加數與點子結合起來分析）

師：同學們再觀察一下，這個最大的數就是指哪幾個點？師生一起討論算式的意思。

生：最大的數表示的是斜著的對角線上的點，它和正方形點陣橫著、豎著的點的個數是一樣的。（教師將“4”用不同顏色的改過來）

生：1+2+3+4+3+2+1，其實也是表示4個4

在討論中教師示范出4個4的意思。

1+2+3+4+3+2+1

二、分析運用，積累豐富活動經驗

那怎樣使學生認識深刻？唯有還知識本來的面目，讓學生感受知識產生過程中的挑戰，激發學生學習的積極性。教師在設計教學環節時就該考慮將一個個問題的設計環環相扣，引著孩子們的思維由一汩汩細流匯聚成汪洋的一片，思維的火花在不斷地碰撞中產生智慧的種子。整個過程，充滿思維的靈性，學生經歷了被挑戰的過程，體驗到了思考帶來的樂趣，領悟到了數學學習的魅力！

師：同學們非常能干，從這幅點陣圖中發現了3種規律，現在請用你自己發現的這些規律來研究第5幅圖的規律？請把你的想法在紙上表示出來。（學生獨立完成，然后同桌交流）

師：誰來介紹你是怎樣研究第5幅點陣圖的規律的？

學生介紹，課件顯示5×5的正方形點陣，根據學生回答在課件上進行三種規律的劃分，在黑板上完成板書：

25=5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1=1+3+5+7+9

師：三個算式，最終表示的都是？

生：有5個5的正方形點陣圖，總共有25個點。

對教材知識點的深入挖掘需要我們不斷地學習和反思。重視數學思想就是對“以不變應萬變”的追根溯源，即方法都是從思想中得到衍生的。但是，每節課的數學思想被提煉出來以后，怎樣將其從抽象的描述變為形象的表達，怎樣讓學生明白其精髓，怎樣巧妙合理地讓其在教學環節中得以凸顯，這常常困擾著大家。

三、推理驗證，提升理性思維

學生的思維應該是一直處于一種積極、愉悅的思考過程當中，有了積極的思考，心底才會有所感悟。其次，數學思想的滲透在現如今的數學課堂上也被提高到一個越來越重要的位置上來，而本節課力圖要體現的就是在探索規律的過程中滲透數形結合的思想。

師：剛才我們已經研究了第4幅、第5幅點陣圖的規律，如果是第8幅呢？你能直接用算式表示點的排列規律嗎？如果有困難，你也可以借助格子圖先畫出第8幅正方形點陣圖，再來研究。（學生思考并作業）

師：誰來說說你是如何研究的？為什么？那還有不同的規律發現嗎？

生：64=8×8

=1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1

=1+3+5+7+9+11+13+15

師：大家都是這樣研究的嗎？你們的推理是不是正確呢？請看大屏幕，我們來驗證一下。（課件演示第8幅點陣圖）

師：照這樣推理，第9幅正方形點陣圖又會是怎樣的？

1.第N幅正方形點陣圖的點總共有幾個呢？

生1：N×N

生2：1+2+3+…+N+…+3+2+1

生3：1+3+5+…（2N-1）

師：了不起！這可是你們初中要學習的等差數列，你都已經知道了，真的很能干！

師：那如果現在有100個點組成了一幅正方形點陣圖，想象一下，會是什么樣子的？

師：看到1+2+3+…+50+…+3+2+1，你想到了怎樣的正方形點陣圖？總共有幾個點？看到1+3+5+7+9+11+13呢？1+3+5+7+…+35呢？

師：同學們真的很能干，通過研究自己發現了點陣中的3種不同規律，我們可以像這樣橫著、豎著、斜著、拐彎著去研究，從而列出不同的算式，但是這些方法之間也還是有聯系的，它們最終表示點的個數是一致的。

師：剛才我們研究的是正方形點陣中的規律，那長方形和三角形點陣中又有怎樣的規律呢？請你獨立完成作業紙的第1、2兩題，做好的同學可以互相交流，教師巡視。

師：同學們，今天我們通過研究點陣中的規律發現了“數與圖形”之間還有這種巧妙的關系。你們的發現和兩千多年前古希臘的一個偉大數學家畢達哥拉斯的想法是一致的。（課件出示圖片）畢達哥拉斯對數的研究非常著迷，他認為：數不但有量的多少，而且也具有幾何形狀。于是，他就把數想象成小石子或者小圓點，擺成點陣圖來研究。希望同學們能像畢達哥拉斯這樣喜歡數學、善于思考，也成為一個偉大的數學家！

總之，數學活動經驗的積累是一個長期的過程，教師是學生經驗積累的開發者和引導者，因此教師要以研究者的心態，根據不同的教學內容，選擇合適的教學活動，優化學生的學習活動，探尋數學活動經驗在課堂教學中實施策略。學生通過各種不同方式的學習活動，才能達到對數學知識的理解與感悟，從而逐步積累，形成數學活動經驗。