具有平行平均曲率向量的偽臍子流形

溫煥明，陶炎芳

(1. 江西科技學院，330098，南昌；2.南昌師范學院附屬中學，330029，南昌)

0 引言

對于Nn+p中具有平行平均曲率向量的偽臍子流形，有如下定理。

定理A[1]:設Mn是Nn+p中具有平行平均曲率向量的緊致偽臍子流形，若Mn的Ricci曲率Rii滿足

則Mn是Nn+p的全臍子流形。

本文根據(jù)定理A中的情形研究了局部對稱空間具有平行平均曲率向量的偽臍子流形，得到這類子流形關于第2基本形式模長平方σ和RicciQ的一個拼擠定理。

1 預備知識

又設Nn+p是局部對稱空間，即KABCD,E=0，其中KABCD,E是Nn+p的曲率張量KABCD的共變導數(shù)，且約定指標的取值范圍為

1≤A,B,C,…≤n+p;1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p。

設Mn是等距浸入在Nn+p中的n維緊致子流形，在Nn+p上選取局部正交標架場{eA}，使得它限制在Mn上，{ei}切于Mn。設{ωA}是eA的對偶標架場，{ωAB}是Nn+p的聯(lián)絡形式，則限制在Mn上，有

(1)

(2)

以下總假設Mn具有平行平均曲率向量，則

(3)

又Nn+p是局部對稱的，則

(4)

式中：Kαijkl為Kαijk的協(xié)變導數(shù)。以下總選取en+p與ξ的方向相同，則

(5)

由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)，經計算

(6)

(7)

于是，由式(1)、式(6)，對于任何實數(shù)a，有

(8)

為了后面的證明，引進2個引理：

2 定理的證明

定理：設Mn是局部對稱的δ-Pinching黎曼流形Nn+p中的具有平行平均曲率向量的緊致偽臍子流形(p≥2)，若

則Mn是Nn+p的全臍子流形。

證明：在式(8)中取a=-1,則有

(9)

由引理1和引理2可得：

(10)

所以在定理的條件式有：

(11)

因Mn緊致以及Hopf極大值引理得τ為常數(shù)，再由式(10)、式(11)得τ=0，即

(12)

或

(13)

當式(13)成立時，上面各式均取等號，由式(10)取等號得δ=1，從而式(9)為：

(14)

此時由定理A和文獻[2-3]，易見τ=0，再由式(6)知，Mn是Nn+p的全臍子流形。