淺談在三角函數(shù)中靈活運(yùn)用‘1’解題

張衛(wèi)峰

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)常考的知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)地理學(xué)，物理學(xué)中力學(xué)電磁學(xué)的基礎(chǔ)，就像張景中院士指出：“在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)的內(nèi)容至關(guān)重要，三角函數(shù)不僅是連接幾何與代數(shù)的一座橋梁，還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道。”因此掌握三角函數(shù)的恒等變形方面的技巧，不僅在考試中能夠?yàn)榻忸}節(jié)省很多時(shí)間，而且對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和其他學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)都有著重要的意義。本篇論文只簡(jiǎn)要的從下面幾個(gè)方面淺談如何靈活巧妙利用三角函數(shù)恒等變形處理“1”并解決相關(guān)問題。

1 利用特殊角的三角函數(shù)值等于1解題

在三角函數(shù)中，有一些特殊角的三角函數(shù)值等于1，例如，，，等，下面主要以常見常考的和為例來談運(yùn)用公式解題。

1利用（）解題。

例1.化簡(jiǎn)

分析：可能會(huì)有很多同學(xué)認(rèn)為這已經(jīng)是最簡(jiǎn)形式，其實(shí)它還有更簡(jiǎn)單的形式——利用兩角和的正切公式變化，這就需要對(duì)原式中的相關(guān)“1”用代換。

解：原式.

例2.求值

分析：第一種思路，利用代換式子中的“1”來求解;第二種思路，先根據(jù)兩角和公式求的值，然后代入中求值。

解法1：===

解法2：∵==

∴====.

例3已知=，求的值.

分析：只要深入挖掘題意，找到，聯(lián)想到公式=，問題便可迎刃而解。

解：∵===

∴===

例4.計(jì)算。

分析：當(dāng)時(shí)，=

==2

解：原式=

=

2.利用解題.

例5求的值.

分析：由誘導(dǎo)公式=可得，=和===，而=1和，兩個(gè)不相關(guān)的式子，通過“1”聯(lián)系起來，便可對(duì)求值迎刃而解，起到事半功陪的效果。

解：===

====

2 利用含有“1”的三角函數(shù)等式進(jìn)行解題

在三角函數(shù)中，許多等式中都含有“1”，例如，=1，等多個(gè)等式，但是就以最常考最常用的和=1為例來談靈活處理“1”，進(jìn)行解題。

1.利用進(jìn)行解題.

例6.求的值.

分析：我們觀察問題中的八個(gè)角，可以發(fā)現(xiàn)這些角兩兩互余的重要特征，便可聯(lián)想到誘導(dǎo)公式=并靈活運(yùn)用，可將問題轉(zhuǎn)化到處理，問題便可輕松解決。

解：原式=

=

=

=

例7? 計(jì)算

分析：此題看似老吃天，無處下爪。只要我們善于觀察發(fā)現(xiàn)這一個(gè)重要特征，解決本題也就容易了，但當(dāng)我們計(jì)算下去時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)形式的式子，這樣我們就會(huì)聯(lián)想到誘導(dǎo)公式得到，從而就可得到，此問題就變得簡(jiǎn)單易懂。

解：∵

∴

例8? 求證=

分析：此題中即含有正切有含有余切，要解決此問題，我們就要找到正切余切的聯(lián)系點(diǎn)問題就變簡(jiǎn)單多了。若從左到右考慮化簡(jiǎn)證明，則是遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，潛在的“1”是解決此問題的關(guān)鍵。

證明：式左=

=

=

∵式右=

∴

例9? 在中，求證

證明：當(dāng)為直角三角形時(shí)，等式顯然成立。

當(dāng)為非直角三角形時(shí)，

==

∵

∴=

∴

2利用=1進(jìn)行解題

例10（2009遼寧高考題）已知，則=（? ?）

A.? ? ? ? ?B? ? ? C? ? ? ?D

分析：利用已知條件，我們很容易想到這道題需要進(jìn)行“弦化切”，因此，我們利用已知整式中分母為“1”的條件，將“1”轉(zhuǎn)化為，從而進(jìn)行解答。

解：

=

∵，∴，故選D

例11（2015年四川）已知?jiǎng)t的值是__________

解：因?yàn)樗?/p>

∵

∴當(dāng)時(shí)，.

例12? （2009年高考江西卷第5題）若則的值為（? ?）.

（A）? ? ? ? ? （B）? ? ? ? ? （C）? ? ? ? （D）-2

分析? 運(yùn)用解題.

解析? 因?yàn)椋?/p>

∴，選（D）.

例13化簡(jiǎn).

分析：原式分子中根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)的是的2倍，由此可以聯(lián)想到將“1”代換為，從而可用完全平方公式。

解：原式=

例14 求的值.

分析：

解：原式

例15求證=

分析：若式子左邊中的“1”用來代替，則可使式子左邊的分子配方變成，再將分母分解因式，分子分母便可約分化簡(jiǎn)。

證明：∵式左=

∴

例16 已知，化簡(jiǎn).

分析：對(duì)于含二次根式的代數(shù)式化簡(jiǎn)，主要是將根號(hào)下的被開方數(shù)配方成完全平方式，在利用二次根式的性質(zhì)=進(jìn)行化簡(jiǎn)。觀察此題，利用進(jìn)行代換.

解：原式=

=

=

=（∵，∴）

=.