淺析兩類光源下的菲涅耳圓孔衍射*

靳 龍

（湖北汽車工業學院理學院，湖北 十堰 442002）

菲涅耳圓孔衍射實驗不僅操作簡單、現象直觀，而且易于通過圖解法來闡明，被廣泛應用在高中物理、大學物理以及光學的教學素材中[1]。相較于夫瑯禾費衍射，菲涅耳衍射屬于近場衍射，故一般應在距離衍射屏比較近的菲涅耳區觀察出射光波的這類衍射現象，而對入射光的位置和類型則沒有限制[2-5]。隨著激光器的發展和普及，在演示這類現象時，通常以高斯光束替代傳統的自然光波作為入射光源；而在理論教學中，卻以普通的球面光波或平面光波作為入射光源，利用菲涅耳半波帶法和振幅矢量法進行相關理論教學。光源的差異是否會對接收屏上的菲涅耳衍射光強分布產生影響，進而導致理論和實驗教學的不自洽，是專業教師在教學環節中需要探索的問題。

另外，在利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式定量計算圓孔菲涅耳衍射時，會遇到非常繁瑣的積分運算，通常只能利用數值積分近似計算，但垂直圓孔中心軸線上的衍射光強分布，卻有解析解。故本文利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式，研究了高斯光束和平面光波兩種光源照射下，接收平面對應軸線上的菲涅耳衍射光強分布，探究了這兩類衍射光波相對光強分布隨傳輸距離和圓孔半徑的變化規律，進一步分析了高斯光束束腰半徑對衍射光強分布的影響。研究結果證實了理論和實驗教學中使用不同種類光源進行菲涅耳衍射觀測是可行的，同時相關結論和研究方法可以作為專業教師的教學參考。

1 兩類光源下的菲涅耳圓孔衍射理論建模

當光波通過圓形孔徑光闌，將在菲涅耳區發生次波疊加，對應接收屏上任一點的電場復振幅可通過菲涅耳-基爾霍夫積分公式描述[6]為

式中：E2（x，y，z）為出射光波電場強度；E1（x0，y0，0）為入射光波電場強度；∑為積分區域。因為求解區域在軸線上，故x=y=0，這樣可以簡化積分求解過程，所得結論又不失一般性。同時，考慮到是圓孔衍射，故需將直角坐標系變換為柱坐標系，這樣，式（1）可以改寫為

式中：R為圓孔半徑。對于入射平面光波，其電場強度在忽略相位因子后可簡單表示為

將式（3）代入式（2），便可求得觀察屏中心處的菲涅耳電場強度分布為

如光源為高斯光束，則其電場強度分布[7]為

式中：ω0為高斯光束的束腰半徑。利用式（5）和式（2），同理可以求出對應位置高斯光束的電場強度分布為

可以看出，當入射激光的束腰半徑ω0→∞，高斯光束的菲涅耳衍射電場強度分布便與傳統平面光波無異。一般情況下，觀測屏軸線上相應光波的菲涅耳光強分布可由式（4）或式（6）及其復共軛求得，具體公式為

式中：c為真空中的光速；μ0為真空磁導率；n0為自由空間折射率。三者均為常量。

2 兩類光源下的菲涅耳圓孔衍射實驗結果與討論

2.1 平面光波菲涅耳圓孔衍射光強分布特性

平面光波經過圓孔后，研究衍射光強隨傳輸距離z的變化規律。圖1 給出了軸線上不同位置處的歸一化相對光強分布曲線，其中，入射光波長λ=632．8 nm，圓孔半徑R=0．5 mm。從圖1 可以看出，當時，菲涅耳衍射效應顯著，且隨著傳輸距離z 的增加，軸線上的光強發生著明暗交替的變化；而當后，光強將單調減小，表明衍射區域已逐漸進入遠場夫瑯禾費區。圖2 給出了在z=0．395 m 處，相對光強隨圓孔半徑R的變化曲線。從圖2 可以看出，隨著圓孔半徑的增加，相對光強逐漸增加，然后在時達到極大值，進而又繼續減小。以上結論都與利用菲涅耳半波帶法定性研究的結果一致[8]，但利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式求出了圓孔軸線上菲涅耳衍射光強的解析解，從而定量分析了軸線上相對光強的變化情況。

2.2 高斯光束菲涅耳圓孔衍射光強分布特性

研究高斯光束在軸線上的相對光強隨傳輸距離z和圓孔半徑R的變化規律，結果見圖3 和圖4，其中ω0=0．1 mm。從圖3 可以看出，在菲涅耳衍射區域，高斯光束在軸線上的相對光強分布隨傳輸距離的變化規律與傳統平面光波分布規律基本一致，只是受束腰半徑的影響，光強各極大值均有所減弱。分析圖4 可知，當光波由理想平面光波變為激光束時，衍射光波隨R的增加仍產生光強的強弱轉換，只是此時光強的極大值出現在處，這表明在同一位置z處，要使得高斯光束和平面光波的明暗變化規律一致，高斯光束所使用的衍射圓孔半徑應稍微小于平面光波所使用的圓孔半徑。

圖1 平面光波相對光強隨傳輸距離的變化曲線

圖2 平面光波相對光強隨圓孔半徑的變化曲線

圖3 ω0=0.1 mm 時高斯光束相對光強隨傳輸距離的變化曲線

圖4 ω0=0.1 mm 時高斯光束相對光強隨圓孔半徑的變化曲線

當高斯光束的束腰半徑變化時，光波在軸線上的衍射光強分布也會隨之發生變化。第68 頁圖5為ω0=0．5 mm 時高斯光束相對光強隨傳輸距離的變化曲線；圖6 為ω0=0．05 mm 時高斯光束相對光強隨傳輸距離的變化曲線。從圖5 可知當ω0=0．5 mm時，對應光波衍射光強分布和圖1 差別很小；而從圖6 可知，當ω0=0．05 mm 時，在菲涅耳衍射區內，光強雖然隨傳輸距離有明暗交替變化，但與圖5 相比，光強極大值迅速減弱，而極小值卻相應增加，表明隨著束腰半徑的減小，高斯光束的菲涅耳衍射特性逐漸減弱。因此，在實驗教學中，應盡量使用較大束腰半徑的激光光源進行菲涅耳圓孔衍射實驗，這樣所觀測到的菲涅耳圓孔衍射圖樣會和理論教學所得的結論高度吻合。

圖5 ω0=0.5 mm 時高斯光束相對光強隨傳輸距離的變化曲線

3 結束語

圖6 ω0=0.05 mm時高斯光束相對光強隨傳輸距離的變化曲線

利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式，定量研究了高斯光束和平面光波通過圓形孔徑光闌時，其軸線上菲涅耳衍射光強的分布規律。通過對比兩類光波衍射的相對光強分布隨傳輸距離和圓孔半徑的變化曲線可以看出，高斯光束的菲涅耳圓孔衍射光強分布特性和傳統平面光波的菲涅耳圓孔衍射光強分布特性以及演變規律基本相同，并且隨著高斯光束束腰半徑的增加，激光光源的菲涅耳圓孔衍射特性越來越接近傳統平面光波的菲涅耳圓孔衍射特性。因此，在普通物理教學中，使用這兩類光波分別進行菲涅耳圓孔衍射理論和實驗教學是合適的，并且該研究方法數學積分簡單、物理圖像清晰，適宜作為普通物理教師的教學參考。