平面與平面平行的判定方法總結及證明策略

楊亮

摘 要：平面與平面平行的判定是人教A版高中數學必修2第二章2.2.2的一節內容，與直線與平面平行得判定一樣，也是可以用定義來做判斷，不過比較麻煩，所以自然要去探索諸多嚴格的判定平面與平面平行的方法，并用文字語言、符號語言來準確描述這些判定方法，整理了他們的常見證明方法，我認為這樣更有利于我們的授課，也能開闊學生們的視野，鍛煉學生的思維，提高學生們的直觀想象、邏輯推理能力。

關鍵詞：平面;平面平行;策略

一、定義法

平面與平面平行的定義是，如果兩平面沒有公共點，那么兩平面平行，定義完全可以作為判定方法來用，但是無法嚴格的證明，也就是說想證明兩個平面沒有公共點，需要證明其中一個平面內任何一條直線都平行于另一平面，我們不可能把其中一個平面內所有直線都取出逐一證明其平行另一平面，這是不現實的，所以定義法只能說是一種判定方法，不能成為證明方法.

二、平面與平面平行的判定定理法

探求兩個平面平行的條件，要緊緊把握住轉化思想，明確方向，應該確定主要思想為降維度，也就是把面面平行轉化為線面平行來研究.于是我們最先發現的應該是α內有兩條相交直線與β平行，才能保證α∥β，于是我們總結出了第二種平面與平面平行的判定的方法：如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，符號語言：

在有關平行關系的證明中，常用反證法或同一法，下面是嚴格的證明過程：

該定理若不借助其他命題很難直接證明，筆者在研究了歐幾里得證法改進版給出了下面的直接證明方法：

在命題“和同一直線垂直的兩個平面平行”成立的前提下，如圖設AC=α，AE=b，過點A作AB⊥β垂足為點B，∴AB，AC確定的平面與平面β的交線為BD，∵AC∥β由線面平行的性質定理可得AC∥BD，同理可得AE∥BF，∴AB⊥AC，AB⊥AE∴AB⊥α∴α∥β.

隨著時間推移，歐氏證明銷聲匿跡了， 上面的改進的歐氏證明方法還保持一定數量，而反證法則異軍突起，為絕大多數教科書所釆用的主要證明方法，筆者給出以下的四種間接證明法的思路，供大家參考.

反證法證明1：假設α與β不平行，則α∩β，則直線a，b與直線l必定相交或平行，若直線a，b與直線l都相交，則直線 a，b與平面α都相交與已知矛盾.若直線a，b中有一條與α直線l相交，另外一條b與l平行，則直線α與平面α相交，與已知矛盾.

綜上，定理得證.

這個判定定理實質上就是用兩組線面平行推導出平面與平面平行，之所以把“如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”作為判定定理，是因為這個定理實現了面面平行轉化為已經學過的直線與平面平行的判定！學生理解起來會容易一些，這個定理也體現了“空間問題平面化”的思想.應用時要注意兩點（1）有兩條直線平行于同一平面;（2）這兩條直線必須相交.

三、平面與平面平行的判定定理推論法

把這種證明方法稱為平與平面平行的判定定理的推論，下面是嚴格的證明過程：

因為這個推論實質上是用兩組線線平行推導出平面與平面平行，它的證明思路比較判定定理會更直接一點，所以學生更喜歡用這個推論來證明兩個平面平行.

四、和同一直線垂直的兩個平面平行的判定方法

1、結合空間垂直的特點，我們還能得到第四種判定方法：如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行，符號語言：? ? ? ? ? ，下面是嚴格的證明過程：

2、該判定方法也可以有一個推論：如果兩個平面的垂線平行，那么這兩個平面平行.（可理解為法向量平行的平面平行）這個推論的證明可以由線面垂直的性質可知兩條平行線與兩個平面都垂直，由上面得判定方法證明可知面面平行.

五、平面平行的傳遞性判定法

空間里，直線的平行有傳遞性，那么平面得平行也有傳遞性：如果兩個平面平行于同一平面，那么這兩個平面平行，符號語言：

下面是嚴格的證明過程：

證明：不妨設平面

到此可以總結一下，證明面面平行，要么證明兩組線面平行，要么證明兩組線線平行，要么證明這兩個平面都和同一條直線垂直，要么證明這兩個平面都和同一個平面平行。若這四種方法都行不通，則不妨嘗試一下反證法.

參考文獻：

[1]歐幾里得.幾何原本[M].西安：陜西科學技術出版社，2003.

[2]馬馳.探究課堂提升學生學術素養--以"平面與平面平行的判定定理"為例[J].中學數學月刊，2018，（5）.

[3]余建國.基于“三個理解”的“直線與平面平行”教學實錄和反思[J].中國數學教育：高中版，2012，（3）：24-26.