破運算之困 現課堂之彩
——以 “直線與圓錐曲線綜合”教學為例

李娟娟

(江蘇省新海高級中學 222000)

美國著名的教育學家玻利維亞說過，掌握數學就是意味著要善于解題.這個“善于”是包含了掌握一定的解題方法，也涉及數學思想、數學運算技巧等諸多方面.因此，在課堂教學中，激發學生的興趣，引導學生正確的思考，配以精準的運算，得出完美的解答結果是課堂追求的最高境界.下面以筆者在高三一輪復習課“直線與橢圓的位置關系”課堂實錄為例談談數學運算在課堂中的滲透.

一、課堂實錄

引入考試題，激發學生興趣，引發學生的求知欲.

教師：對于直線與橢圓位置關系，我們已經有了一些認識，下面請思考這道題.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，是否存在常數λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

教師：知道離心率，知道焦點坐標，先請大家動筆完成第(1)題.

教師：概括簡明扼要，明確基本量關系，運算準確.請思考第(2)問.

學生2：過右焦點F(1,0)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，那么k1，k2的變化來源于這條直線，所以可以從設這條直線開始.

學生3：對，而且此直線要經過右焦點F(1,0)，設直線方程為x=my+1運算可能會簡潔.

學生4：我認為還要補充說明一下若m不存在，直線PQ與直線AB重合，不合題意情況.

教師：嗯，說得不錯，考慮直線的局限性，考慮到變化的根源，這樣的話，此題思路清晰，方向明確，那就請動筆試試，從設出直線PQ開始找出正確答案吧！

(學生動筆做題，教師現場巡視，發現大部分學生在運算過程中停筆不前了)

教師板書：設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線l的方程為x=my+1代入橢圓方程，得(4+3m2)y2+6my-9=0.

教師：這里請同學們注意，解題方向是消去x，在代入時，注意檢查變量y前的系數及其符號，確保解答步驟準確，不影響下面解答.

但下面怎么處理？

(下面一片噓聲：對，對，我也算到這，下面怎么辦？)

教師：注意觀察特征，化簡到最后y1與y2落單了，無路可走了.那么y1與y2有已有的聯系能用上嗎？如何借助已知的信息？

(教室一片安靜，每位同學都在低頭思考，用心演算)

學生6：既然y1與y2是方程的根，那么直接解出

(教室爆發一陣熱烈的掌聲)

教師：真是山重水復疑無路啊，硬解恰恰是數學學習最本真的處理！

(學生們很興奮，頻頻點頭)

教師：嗯，緊扣目標，找到關系，轉化到位，干得漂亮！

學生8：我是這樣處理的(投影展示)

因為最終是一個比值，我估計能消去m，得到定值.

教師：太棒了，這是一個大膽的猜想，從最終結果是比值出發，那么猜測是否正確呢？

學生8：結果是對的，而且這個定值就是分子分母y2前的系數比！

教師：說得很棒，觀察很到位.本題中運用不對稱性來處理比值問題是一種常用方法，請大家在解過程中注意觀察算式特征，大膽配湊，做到嚴格證明.

回到原題，請大家換個角度再想，有沒有其他途徑？

學生9：根據題意，如果利用k1，k2表示坐標P，Q，再借助三點F，P，Q共線，也應該能找到k1，k2關系.

眾學生：對哦對哦，我怎么沒想到！(教室響起一片掌聲)

教師：特別好，看來這位同學對橢圓性質掌握很好，能熟練運用學過的知識解決新問題了.下面請大家選擇其中一種方法落實問題.

(每位同學再次投入到緊張的演算中)

教師：兩位同學思路清晰，書寫流暢，運算準確，對比三種方法，大家總結一下本課的收獲.

二、回顧與思考

教學中，正確運算是學生學習數學時必備和掌握的一項基本功.因此，本節課通過題目驅動，緊扣概念，由淺入深，第(1)題的設置解題方向明確，運算難度簡單，目的是激發學生對解題的興趣.第(2)題引導學生梳理關系，弄清算理，這節課的重點是運算的突破，引導學生冷靜分析，更多的要培養學生的運算習慣，包括變量前系數與符號的檢查習慣，抄寫習慣，檢驗習慣等.

華羅庚說：“學數學而不練，猶如入寶山而空返.”數學課堂應該是一個有思考的課堂，更應該是一個有行動的課堂.在數學的課堂上教師不僅引導學生分析問題，也要強調運算過程的準確性，更需和學生一起面對運算結果的正確性，將運算滲透到課堂，將理論轉化為實踐，真正地讓學生提高數學核心素養.