高中數學分層教學研究
——以試題分層解答為例

洪曉敏

(浙江省臺州市天臺平橋二中 317203)

新課程更加注重學生的差異性，提倡教師因材施教，以學生為本，遵循最近發展區理論，讓學生都能夠在自己能力的范圍內進行學習和探究，從而提高學生的數學知識學習熱情，不斷提升學生的數學綜合水平.教師可以根據班級學生的實際情況，采取分層練習、分層合作學習等策略，為不同層次的學生進行學習、提問、練習提供適合的習題，從而滿足各個層次學生的需求.

一、類比變式，滿足不同學生的思維

針對不同層次的學生，教師可以設置不同層次的問題，以便學生更好地探究.

證明由已知得(a+b+c)2=1，

則a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1.

由(a-b)2=a2-2ab+b2≥0得a2+b2≥2ab，同理得a2+c2≥2ac，c2+b2≥2bc.

本題比較簡單，適合數學基礎能力弱的學生，可以幫助學生樹立學習的信心，對于中等層次的學生，教師可以進行變式：

例題2 已知a+b+c=1(a,b,c∈R+)，那么a2+b2+c2是否有最小值?如果有，請求出其最值；沒有請說明理由.

解題步驟和例題1比較類似，需要學生通過思考來得出答案，對于學生的能力進一步提升，適合中等層次的學生.對于思維能力強的學生，教師可以將試題的已知條件隱藏到題干中，以便學生進行探究.

本題對學生的能力要求較高，需要學生能夠靈活運用換元思想，并能夠發現題目中的隱含條件：logabca+logabcb+logabcc=logabcabc=1，這樣，可以令logabca=m，logabcb=n，logabcc=k，這樣試題又轉化成例題1，從而有效地解決.

二、逐步遞進，設計符合學生層次的問題

根據學生的實際水平，教師可以設計具有層次性的試題，以便所有學生都能夠參與到實際的問題分析和解決中.

例題4 求等比數列2，4，8，16，…，2n的和Sn.

分析本題考查等比數列求和公式的運用，適合基礎較差的學生，學生將數列中的數據代入即可.

例題5 已知一個等比數列的前n項和Sn=48，前2n項和S2n=60，求此數列的前3n項和S3n.

分析看到試題，學生通常會進行聯想，對比類似的問題，諸如等差數列{an}的前n項和Sn、n+1項至2n項之和Sn1，2n+1項至3n項之和Sn2，也成等差數列.然而，本題中的前2n項、前3n項與上述的問題還有區別，即問題中的S2n=Sn+Sn1，S3n=Sn+Sn1+Sn2.這樣就需要學生進行具體分析，采用從一般到特殊的方法，有效地解決問題.

解得Sn2=3，S3n=S2n+Sn2=63.

分析本題的數列既不是等差數列，也不是等比數列，根據觀察發現，數列的分子是首項為1，公差為2的等差數列，而分母則是首項為2，公比為2的等比數列，因此不能直接運用公式進行直接求解，需要學生將其進行轉化，變為標準的數列，從而求解，對學生的思維能力和數學思想都有很高的要求，適合學生進行探究.

用①同分母減去②得：

三、因材施教，設計不同層次的習題

以往統一的習題模式，常常導致基礎差的學生做不了，思維能力強的學生不夠做.因此，高中數學要設計不同層次的習題，讓所有學生都能夠在課下進行探究，促進學生的發展.比如學習了古典概率以后，教師就可以設計以下三個層次的問題.

層次一，例題7 隨機投一枚一元的硬幣，能夠出現“反面”的概率是多少？

例題8 隨機將一枚骰子拋出，其出現“6”點的概率是多少？如果隨機將2枚骰子拋出，出現點數和為奇數的概率是多少？

例題9 從1-5五個數字中隨機取出兩個數字，則所取出數字中含有“3”的概率是多少？

層次二，例題10 隨機將2枚骰子拋出，則出現兩個骰子點數相加大于7個概率是多少？

例題11 從1-5張撲克牌中依次取出2張，則第一張撲克的點數大于第二張點數的概率是多少？

層次三，例題12 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是( ).

例題13 已知一只袋子中有黑色卡片a張，有白色卡片b張，卡片除了顏色不同外，其余沒有差別，現在隨機將卡片從袋子中一張一張地摸出來，求第n次摸出的卡片是白色卡片的概率(1≤n≤a+b).

總之，在高中數學分層教學中，教師要在課堂中和習題中進行分層，為學生布置適合學生層次的問題，這樣才能讓學生在已有的數學基礎上進一步提升，提高學生的學習興趣，滿足學生的個性化、差異化學習需求，有效提高數學教學質量，落實核心素養的培養需求.