素材：觸發思維生發的實然張力

蔣旭良

【摘要】數學的本質問題可以概括為：數學對象能否被看成一種獨立存在？在對基本數學哲學問題的思考中，我們把數學學習素材作為學生思維自然生發的現實領域，通過對教學現場“用教材”現象的審視，在實踐中回歸認知原點，喚醒數學思考;順應認知規律，觸發數學思維;挖掘“角落素材”，奠基數學思想。

【關鍵詞】數學學習素材;現象規避;認知原點;認知規律; ?“角落素材”

數學的本質問題可以概括為：數學對象能否被看成一種獨立存在？顯然，和其他任何自然科學一樣，數學中很多重要概念都源于實踐，或者說可以在真實的世界中找到其現實原型，它不可能是一種不依賴思維的獨立存在。正如恩格斯所說：“所謂純數學都是研究抽象的東西，它的一切數量嚴格來說都是想象的數量。”但實際上，內容多樣的背景素材才是各項數學活動的基石，也是學生能夠解決數學各類問題、在數學活動過程中獲得經驗、建構數學知識體系、發展數學求異思維、提高數學核心素養的基本載體，是學生感受數學與生活的各種聯系、體驗數學有效價值的重要資源。

【內涵詮釋】

素材，是學生從現實生活中搜集獲得的、未經整理加工的、感性的、分散的原始材料。在我們的解釋框架中，數學學習素材，既包括數學課本上的文本、圖片、物體及數量等靜態的學習材料，同時又涵蓋學生和老師這兩個重要的課程資源。在實際的教學過程中，課程目標的實現，起關鍵性作用的是學生自己，學生作為個體，他的知識水平、生活體驗、思維方式等都是課程、教材開發的重要素材。假如把人腦看作是發展思維的“加工廠”，那么，學生在平時生活中獲得的數學素材就是“原料”，學習的結果則是“產品”，而對“產品”質量起作用的第一要素就是來自人腦外部的“原料”。合適而又有效的學習素材可以優化教學內容，有利于學生參與教學活動，形成探究式的學習方式，引發數學思考，提升學習質量。

【現象規避】

學習效率高低的關鍵是學習素材的效度。在平時的教學中可以發現，教師在實際教學中對如何選擇和應用教學素材有著不同的認識和看法，綜合分析，以下幾種現象有待規避。

1.唯教材論

毫無疑問，教材中的例題是課堂教學的重點所在。客觀地講，例題就是經過精選的素材，因此，大部分教師主觀上也無意去改變例題，進而在“教教材”的過程中，更多的考慮擺環節、“教”知識。實際上，所謂“教材無非是個例子”，對于教學素材的選擇與應用，我們應恪守“有效第一”的原則，盡快從“教教材”走向“用教材教”。

2.唯生活論

受數學生活化的影響，部分教師認為所有的教學環節必須是與生活密切聯系的，在素材的選用過程中，戴上了數學來源于生活的“帽子”，忽略了數學的本質。數學的客觀性（即現實性）是數學的重要特性，但數學的結構與方法都是抽象的，牽強附會和形式主義所產生的結果只能是誤導。

3.唯新穎論

為了擺脫教材桎梏，部分教師自由地修改教材提供的一些學習材料，學生在上課時基本不用或很少用到課程教材。這已然成為許多公開課的“靚麗風景”。這些教師認為只有跳出“老套套”，課才有“花頭”，容易出彩，才能充分展示教師的教學功底。名曰“二度開發”，實為“舍本逐末”。著名的數學特級教師封禮珍這樣講過：“教學改革不能停留于表面形式，更應注重學生的內涵。”教師在選擇和應用教學素材的同時，應該著眼于學生思維能力的發展、主體意識的喚醒和快樂情感的培養。從一個極端（唯教材）走向另一個極端（唯新穎）都不是科學的態度。

4.選擇性忽略

許多教師在教學時，對于考點知識內容緊抓不放，情有獨鐘，而對于教材中所提供的 “你知道嗎？”、習題插圖等素材則選擇性忽略，將其“打入冷宮”。其實，這些素材內容豐富，隱含著深刻的數學思想方法，具有很強的典型性和高度概括性，而且在呈現方式上也是生動活潑、圖文并茂的，可以有效激發學生的學習興趣，拓寬知識面，生發思維，提高數學綜合素養。作為一個重要的素材領域，我們在使用教材的過程中，不可以有絲毫偏頗。

【實踐考量】

學習素材是學生開始相應內容學習的引子，它不僅起著引發學生學習欲望的作用，還承擔著將學生生活經驗、學習背景與學習主題相連接，促進學生理解相關知識，發展學生抽象、概括等能力，生發數學思維的作用。在教學實踐中，素材的選擇不能僅關注其是否有趣、是否能激發學生的學習動機，還要關注其是否有利于學生思維的發展，讓學生知道怎樣思維，掌握如何思維。

一、回歸認知原點，喚醒數學思考

1.以挑戰性為起始點

數學的各項教學活動離不開學生的認知水平和已有的知識經驗，應該建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。因此，教師選擇的素材必須基于學生熟悉的認知現實，且具有一定的挑戰性。在教學實踐中，教師要熟悉學生的學習起點，避免為了很好地完成教學任務，把學生的學習起點歸零，使得學生現有的知識水平與即將獲得的知識之間不能實現實時鏈接，致使學生的思維處于被動狀態，思維品質難以得到發展。

【案例辨析】 “分數的意義”教學片段

在教學五年級“分數的意義”一課，引入新課時，不同的學習素材，產生的效果大相徑庭。

A教師：

把4個蘋果平均分給2個小朋友，每人幾個？

把2個蘋果平均分給2個小朋友，每人幾個？

把1個蘋果平均分給2個小朋友，每人幾個？

B教師：

師：知道分數嗎？請你以最快的速度，任意寫一個分數（生寫并匯報）。

師：你寫的分數表示什么意義？

生1：表示把西瓜平均切成4片，其中一片就是1∕4。

生2：表示把一個物體平均分成5份，其中的4份就是4∕5。

…………

教育心理學的研究表明，只有難度相當的素材，才能有效激發起學生的學習欲望，嘗到學習成功的快樂。比較兩位教師的學習素材，顯然可以發現，A教師在教學過程中，沒有關注學生在三年級已經初步認識了分數這樣一個基本現實，完全是在按照學生認識分數的邏輯起點提供學習材料，導致素材提供過于簡單，缺乏挑戰性，使學生失去探索的動力，限制了學生思維的進一步發展。而B教師在組織學習的過程中，充分關注學生已有的認知基礎，通過讓學生自己寫一個分數，并說說分數的意義，激發了學生進一步探索、認識分數的興趣。顯然這樣的材料更適合學生的現實起點，對學生而言更有挑戰性，更有利于激發學生富有個性的思考。因此，選擇有價值的學習素材必須了解學生的學習現實、知識儲備，這有利于實現學生的思維與認知水平的無縫對接，才能激活學生的思維，激發學生的學習興趣，在有限的教學時間里讓學生獲得最大的收益。

2.以生活性為固著點

數學學習素材是課堂中學生學習活動的載體，是活動的物質基礎。教育心理學的研究表明，只有當學習素材與學生已有的知識經驗相聯系時，才能激發學生學習和解決問題的興趣，數學才是活的、富有生命力的。因此，教師在選擇素材時應緊扣教學內容、貼近學生的生活實際，素材的選擇應利于深化對所學內容的認識，應能使情感的體驗更深刻，使探索活動更深刻。《數學新課程標準（2011版）》也強調，素材的選用應當充分考慮學生的認知水平和活動經驗，在反映數學本質的前提下盡可能地貼近學生的現實，以利于他們經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程。這樣的素材才能激發學生主動探索的動機，進而使學生獲得對數學的理解。

【案例辨析】 “平均數”教學片段

在引入平均數概念時教師提供了以下素材。

（1）學生一組5人，一組4人進行拍球比賽。

（2）列表統計拍球結果，進行比較并宣布結果。

師：甲組獲勝。（此時有不少學生輕聲嘀咕不公平。）

師：為什么不公平？

生：兩組人數不一樣，不能這樣比較。

師：怎樣比較才合理呢？

在這個過程中，老師為學生提供的素材隱含了數學問題：在整體數量不相等的情況下，比較總數是不公平的，必須通過比較平均數才能反映樣本的大小。學生通過上述材料發現個體比較、總數比較都是不公平的。在頭腦風暴過程中，學生在不斷地尋求著用其他的方法解決公平問題的策略，并力求努力地去解決它，激起了學生探索平均數的濃厚興趣。所以，正確地把握教材的內涵，才能正確合理地選擇好學習素材，讓學生借助恰當的學習材料，自主探究，親歷知識的形成過程，使學生深刻地理解知識的豐富內涵，感悟數學與現實生活的密切聯系。同時在探究的過程中，學生逐步掌握數學探究的方法，在自身和教材知識之間搭起了一座探究的橋梁，變“要我學”為“我要學”。

二、順應認知規律，觸發數學思維

1.以認知差異為發散點

在新課程標準中有這樣的理念，不同的人在數學上可以獲得不同的發展。我們認為學生的差異性是客觀存在的，并且學生的差異性很強，我們不可能消除學生的各種差異性，應該讓學生實現有差異和個性化的發展。當學生個體在面臨不同的學習材料時，由于學生生活經驗的不同，他們的選擇也會有所不同。我們教師應該因材施教、因人施教，如教師一味地統一材料或統一要求，就有可能使一些學生失去探索的興趣和信心。我們教師要為學生提供盡可能豐富的學習素材，這樣學生才會有更多的選擇和更大的發展空間，才有可能使每位學生都能置身于主動探索之中，實現有差異的發展，提升數學思維能力。這樣的課堂學生的發展是可持續的，是具有生命力的。

【案例辨析】 “長正方形的認識”教學片段

用下面的小棒擺出不同的長方形。

教師讓學生選擇幾根小棒，提出問題，讓學生擺出不同的長方形，可以擺幾種？（學生自己動手操作，教師不干預，教師巡視，然后進行反饋）

師：還有其他擺法嗎？

生：我選擇了兩根中小棒和兩根短小棒，擺成了一個長方形

…………

師：如果一位同學先選了一根中小棒，接下去可以怎樣選？可能拼成什么圖形？

一問激起千層浪……

教師在課堂教學中，因材施教，實施個性差異教學很重要，這樣才會使學生得到個性化的發展。在這個教學片段中教師較好地處理了學習素材，對同一學習素材提出了幾個不同層次的操作要求，展示了每位學生的個性化探索結果，同時教師所提出的開放性問題，思考性極強，學生的學習興趣一下子被激發，使不同的學生可以達到不同的學習層次，獲得最優的發展。開放的、多元的學習素材，給學生創造了自由思考的空間，滿足了不同學生的數學學習需求，較好地體現了因材施教的思想，也有利于培養學生的空間觀念，使學生的思維能力得到進一步提升，同時也把素材本身的價值發揮到了更高點。

2.以“錯誤”資源為生長點

學生在認知過程中，可能會出現一些不合理的想法，或者會發生錯誤，教師切記不要批評，可以將錯就錯，看看之后會發生什么情況，產生什么后果，讓學生自己糾錯，教師可以把學生的錯誤當作一種最好的教學資源。在教學過程中，我們把帶有普遍性的典型錯誤作為課堂生成的教學素材，及時調整教學思路，引導學生討論思辨，從而將典型錯誤轉化成有利的學習素材，將錯誤幻化成美麗，使課堂成為一種靈性的課堂。

【案例辨析】 “除數是小數的除法”教學片段

學生自己獨立完成課后想想做做“17.3÷4.3”這道題目，在余數這個問題上，一部分學生認為商是4，余數是1，這個知識點既是教學的難點，也是教學的重點。因此，教師可以有意識地將不同的解法板書在黑板上，通過巧妙的引導，引發學生進行爭論思辨。最終學生終于統一了意見，確定余數應該是0.1，并明確了正確找到余數的關鍵點？

本案例中教師在選擇生成性材料時，有意讓學生暴露錯誤，讓學生針對錯誤展開探究、爭辯和交流，在精彩之處挑起不同的見解或矛盾，困惑之時給學生留足探究空間，學生主動積極地去觀察、分析、思考和比較，從而發現了其中的規律，提出了自己的見解，不斷張揚自己鮮活的個性，學生在交流碰撞中不斷擦出思維的火花，不僅有效地提高了課堂教學效率，而且使學生的情感態度、價值觀都得到了彰顯。

三、挖掘“角落素材”，奠基數學思想

1.以習題插圖為支撐點

教學實踐中，我們經常可以發現許多老師非常重視對主題圖的運用，但往往忽視習題中插圖的點撥，單純依靠學生看看說說了事，對插圖的編排意圖、教育功效沒有進行挖掘。仔細觀察蘇教版教材不難發現，習題中的插圖打破了學科的界限，設計了多學科知識，生活原型得到體現，為學生直觀地認識、理解題意提供感性支撐，啟發學生思考，發展數學思維能力。

【案例辨析】 蘇教版三年級下冊教材P70第8題。教材用意是借助插圖，讓學生初步認識小數，讓學生從長度的低級單位換算成高級單位，并用分數十分之幾來表示低級單位和高級單位的關系。

在教學中，當有些學生借助教材插圖理解了1厘米、3厘米為什么是1分米的十分之幾后，教師可以借助插圖舉一反三：從直尺上除了可以看到幾厘米是1分米的十分之幾，你還能看到什么是什么的幾分之幾嗎？短暫的思考后，學生的回答精彩萬分，有的學生想到了幾毫米是1厘米的十分之幾，有的想到了幾分米是1米的十分之幾，更有甚者想到了1厘米是1米的百分之一……

適度的拓展遠遠超出了教者的預想，教學素材的功效達到了最大化。

2.以“你知道嗎？”為助力點

在教材中，我們時常會發現這樣的一個小欄目——“你知道嗎？”內容有這幾個方面：數學歷史、有關數學知識的介紹、生活中的數學以及生活常識與信息。其中數學史和教學內容相關的數學知識約占了七成。因其內容簡單，常常成為教師忽略的角落。其實通過巧妙整合，將“你知道嗎？” 納入整個數學教學體系，可以使學生了解數學的背景知識，感受在人類文化發展中數學的積極作用，激發學生學習數學的興趣，讓學生滲透數學思想，進一步感受數學的優美。

（1）由“你知道嗎？”引出數學知識。如在教材中教學“運算律和簡便計算”的時候，講述“數學王子高斯”的故事，這是個巧算求和的故事，教師可以巧設問題情境，激發學生學習的興趣，從而讓學生慢慢引出運算律和簡算內容。通過利用“你知道嗎？”的內容，創設趣味盎然的學習情境。學生會利用自己的好奇心，急切地、主動地想幫助小高斯解決困難，在這個過程中，學生獲得數學知識，并且還經歷豐富多彩的學習過程，思維得到了訓練，情感也得到了培養，數學知識的學習與數學文化的熏陶有機地融為了一體。

（2）將“你知道嗎？”融入新知探究。如教師在教學“探究三角形面積計算公式”時，可以在“你知道嗎？”欄目中相繼引入劉徽的“以盈補虛”法。學生又多掌握了一種推導方法，拓展了思維空間，發展了求異思維，還感受到古代數學發展的歷史。

（3）依托“你知道嗎？”開展綜合實踐。如結合“你知道嗎？”欄目中的面積單位內容可以組織學生開展“不同的面積單位究竟有多大”的綜合實踐活動，積累面積單位大小的生活經驗;根據“你知道嗎？”欄目中的二進制內容，可以設計數學綜合實踐課，在幫助學生認識二進制內容的基礎上，使其初步感受數學知識的建構過程，擴展了學生計數知識的結構。

四、結語

數學的本質是什么？數學是否具有客觀真理性？這些數學哲學問題無疑在影響著每一位數學教師的理性思考。我們已經明確，數學對象并非不依賴思維的獨立存在，而是抽象思維的產物;然而，它又有著確定的客觀內容，是思維對于客觀屬性的反映。學習素材的選擇與使用，對學生數學知識的理解和數學能力的形成影響很大。教師在教學過程中，組織不同的素材，或對相同素材的不同組織，會對學生的學習過程和學習效果產生不同的影響。因此，如何在教學中提煉學習素材，選擇有利于學生思維投入的合理、有效的學習材料至關重要。只有精心選擇有價值的學習素材，運用有張力的學習素材，學生的思維才會得到充分的發展，課堂也定會收獲更多實效。

【參考文獻】

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M]，北京師范大學出版社，2012.

[2]孔凡海.數學建模讀本[M].江蘇教育出版社，1998：3-21.

[3]教育部.義務教育教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京師范大學出版社，2012：107-112.