經(jīng)歷多元表征過程，理解概念

楊群艷

【摘 要】 在數(shù)學概念教學中，教師為了完成教學任務而一言堂，直接將概念灌輸給學生，讓學生機械記憶，忽略了對概念本質(zhì)的探究，這種“重結(jié)論，輕過程”“重訓練，輕思考”的教學模式，極大阻礙了學生的思維發(fā)展。因此，如何讓學生利用多元表征理論去探究圓的特征，讓學生轉(zhuǎn)換不同的表征方式去探究數(shù)學概念，并利用多元表征理論培養(yǎng)學生的符號意識，建構(gòu)數(shù)學模型思想，提高學生的語言表達能力、推理能力，是值得教師深刻反思的。

【關鍵詞】 多元表征;數(shù)學概念;圓的特征

教學內(nèi)容：北師大版第十一冊數(shù)學第2～3頁。

教學目標：結(jié)合生活實際和豐富多彩的活動，通過多元表征理論經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)圓的基本特征的過程，通過觀察、操作、抽象和概括等活動體驗，理解圓的特征，滲透符號意識，發(fā)展學生的幾何觀念;在畫圓的過程中，理解同圓中半徑、直徑以及直徑和半徑的作用，會用圓規(guī)畫圓，進一步體會圓的本質(zhì)特征;能用圓的知識解釋生活中的簡單現(xiàn)象，感受數(shù)學與生活密切相關，進一步激發(fā)數(shù)學學習的興趣，樹立學習數(shù)學的信心。

教學重點：認識圓的各部分名稱，理解圓的特征，會用圓規(guī)畫圓。

教學難點：理解同圓或等圓的半徑和直徑的關系。

教學準備：教師準備圓規(guī)、三角板、PPT課件、圓形紙，學生準備：圓規(guī)、圓形紙、三角板。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，引入新課

談話導入：（課件展示P2三幅圖）我們打算舉行套圈比賽，游戲規(guī)則是站好之后就不能移動位置，看誰套的圈多誰就勝，有三種站隊方案，哪種方案比較公平？（討論）

【從學生感興趣的游戲引入新課，能充分調(diào)動學生的學習積極性，由于學生已經(jīng)具有經(jīng)驗表征：知道點到直線的距離垂直線段最短，所以學生能得出結(jié)論：只有當學生都站成一個圓時最公平，因而很好地為新課的開展做好了鋪墊】

反饋：說說為什么第三種最公平？

生：站成圓形時，每人離小紅旗的距離是相等的。

師：之所以覺得圍成圓比較公平，那是因為圓具有它獨有的特征，其實圓還有更多特征，這節(jié)課，我們一起來探究圓的特征。

【通過情境表征，讓學生初步體驗圓心到圓上任意一點的距離相等，水到渠成地引入新課：圓的認識】

二、建構(gòu)模型，探索新知

研究圓的特征折一折，畫一畫，量一量，看一看這一張小圓片，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

【學生借助實物，通過體驗表征，讓學生通過活動折一折、畫一畫、量一量，看一看，通過多種表征，充分讓學生獨自去感知圓的特征】

學生在操作中理解什么叫圓心、什么叫半徑、什么叫直徑，并理解圓的半徑與直徑的關系，理解圓心、半徑的作用。（四人小組討論）

【教師充分注意尊重學生，順應學生的思維，為學生提供充分的平臺，讓學生借助實物去表征，使圓的特征逐步清晰化，充分體現(xiàn)了學生的自主性】

學生匯報：

生1：圓是由一條曲線圍城的封閉圖形。

生2：在同一個圓里等圓中，圓有無數(shù)條半徑，長度都相等。

生3：在同一個圓里等圓中，圓有無數(shù)條直接，長度都相等。

生4：通過圓心兩端都在圓上的線段叫作圓的直徑。

生5：從圓心到圓上的任意一點的距離叫作圓的半徑。

【通過觀察實物，借助學具圓片通過圖像表征與體驗表征，使學生從研究由線段圍城的圖形遷移到探究由曲線圍成的圖形，增強積累，充分應用數(shù)學活動經(jīng)驗的意識。學生通過摸一摸，感知圓的邊是彎曲的，是有別于以前學過的由線段圍成的平面圖形】

師：為什么井蓋要做成圓的？為什么大家喜歡圍成一個圓來舉行篝火晚會？

【通過體驗表征與圖像表征，充分讓學生去感知，并從具體的實物體驗抽象到圖形體驗，同時通過對接生活中的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)在生活中大量存在利用同圓半徑都相等、同圓直徑都相等的特征去服務我們生活的例子，從而體會數(shù)學的價值，發(fā)展數(shù)學應用意識】

生6：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的一半。

師：展示大小不同的兩個圓，上面的結(jié)論還成立么？引出結(jié)論：在同一個圓里，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，并引出圓心的符號，半徑、直徑的符號r、d ， d=2r，r=。

【符號化思想是小學數(shù)學教學過程要滲透的重要數(shù)學思想之一，將數(shù)學符號化，用符號的濃縮形式表達信息，極大地簡化和加速了思維的進程，因此在此時根據(jù)圓的表征有意識地滲透了符號化思想】

師：其實我們的古人很早研究的“圓一中同長也”，你能解釋古人這句話的意思么？

【適時地引出古人的研究成果，激發(fā)了孩子們的民族自豪感，樹立學習數(shù)學的信心】

三、通過體驗表征畫圓

1.對于圓的特征，我們已經(jīng)了解清晰了，那么你們能畫一個圓嗎？有哪些方法可以畫圓？利用手上的學具試試（繩子，圖釘，圓片，圓規(guī)）。畫圖的同時，并說說自己選擇了什么工具，是怎么畫，畫圓時需要注意些什么。

【充分讓學生去體驗，在體驗中發(fā)現(xiàn)畫圓的最好辦法。教師巡視中去了解學生畫圓的情況】

2.怎樣能將圓畫得又快又好呢？看視頻規(guī)范畫圓的方法，再練習畫圓。前兩組半徑為1厘米，后兩組半徑3厘米，并畫出圓心、半徑、直徑，分別用字母表示。（按要求練習畫圓，圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小）

【通過動態(tài)演示畫圓，學生進一步理解同圓的半徑相等的特征，通過實踐操作，進一步理解由于半徑長度不一，圓的大小也不一的特征】

3.籃球場上的圓是怎么畫的呢？是用圓規(guī)畫的嗎？畫一個半徑為5米的圓，你們會怎么畫，還會選擇圓規(guī)嗎？（學生討論）

生1：太大的圓規(guī)，我們沒有那么高，用不了。

生2：可以用繩子、兩人合作。

生3：可以用一根棍子兩人合作。

師：所以說我們要畫好圓，就要學會因地制宜地選擇工具，生活中也是一樣的，很多東西都得因地制宜地選擇。除了這些方法，還有很多畫圓的方法，圓規(guī)畫法是基本畫法。

【數(shù)學要為生活服務，將數(shù)學知識應用到生活中，這是學習數(shù)學的最終目的，從而讓學生體會數(shù)學的價值，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識】

四、拓展

除了這些，在生活中還要很多物體上是圓形的。你們能找出一些嗎？

除了這些，在生活中還有很多物體上的某一個面都有圓，想一想車輪為什么要做成圓形的？

【通過一節(jié)課的探究，學生對圓有了更深的認識，引導學生思考“車輪為什么做成圓的？”既體現(xiàn)了圓在生活中的廣泛應用，發(fā)展了學生的應用意識，又為下節(jié)課的學習做好了鋪墊】

五、課堂小結(jié)

今天這一節(jié)課，我們認識了圓，了解了圓是由一條曲線圍城的封閉圖形，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。圓有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑，在同圓或等圓中，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。在生活中很多地方都要應用到圓的知識去解決實際問題。大家課后可以繼續(xù)去探討在哪些方面應用了圓的知識。

【整段小結(jié)幫助學生形成對圓的基本特征的完整認識，讓學生明白研究圓的特征可以借助教具學具，通過從實物轉(zhuǎn)換到平面圖形，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法在研究圖形中的應用，豐富學生的活動經(jīng)驗。同時鼓勵學生將學到的數(shù)學知識應用到生活中去，培養(yǎng)學生的探索精神】

教學反思：

《數(shù)學課程標準（2011年版）》提到：在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的幾何直觀、符號意識、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課上還要注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。

《圓的認識一》為學生提供了很多的自主探索和交流的空間，本節(jié)課老師充分注意學生的自主性，讓學生充分應用多元表征經(jīng)歷概念形成的過程，使學生切實了解圓的基本特征，也掌握認識幾何圖形的基本方法，發(fā)展了學生的幾何概念。具體的教學主要呈現(xiàn)以下特點：

1.利用多元表征，探究概念本質(zhì)

學生在此節(jié)課之前對于圓的認識只是一種初步的直觀感知，本節(jié)課的教學從直線圖形的學習到曲線圖形的學習，無論是內(nèi)容本身，還是探索新知、研究問題的方法都有所變化。要引導學生利用多元表征使學生從直觀感知的層面對圓進行探究，初步了解研究曲線圖形的基本方法。這不僅豐富了學生對圖形的認識，而且有利于發(fā)展學生的空間觀念，通過多元表征使學生經(jīng)歷從具體到抽象、由感性認識到理性認識的發(fā)展過程，完成學生認知上的提升。

學生語言表征能力差往往會影響數(shù)學思維能力的提高，因此教師要重視數(shù)學語言能力的訓練。上課一開始，教師為學生提供圖像，讓學生根據(jù)圖像判斷哪種方式最公平，其實是教師有意識地將圖像表征與語言表征結(jié)合，既是初步喚醒對圓的認識，又是讓教師及時了解學生的信息儲備情況，使學生內(nèi)部的思維過程外顯出來，促進學生對圓概念本質(zhì)的深度思考。

為了進一步探究圓的特征，使學生進一步認識圓，教師利用體驗表征讓學生通過折一折，畫一畫，量一量等方法，學生借助實物，讓學生從直觀到抽象，讓學生充分去感知圓的特征。在通過圖像表征與語言表征的不斷轉(zhuǎn)換過程中，使學生認識了圓的半徑、直徑、圓心。

通過動態(tài)表征，讓學生帶著問題和思考畫圓，并在畫圓的過程中理解半徑確定圓的大小，圓心確定圓的位置。一開始，學生自主畫圓，由于沒有掌握畫法，實際上是將半徑變了，所以畫不好，此時教師發(fā)揮引導者、組織者的作用，通過動態(tài)演示圓的畫法，將抽象的概念直觀化，將靜態(tài)的概念動態(tài)化，在畫法的表達交流中將同一個圓的半徑都相等，同一個圓的直徑都相等，從而更深刻地理解圓的概念的內(nèi)涵。

2.順應學生思維，體現(xiàn)學習主體

以學生為主體的教學往往容易將學生由被動狀態(tài)轉(zhuǎn)化成主動狀態(tài)，使教學效果大大提高。縱觀本節(jié)課，體現(xiàn)了教師注重落實《數(shù)學課程標準（2011年）》的理念，教師充分尊重學生，順應學生的思維，發(fā)揮學生的主體性，為學生提供了充足的自主探究平臺，讓學生自主去獲取知識，通過自主探究、動手實踐操作、交流探討，雖然學生在交流中概念不完善，或者出現(xiàn)知識點的偏離，教師不急于去糾錯，還是順應學生的思維，采用“裝糊涂”策略，讓學生相互補充，相互糾正，激發(fā)學生之間的深度互動，把一個人的思考變?yōu)槿喙餐芯亢蛥⑴c的過程。圓、半徑、直徑等概念逐步清晰。通過自主探究，既豐富了學生對圓的感知，又發(fā)展了學生的幾何觀念，同時也發(fā)展了學生的思維。

3.滲透應用思想，體現(xiàn)數(shù)學價值

《數(shù)學課程標準（2011年版）》中提到，數(shù)學可以描述生活中的現(xiàn)象，數(shù)學與生活有密切關系，要認識數(shù)學具有廣泛的應用特點，學會運用數(shù)學知識和方法解決生活中的問題。再以選用哪種方式比賽比較公平來引入教學，實際上就是有意識地讓學生體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，激發(fā)學習數(shù)學的需要。最后，拓展又讓學生去思考生活中的現(xiàn)象：為什么篝火晚會大家喜歡圍成圓圈？為什么下水道通常都是圓形的？為什么車輪都是圓的？拋出這一系列的問題，體現(xiàn)圓在生活中的廣泛應用，使學生體會到數(shù)學要為生活服務，將數(shù)學知識應用到生活中，從而讓學生體會數(shù)學的價值，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識。

【參考文獻】

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[3]陳堅，唐菁.“圓柱的認識”教學實錄與評析[J].小學數(shù)學教育，2019-09，70-72.