聚焦題意，在解題中發(fā)展高中生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

劉智智

摘要：解數(shù)學(xué)題是發(fā)展學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、思考，幫助他們讀懂、分析梳理和深悟題意，根據(jù)題意來確定解題方向，形成解題思路，掌握解題方法，并在數(shù)學(xué)計(jì)算中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解讀題意學(xué)科素養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)解題中，審題是首要任務(wù)，也是重點(diǎn)和難點(diǎn)。精研題意是一種能力，更是一種素養(yǎng)，它需要教師在解題過程中漸進(jìn)滲透。很多時(shí)候，學(xué)生忽視審題，未能正確探析題意，導(dǎo)致解題方向不正確，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤，多與學(xué)生審題不強(qiáng)，題意理解不清有關(guān)。面對(duì)高中數(shù)學(xué)題目，教師首先要讓學(xué)生學(xué)會(huì)精研題意，把握題意內(nèi)涵，為梳理、形成解題思路創(chuàng)造條件。為了精研題意，需要審視題設(shè)條件，把握解題方向，發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維，從而總結(jié)解題方法，形成高中數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力。

一、讀懂題意，審視題設(shè)條件

在數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)中，讀懂題意是首要任務(wù)。在高中數(shù)學(xué)題目中，可能存在多個(gè)條件、多重關(guān)系，學(xué)生在審題時(shí)，就需要從這些題設(shè)條件中去梳理和把握。拿到一道題后，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)真去讀題，從讀題中審視題設(shè)條件，哪些是明確提出的內(nèi)容，哪些是隱藏的內(nèi)容，哪些是可以明確的數(shù)量關(guān)系等，這些都需要通過讀題來獲得。學(xué)生只有通過審題，厘清題意，才能為后續(xù)的具體解題方法界定思路。具體來說，教師要指導(dǎo)學(xué)生提煉有效信息，從題意敘述中透視隱含信息，或者與解題相關(guān)聯(lián)的其他信息，逐條審視題設(shè)條件，從題設(shè)表征信息中聯(lián)系相關(guān)的概念、性質(zhì)、公式、結(jié)論等知識(shí)點(diǎn)，探析與解題目標(biāo)相關(guān)聯(lián)的思路。因此，讀懂題意的關(guān)鍵就是挖掘題意中的關(guān)鍵概念和特殊關(guān)系，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)現(xiàn)從已知走向未知的數(shù)學(xué)構(gòu)建。

如某函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇2，3]，求f（x2+2）的定義域。從題設(shè)條件中，f（x）的定義域已經(jīng)給出，結(jié)合定義域概念表示方法，針對(duì)f（g（x））中自變量可以轉(zhuǎn)換為2≤x2+2≤3的二次不等式，最后求解得到復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]。在本題中，教師首先需要激活相關(guān)信息，讀懂題中之意，并運(yùn)用已知信息和相關(guān)知識(shí)，確定解題思路。高中數(shù)學(xué)本身邏輯性、抽象性強(qiáng)，要界定解題思路，需要遵循幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。先讀懂題意，了解問題內(nèi)容，初步分析題目中的重點(diǎn)，并分析蘊(yùn)含哪些解題條件，從已有的知識(shí)儲(chǔ)備中找到類似的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)原理，為后續(xù)的解題提供參照和幫助，也為找到最佳的解題方法埋下伏筆。

二、分析題意，把握解題方向

讀題后要分析題意，將題意具體化，這是實(shí)現(xiàn)解讀題意的關(guān)鍵一步。教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從題意中得到條件，聯(lián)系學(xué)科要點(diǎn)，從而為精準(zhǔn)定位解題方法提供原理和公式。只有通過分析題意，學(xué)生才能化抽象為具體，化認(rèn)知為行動(dòng)。如某題中已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P（3a，4a）（a≠0），求sinθ是多少。分析題意得知，其所給出的信息為角θ的終邊上一點(diǎn)P，求該角的三角函數(shù)值。根據(jù)sinθ=yx2+y2，cosθ=xx2+y2，tanθ=yx，再運(yùn)用這些三角函數(shù)求值方法，讓學(xué)生對(duì)照該題來探析解題思路。可知，x=3a，y=4a，則r=5a。接著，對(duì)a進(jìn)行分析，當(dāng)a<0時(shí)，r=-5a，則sinθ=-45，所以得到sinθ=±45。可見，只有精準(zhǔn)分析，才能和題意的指向保持一致，并通過具體問題讓題目露出其“廬山真面目”。同時(shí)，在解題時(shí)，我們也要鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象，依托數(shù)學(xué)想象，從不同角度來分析題中之意，從而發(fā)展概括性的數(shù)學(xué)邏輯和推理能力。

對(duì)數(shù)學(xué)題意的分析，還要嘗試揣摩出題者的意圖，只有深入分析題意，從條件與結(jié)論的關(guān)系入手，并借助于思維導(dǎo)圖等輔助工具，才能讓解題思路更加清晰。在分析中，教師可以通過“如何設(shè)元”“有何關(guān)聯(lián)”“怎樣聯(lián)系”等內(nèi)容設(shè)問，從題目中明確解題方向，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)命題意圖的把握。總之，分析題意，就是要從題目中提煉有價(jià)值的信息，特別是挖掘隱含信息與關(guān)鍵信息，將其與學(xué)生已知相結(jié)合，如一些公式、概念、結(jié)論等，并以此為解題突破口，來弄清題意，找準(zhǔn)解題方向。

三、梳理題意，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

在把握數(shù)學(xué)解題方向時(shí)，教師要引領(lǐng)學(xué)生梳理題意。數(shù)學(xué)解題中蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想。在平時(shí)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等。這些數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，需要結(jié)合不同的題型，精心探究，合理引導(dǎo)，促進(jìn)思想和題意的相互融合。如某題目如下：用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字不重復(fù)排列，排列成不同的五位數(shù)，從小到大排列，23140是第幾個(gè)數(shù)？梳理題意可以發(fā)現(xiàn)，需要用到排列組合算法，但對(duì)于某一個(gè)排列數(shù)字的次序，需要用到分類討論思想來解決。從小到大的排列順序，第一類為1××××型，其數(shù)量有24個(gè);第二類為20×××型，其數(shù)量為6個(gè);第三類為21×××型，其數(shù)量有6個(gè);第四類為23×××型，其數(shù)量為6個(gè);前三類共計(jì)36個(gè)，第四類的六個(gè)數(shù)分別為23014、23041、23104、23140、23401、23410。由此可見，23140應(yīng)該是第40個(gè)數(shù)。從上例分類討論思想的應(yīng)用中，學(xué)生從中梳理出分類思想，并結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)原理來解題。可見，在數(shù)學(xué)解題分析中，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)題意，梳理題意的數(shù)學(xué)思想，從而引導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

梳理題意也是不斷否定、不斷修正數(shù)學(xué)思維的過程。如，在討論數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，教師設(shè)置問題：今天，第一個(gè)走進(jìn)校門的學(xué)生是男生，第二個(gè)走進(jìn)校門的學(xué)生也是男生，第三個(gè)走進(jìn)校門的學(xué)生還是男生。于是，學(xué)校的所有學(xué)生都是男生。很顯然，這種推理存在“以偏概全”的錯(cuò)誤。由此我們來反思數(shù)列中的通項(xiàng)公式，如果第一項(xiàng)為1，第二項(xiàng)為1，第三項(xiàng)還為1，則請(qǐng)同學(xué)們來猜測(cè)其第四項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十項(xiàng)等是多少。面對(duì)這些問題，我們要鼓勵(lì)學(xué)生自主質(zhì)疑，對(duì)題意做精細(xì)化梳理，獨(dú)立思考，親身體驗(yàn)，從而激發(fā)出數(shù)學(xué)創(chuàng)造的意愿和思想。

四、深悟題意，發(fā)展關(guān)鍵能力

深悟題意，需要學(xué)生能夠從解題過程中，逐漸挖掘題意內(nèi)涵，領(lǐng)悟出題意圖，從而跳出具體題目，發(fā)展高中數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力。所謂題意內(nèi)涵，就是題目所涉及的所有數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。對(duì)于一個(gè)題目，出題的目標(biāo)在于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，學(xué)生要能夠從題意分析中，借助于數(shù)學(xué)知識(shí)來分析邏輯思維，揣摩題意的內(nèi)涵，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架，總結(jié)解題方法，從而跳出題目，探明題意。如某題中已知f（x+1）=x+2x，求f（x）解析式。分析該題，由復(fù)合函數(shù)找原函數(shù)表達(dá)式，就需要對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行變形處理。由題設(shè)f（x+1）=x+2x=（x+1）2-1進(jìn)行變形，令x+1=a，得到f（a）=a2-1，根據(jù)x需要滿足x≥0，則x+1≥1，即a≥1。所以，原解析式f（x）=x2-1（x≥1）。可以看出，本題解題思路明確，題意領(lǐng)悟深刻，因?yàn)榻忸}者準(zhǔn)確把握了出題人的意圖，有效選擇和運(yùn)用了數(shù)學(xué)相關(guān)公式和原理。所以，高中數(shù)學(xué)教師要指導(dǎo)學(xué)生跳出題目看題目，總結(jié)歸類解題方法和思路，深刻領(lǐng)悟題中的“已知義”和“未知數(shù)”，并在推理、判斷和分析中掌握解題策略，提升數(shù)學(xué)學(xué)科解題能力。教師只有指導(dǎo)學(xué)生深悟題意，才能真正將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

波利亞提出：“好問題類似于采蘑菇，采到一個(gè)后還應(yīng)四處看看，也許還有更多。”高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生聚焦題意，站在高處多視角分析題意，指導(dǎo)學(xué)生梳理題設(shè)條件，并搭建已知與未知之間的橋梁，讓學(xué)生在解題過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維和思想，提升數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力。

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責(zé)任編輯：黃大燦 趙瀟晗