矩陣的核-EP分解及其應用

朱光輝，左可正，蔣萬林

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

下面給出本文中需要的一些廣義逆。

定義1[1]設矩陣,考慮矩陣方程:

1)AXA=A2)XAX=X3)(AX*)=AX4)(XA)*=XA

矩陣X∈n×m滿足方程(1),稱X為A的{1}-逆,記作A-.存在唯一的矩陣X∈n×m滿足矩陣方程1)、2)、3)、4),稱X為A的M-P逆,記作A+.

定義2[2]設矩陣A∈n×n,則存在唯一的矩陣X∈n×n滿足:

1)AXA=A2)XAX=X3)AX=XA

矩陣核-EP逆是矩陣的一種重要廣義逆。Manjunatha和Mohana在文獻[3]中首次給出了核-EP逆的定義及其性質。核-EP逆是核逆的推廣,下面給出核-EP逆的定義。

定義3[3]設矩陣A∈n×n,ind(A)=k,則存在唯一的矩陣X∈n×n滿足:

1)XAX=X2)R(X)=R(X*)=R(Ak)

稱X為A的核-EP逆,記作A⊕.

定義4[4,5]設矩陣A∈n×n,L是n的子空間,若APL+PL⊥是可逆矩陣,則A關于子空間L的Bott-Duffin逆記為且

利用矩陣分解來研究矩陣的性質,是矩陣分析的一種重要方法。本文首先運用Schur分解定理給出了核-EP分解定理的一個新證明；而后運用矩陣的Bott-Duffin逆及核-EP分解定理給出了A的核-EP逆A⊕的新刻畫。

引理1[1](Schur引理)設A∈n×n,則A酉相似于一個上三角矩陣,且該矩陣的主對角線元素為矩陣A的特征值。

引理2[6]設A∈n×n,A關于子空間L的Bott-Duffin逆記為則有:

且APL+PL⊥可逆?r(PLAPL)=r(PL)=dim(L)

定理1 設設A∈n×n,ind(A)=k,則其中可逆，Nk=0)

證明 由引理1知對任意矩陣A∈n×n,A酉相似于一個上三角矩陣,即存在一個酉矩陣U使得

1 核-EP分解定理的一個新證明

核-EP分解定理是研究矩陣A的核-EP逆A⊕的一個重要工具。在文獻[6]中王宏興給出了核-EP分解定理,并利用Schur分解定理證明了核-EP分解定理。下面我們利用A的M-P逆A?給出了核-EP分解定理的一個新證明。

定理2[6](核-EP分解定理)

設A∈n×n,ind(A)=k,則存在唯一的A1∈n×n,A2∈n×n,使得A=A1+A2,且有:

此時稱A1為A的核-EP分解的核部分,A2為A的核-EP分解的冪零部分。

證明 先證分解的存在性。

i)令A1=Ak(Ak)?A,A2=A-A1,A=A1+A2,

從而A2A1=(A-Ak(Ak)?A)Ak(Ak)?A)=Ak+1(Ak))?A-Ak-1(Ak)?A=0；

通過歸納證明可得出

這樣就證明了核-EP分解的存在性。

下證分解的唯一性。

由核-EP分解定義可得

(1)

等式(1)兩邊同時乘以A1及結合A2A1=0可得出

(2)

(3)

綜合等式(1)(3)可得r(Ak)≤r(A1)≤r(Ak),所以r(A1)=r(Ak).

r(A1)=r(X1X2)=t, ,所以矩陣(X1X2)是行滿秩矩陣，從而(X1X2)是右可逆矩陣，設

由A2A1=0通過計算可得出

Y1X1=0,Y1X2=0,Y3X1=0,即Y1(X1X2)=0,Y3(X1X2)=0,所以Y1=0,Y3=0.

所以X1=T,X2=S,Y4=N.

綜上所述,定理得證。

2 A⊕的表達式及其特征

核-EP逆A⊕是矩陣的一類重要廣義逆,文獻[3]給出了核-EP逆A⊕的一個刻畫A⊕=Ak((A*)kAk+1)-(A*)k.文獻[6]運用核-EP分解定理給出了等式AA⊕=Ak(Ak)?及A⊕的一個刻畫A⊕=Ak((A*)kAk-1)?Ak.文獻[8]給出了A⊕的一個刻畫A⊕=(APAk)?.文獻[9]給出了核-EP逆的一些等價條件。

定理3[9]設A∈n×n,則

由此得出

定理4 設A∈n×n,ind(A)=k,則

證明 因為r(Ak)=r(Ak+1(Ak)?Ak)≤r(PR(Ak)APR(Ak))=r(Ak+1(Ak)?)≤r(Ak(Ak)?)=r(Ak),

注記 運用定理4和定理1可以給出定理3的另一種證明方法。