半參數模型中參數的最優線性無偏差分估計

馬 歌，胡宏昌，宋國文

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

半參數模型是近代發展起來的一種的統計模型，它既包含了線性部分，也包含了非線性的部分，自被提出以來便得到了十分廣泛的關注。它是由Engle在對氣候狀況與居民用電量需求的關系進行研究的時候引入的，半參數模型在眾多實際問題應用廣泛且靈活,故本文先考慮如下半參數回歸模型

y=Xβ+g(t)+ε

其中y為n×1維觀測隨機向量，X為n×p已知矩陣，且rank(X)=p，β為p×1維待測參數向量，g(t)為光滑連續未知向量函數，ε為n×1誤差向量，E(ε)=0，Cov(ε)=σ2I，σ2為已知常數。

半參數回歸模型在許多實際問題中擬合效果較好，特別對于其中參數估計較精準。為得到參數β的最優線性無偏估計，許多學者提出許多方法來獲得最優線性無偏估計，Zhu和Hu[1]利用平衡損失函數得到參數的最優線性無偏估計，Wu和Liu[2]又提出加權平衡損失函數，給出了加權平衡損失函數下最優線性無偏估計。為除去上述模型中非參數效應，Yatchew[3]在此模型中引入差分算子D，得到如下差分模型

Dy=DXβ+Dg(t)+Dε≌DXβ+Dε

(1)

其中D為(n-m)×n維已知非負矩陣，且滿足rank(DX)=p.

針對上述差分模型下的參數估計研究較少，本文在前面學者研究基礎上給出上述差分模型下的加權平衡損失函數，并得出此模型下參數的最優線性無偏估計，同時根據實例得出此模型下所得參數β估計較好。

1 加權平衡損失函數

本文根據最小二乘估計理論以及Wu和Liu[2]研究加權平衡損失的想法，給出如下加權平衡損失函數：

(2)

(3)

2 主要結果

在本節中，我們討論了模型(1)中加權平衡損失函數下的參數的最優線性無偏估計。

2.1 最優線性無偏差分估計量

我們取Q={LDY∶L是p×n階常數矩陣，LDX=Ip}作為β的估計類，當DDT為半正定矩陣，研究LDy在Q中的最優線性無偏差分估計。

類似文獻[2]，給出如下定義：

如果LDy在Q中使

R(LDy,β)=E{ω2(Dy-DXLDy)TT+(Dy-DXLDy)+(1-ω)2(LDy-β)TS(LDy-β)+

達到最小，那么LDy為β的最優線性無偏差分估計。

接下來，我們給出在討論中用到的六個引理。

引理1 設D為(n-m)×n階矩陣，rank(D)=n-m行滿秩矩陣，X為n×p階矩陣，rank(X)=p列滿秩矩陣，且n-m≥p，則DX為(n-m)×p階矩陣，rank(DX)=p.

證 設X=(x1，x2，…，xp),因X為列滿秩矩陣，rank(X)=p，則x1,x2，…,xp線性無關，故存在一組全為0的數α1,α2,…,αp，使

α1x1+α2x2+…+apxp=0

且有

DX=(Dx1,Dx2,…,Dxp)Dα1x1+Dα2x2+…+Dαpxp=0

則Dx1,Dx2,…,Dxp是線性無關的，從而rank(DX)=p.

引理2[6]設DX為(n-m)×p階矩陣，L為p×(n-m)階矩陣，則

引理3[7]設A為(n-m)×(n-m)階正定矩陣，λ1≥…≥λn-m>0為A的有序特征值，P為(n-m)×k階矩陣并且PTP=Ik，(n-m)>k，使l=min(k,n-m-k)則

引理4[8]設A為(n-m)×(n-m)階正定矩陣，λ1≥…≥λn-m>0為A的有序特征值，P為(n-m)×k階矩陣并且PTP=Ik，(n-m)>k，使l=min(k,n-m-k)則

引理5[9]設T=DDT+DXU(DX)T，rank(T)=rank(DDT?DX)，則

1)R(DDT?DX)=R(T).

2)(Dy-DXβ)TT-(Dy-DXβ),(DX)TT-DX)和(DX)TT-Dy都與T-選擇無關。

3)(DX)TT-T=(DX)T,DX((DX)TT-DX)-DXT-DX=DX.

引理6[10]設rank(DX)=p，T=DDT+DXU(DX)T，且rank(T)=rank(DDT?DX)，

則(DX)TT-DX是可逆矩陣。

在接下來的定理證明，我們將推導出加權平衡損失函數下β的最優線性無偏估計。

定理1 對于模型(1)，DDT是半正定矩陣，若L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-，則LDy為β在加權平衡損失函數下的最優線性無偏估計。

證 設LDy∈Q，則根據(2)，風險函數為

R(LDy,β)=E{ω2(Dy-DXLDy)TT-(Dy-DXLDy)+(1-ω)2(LDy-β)TS(LDy-β)+

2ω(1-ω)(DXLDy-Dy)TT-DX(LDy-β)}

=σ2ω2tr{(T--(DXL)TT--T-DXL)(T-DXU(DX)T)+(DXL)TT-DXLDDT}+

σ2(1-ω)2tr(LTSLDDT)+

2ω(1-ω)σ2tr{(DXL)TT-DXLDDT-T-DXL(T-DXU(DX)T)}

=σ2ω2tr(T-T)-2σ2pω+(2-w)ωσ2tr{(DX)TT-DXU}+σ2tr(LTMLDDT)

(4)

其中M=ω(2-ω)(DX)TT-DX+(1-ω)2S，則要使LDy為β的最優線性無偏估計，等同于

由Lagrange乘子法，使

F(L,λ)=tr(LTMLDDT)-2tr(λ′(LDX-Ip))

其中λp×p為拉格朗日乘數，對L和λ分別求導并令導數為零，可得如下方程：

ML(T-DXU(DX)T)-λ(DX)T=0

LDX-Ip=0

結合引理5則可得到

L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)

其中G是p×p階矩陣，則

LDy=[((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)]Dy

接下來證明((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy的風險與LDy的風險相等.

因為(In-m-TT-)DDT=(In-m-TT-)(T-DXU(DX)T)=0，且有

R([((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)]Dy,β,σ2)

=σ2ω2tr(T-T)-2σ2pω+(2-ω)ωσ2tr((DX)TT-DXU)+

σ2tr(T-DX((DX)TT-DX)-1M((DX)TT-DX)-1(DX)TT-DDT)+

2σ2T-DX((DX)TT-DX)-1MG(In-m-TT-)DDT+

σ2tr((G(In-m-TT-))TM(G(In-m-TT-))DDT)

則

R([((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)]Dy,β)=R(((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy,β)

最后證((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy是最小風險。

R([((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+μN]Dy,β)

=R(((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy,β)+σ2tr{(μN(DD)T)1/2)TMμN(DDT)1/2}

≥R(((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy,β)

(5)

等號成立當且僅當L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-.

推論1 對于模型(1)，若L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-，則LDy為β的最優線性無偏差分估計。

2.2 差分估計下的相對效率

因定理1所得出的最優線性無偏差分估計與普通最小二乘估計必存在一些偏差，故本文利用相對效率可以比較估計量的優越性。

故類似Wu和Liu[6]定義的兩種相對效率：

(6)

(7)

則

則兩種估計對應風險函數如下：

σ2tr{M((DX)TDX)-1(DX)TTDX((DX)TDX)-1}

其中 rank(DX)=prank(T)=kk>pm=min(p,k-p)

證 因為R(DX)?R(T)，QDX為k×p階矩陣，rank(QDX)=p，設QDX=γ，則

=σ2trM(γTγ)-1γTΛγ(γTγ)-1-σ2trM(γTΛ-1γ)-1

=σ2[tr(ρTρ)-1ρTΛρ(ρTρ)-1-tr(ρTΛ-1ρ)-1]

則定理2證明完成，接下來證下一個定理。

Λ=diag(λ1,…,λk),λ1≥…≥λk>0.c1≥…≥cp>0=cp+1=…=ck是這個矩陣QDXM-1(DX)TQT的特征值，若ω2tr(T-T)-2pω-(1-ω)2tr(SU)=0，則

其中 rank(DX)=prank(T)=kk>pm=min(p,k-p)

根據定理2及引理3，則

Λ=diag(λ1,…,λk),λ1≥…≥λk>0.c1≥…≥cp>0=cp+1=…=ck是這個矩陣QDXM-1(DX)TQT的特征值，若ω2tr(T-T)-2pω-(1-ω)2tr(SU)≠0，且(DX)TT-DX≤U-1,則

其中 rank(DX)=prank(T)=kk>pm=min(p,k-p)

由定理2，可得

3 模擬算例

在本節中，將給出一個模擬例子來說明理論結果的正確性。取差分矩陣[3]為

則

為半正定矩陣，又取矩陣

在本文中我們取σ2=0.05，U=I，S=I，則計算出兩種相對效率e1和e2，其圖像如圖1所示。

圖1 兩種相對效率e1和e2