雙連續n次積分C-半群與抽象Cauchy問題的強解

杜雨亭，劉 瑞，王小霞

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

2003年，Kuhnemund F[1]在Banach空間上附加了一個比范數拓撲粗的局部凸拓撲，使得半群在局部凸拓撲下連續，從而提出雙連續半群的概念，半群理論得到進一步發展。在文獻[1]的基礎上，王文娟等在文獻[2-4]中提出了雙連續C-半群和雙連續n次積分C-半群的概念，并得到了一系列結果；另一方面，孫國正等在文獻[5-10]中研究了幾類半群在抽象柯西問題中的應用。所以本文將兩者結合起來，研究了雙連續n次積分C-半群與抽象柯西問題的關系，進一步推廣算子半群理論，擴展其應用領域，從而使算子半群理論更加完善。

1 預備知識

設X為Banach空間，X′為X的共軛空間。τ是X上由半范數族pτ所確定的并具有以下性質的一個局部凸拓撲。

(1)空間(X，τ)在‖·‖-有界集上序列完備。即每個‖·‖-有界柯西列在(X，τ)中收斂。

(2)τ拓撲是比‖·‖-拓撲粗且是Hausdorff拓撲。

(3)空間(X，‖·‖)中的范數可以由空間(X,τ)′定義。即對每一x∈X，有

‖x‖=

sup{||:φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,τ)′≤1}。

記φ={φ∈(X,τ)′:‖φ‖(X,τ)′≤1}，L(X)表示空間(X，‖·‖)上線性有界算子全體。不失一般性，假設p(x)≤‖x‖,x∈X,p∈pτ。

定義1[4]設C∈L(X)且為單射，算子族

{T(t):t≥0}?L(X)，如果

(1)T(0)=0,T(t)C=CT(t),t≥0；

(2)對?x∈X，s,t≥0，有

T(t)T(s)x=

(3){T(t):t≥0}強τ-連續，即對每個x∈X，映射t→T(t)xτ-連續；

(4){T(t):t≥0}局部等度雙連續；

(5){T(t):t≥0}指數有界。

則稱{T(t):t≥0}為指數有界雙連續n次積分C半群。

定義2[4]設{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，對任意λ∈Λω，記

{x∈X,Cx∈Im[R(λ)]}。

線性算子A:D(A)?X→X定義為

Ax=[λ-R(λ)-1C]x,x∈D(A)。

則算子A稱為{T(t):t≥0}的生成元。

性質1[4]設{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，A為{T(t):t≥0}的生成元，則以下結論成立：

(1)Im[R(λ)]?D(A)且

R(λ)(λ-A)?(λ-A)R(λ)=C，?λ∈Λω；

(2)T(t)Ax=AT(t)x,x∈D(A),t≥0；

(3)x∈D(A)且

考慮下列抽象柯西問題

①

定義3 設A是雙連續n次積分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無窮小生成元，u(t)∈C(I,X)，C稠值。若

(1)u(t)在I上幾乎處處τ-可微且

(2)u(t)在I上幾乎處處滿足①。

則稱u(t)是抽象Cauchy問題①的強解。

2 主要結果

定理1 設A是雙連續n次積分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無窮小生成元，C稠值，x∈X,f(t)∈L1(I,X)，定義

證明必要性：

設u(t)是抽象Cauchy問題①的一個強解，記α(s)=T(t-s)u(s)，0≤s≤t≤T，則由定義3及性質1知，對幾乎所有的s∈I有

T(t-s)(Au(s)+Cf(s))=

將其兩邊從0到t積分得

T(0)u(t)-T(t)u(0)=-T(t)x。

?

τ-y(n)(t)=u(t)。

所以y(n)(t)是①式的強解。

充分性：

故β(t)∈D(A)。

又由(A，D(A))是雙閉算子且

②

對②式關于t求n次導數得

且y(k)(0)=0,k=1，2，…,n-1。關于t再求一次導數得

由此可知，τ-y(n)滿足(1)且τ-y(n)(0)=x，故τ-y(n)是問題①的強解。

定理2 設A是雙連續n次積分C-半群{T(t);t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無窮小生成元，x∈D(An+1),f∈C(I,X),C稠值，定義x(t)=y(t)-C-1T(t)x，則問題①存在強解的充分必要條件是下列條件之一成立：

(2)x(t)∈Cn(I,X),對幾乎所有的t∈I,

τ-x(n)(t)∈D(A),τ-Ax(n)(t)∈L1(I,X)。

證明(1)對x∈D(An+1)?D(A)，由性質1得C-1T(t)x∈Cn+1(I,X)，再由定理1充要性成立。

(2)必要性顯然，下證充分性。

由已知得

x(n)(t)=y(n)(t)+(τ-C-1T(n)(t)x)，

③

又由x(t)∈Cn(I,X)得y(t)∈Cn(I,X),因為x(n)(t)在I上幾乎處處τ-可微，由③式得y(n)(t)在I上幾乎處處τ-可微，從而

τ-Ay(n)(t)+Cf(t)-(τ-AC-1T(n)(t)x)=

τ-Ax(n)(t)+Cf(t)。

又因τ-Ax(n)(t)∈L1(I,X),可得

從而由(1)可知充分性成立。